Карта Гаусса

В дифференциальной геометрии карта Гаусса поверхности единичный — это функция , которая отображает каждую точку поверхности в вектор , ортогональный поверхности в этой точке. А именно, для поверхности X в евклидовом пространстве R ³, отображение Гаусса — это отображение N : X → S ² (где С ² — единичная сфера ), такая, что для каждого p в X значение функции N ( p ) является единичным вектором, ортогональным X в точке p . Карта Гаусса названа в честь Карла Ф. Гаусса .

Отображение Гаусса может быть определено (глобально) тогда и только тогда, когда поверхность ориентируема , и в этом случае ее степень равна половине эйлеровой характеристики . Карта Гаусса всегда может быть определена локально (т.е. на небольшом участке поверхности). Определитель Якобиана отображения Гаусса равен гауссовой кривизне , а дифференциал отображения Гаусса называется оператором формы .

Гаусс впервые написал проект по этой теме в 1825 году и опубликовал его в 1827 году.

Существует также карта Гаусса для ссылки , которая вычисляет число ссылок .

Обобщения [ править ]

Отображение Гаусса можно определить для гиперповерхностей в R ^н как отображение гиперповерхности в единичную сферу S ^{п - 1} ⊆ Р ^н.

Для общего ориентированного k - подмногообразия в R ^н также может быть определено отображение Гаусса, и его целевым пространством является ориентированный Грассманиан ${\tilde {G}}_{k,n}$ , т.е. множество всех ориентированных k -плоскостей в R ^н. В этом случае точка подмногообразия отображается в ориентированное касательное подпространство. Можно также отобразить его ориентированное нормальное подпространство; они эквивалентны как ${\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{n-k,n}$ через ортогональное дополнение.В евклидовом 3-мерном пространстве это говорит о том, что ориентированная 2-плоскость характеризуется ориентированной 1-прямой, что эквивалентно единичному нормальному вектору (как ${\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}$ ), следовательно, это согласуется с определением, приведенным выше.

Наконец, понятие отображения Гаусса можно обобщить на ориентированное подмногообразие X размерности k в ориентированном объемлющем римановом многообразии M размерности n . В этом случае отображение Гаусса затем переходит от X к множеству касательных k -плоскостей в касательном расслоении TM . Целевое пространство для отображения Гаусса N — это расслоение Грассмана, построенное на касательном расслоении TM . В случае, когда $M=\mathbf {R} ^{n}$ , касательное расслоение тривиализуется (поэтому расслоение Грассмана становится отображением в грассманиан), и мы восстанавливаем предыдущее определение.

Полная кривизна [ править ]

Площадь изображения карты Гаусса называется полной кривизной и эквивалентна поверхностному интегралу от гауссовой кривизны . Это оригинальная интерпретация, данная Гауссом.

$\iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA$

Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее топологическими свойствами.

Куспиды карты Гаусса [ править ]

Карта Гаусса отражает многие свойства поверхности: когда поверхность имеет нулевую гауссову кривизну (то есть вдоль параболической линии ), карта Гаусса будет иметь катастрофу сгиба . Эта складка может содержать выступы , и эти выступы были подробно изучены Томасом Банчоффом , Теренсом Гаффни и Клинтом МакКрори . И параболические линии, и точка возврата являются устойчивыми явлениями и сохранятся при небольших деформациях поверхности. Куспиды возникают, когда:

Поверхность имеет двукасательную плоскость
Гребень линию пересекает параболическую
при замыкании множества точек перегиба асимптотических кривых поверхности.

Существует два типа точки возврата: эллиптическая точка возврата и гиперболическая точка возврата .

Ссылки [ править ]

Гаусс, К.Ф., Общие исследования около изогнутых поверхностей (1827 г.)
Гаусс К. Ф., Общие исследования искривленных поверхностей , английский перевод. Хьюлетт, Нью-Йорк: Raven Press (1965).
Банчофф Т., Гаффни Т., МакКрори К., Каспы отображений Гаусса , (1982) Исследовательские заметки по математике 55, Питман, Лондон. онлайн-версия. Архивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine <-- неработающая ссылка; Онлайн-версия Дэна Драйбельбиса (по состоянию на 1 июля 2023 г.), заархивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine.
Кендеринк, Дж. Дж., Solid Shape , MIT Press (1990).

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Карта Гаусса» . Математический мир .
Томас Банчофф; Теренс Гаффни; Клинт МакКрори; Дэниел Драйбельбис (1982). Каспы гауссовых отображений . Исследования по математике. Том. Pitman Publisher Ltd. 55. Лондон: ISBN 0-273-08536-0 . Проверено 4 марта 2016 г.