Jump to content

Карта Гаусса

Карта Гаусса обеспечивает отображение каждой точки кривой или поверхности в соответствующую точку единичной сферы. В этом примере кривизна 2D-поверхности отображается на одномерную единичную окружность.

В дифференциальной геометрии карта Гаусса поверхности единичный — это функция , которая отображает каждую точку поверхности в вектор , ортогональный поверхности в этой точке. А именно, для поверхности X в евклидовом пространстве R 3 , отображение Гаусса — это отображение N : X S 2 (где С 2 единичная сфера ), такая, что для каждого p в X значение функции N ( p ) является единичным вектором, ортогональным X в точке p . Карта Гаусса названа в честь Карла Ф. Гаусса .

Отображение Гаусса может быть определено (глобально) тогда и только тогда, когда поверхность ориентируема , и в этом случае ее степень равна половине эйлеровой характеристики . Карта Гаусса всегда может быть определена локально (т.е. на небольшом участке поверхности). Определитель Якобиана отображения Гаусса равен гауссовой кривизне , а дифференциал отображения Гаусса называется оператором формы .

Гаусс впервые написал проект по этой теме в 1825 году и опубликовал его в 1827 году.

Существует также карта Гаусса для ссылки , которая вычисляет число ссылок .

Обобщения [ править ]

Отображение Гаусса можно определить для гиперповерхностей в R н как отображение гиперповерхности в единичную сферу S п - 1 Р н .

Для общего ориентированного k - подмногообразия в R н также может быть определено отображение Гаусса, и его целевым пространством является ориентированный Грассманиан , т.е. множество всех ориентированных k -плоскостей в R н . В этом случае точка подмногообразия отображается в ориентированное касательное подпространство. Можно также отобразить его ориентированное нормальное подпространство; они эквивалентны как через ортогональное дополнение.В евклидовом 3-мерном пространстве это говорит о том, что ориентированная 2-плоскость характеризуется ориентированной 1-прямой, что эквивалентно единичному нормальному вектору (как ), следовательно, это согласуется с определением, приведенным выше.

Наконец, понятие отображения Гаусса можно обобщить на ориентированное подмногообразие X размерности k в ориентированном объемлющем римановом многообразии M размерности n . В этом случае отображение Гаусса затем переходит от X к множеству касательных k -плоскостей в касательном расслоении TM . Целевое пространство для отображения Гаусса N — это расслоение Грассмана, построенное на касательном расслоении TM . В случае, когда , касательное расслоение тривиализуется (поэтому расслоение Грассмана становится отображением в грассманиан), и мы восстанавливаем предыдущее определение.

Полная кривизна [ править ]

Площадь изображения карты Гаусса называется полной кривизной и эквивалентна поверхностному интегралу от гауссовой кривизны . Это оригинальная интерпретация, данная Гауссом.

Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее топологическими свойствами.

Куспиды карты Гаусса [ править ]

Поверхность с параболической линией и ее карта Гаусса. Гребень проходит через параболическую линию, образуя точку возврата на карте Гаусса.

Карта Гаусса отражает многие свойства поверхности: когда поверхность имеет нулевую гауссову кривизну (то есть вдоль параболической линии ), карта Гаусса будет иметь катастрофу сгиба . Эта складка может содержать выступы , и эти выступы были подробно изучены Томасом Банчоффом , Теренсом Гаффни и Клинтом МакКрори . И параболические линии, и точка возврата являются устойчивыми явлениями и сохранятся при небольших деформациях поверхности. Куспиды возникают, когда:

  1. Поверхность имеет двукасательную плоскость
  2. Гребень линию пересекает параболическую
  3. при замыкании множества точек перегиба асимптотических кривых поверхности.

Существует два типа точки возврата: эллиптическая точка возврата и гиперболическая точка возврата .

Ссылки [ править ]

  • Гаусс, К.Ф., Общие исследования около изогнутых поверхностей (1827 г.)
  • Гаусс К. Ф., Общие исследования искривленных поверхностей , английский перевод. Хьюлетт, Нью-Йорк: Raven Press (1965).
  • Банчофф Т., Гаффни Т., МакКрори К., Каспы отображений Гаусса , (1982) Исследовательские заметки по математике 55, Питман, Лондон. онлайн-версия. Архивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine <-- неработающая ссылка; Онлайн-версия Дэна Драйбельбиса (по состоянию на 1 июля 2023 г.), заархивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine.
  • Кендеринк, Дж. Дж., Solid Shape , MIT Press (1990).

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Карта Гаусса» . Математический мир .
  • Томас Банчофф; Теренс Гаффни; Клинт МакКрори; Дэниел Драйбельбис (1982). Каспы гауссовых отображений . Исследования по математике. Том. Pitman Publisher Ltd. 55. Лондон: ISBN  0-273-08536-0 . Проверено 4 марта 2016 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: cc578977994ebb55a93e99bcbc9662f1__1716343740
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/cc/f1/cc578977994ebb55a93e99bcbc9662f1.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Gauss map - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)