Карта Гаусса
![]() | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Июль 2011 г. ) |

В дифференциальной геометрии карта Гаусса поверхности единичный — это функция , которая отображает каждую точку поверхности в вектор , ортогональный поверхности в этой точке. А именно, для поверхности X в евклидовом пространстве R 3 , отображение Гаусса — это отображение N : X → S 2 (где С 2 — единичная сфера ), такая, что для каждого p в X значение функции N ( p ) является единичным вектором, ортогональным X в точке p . Карта Гаусса названа в честь Карла Ф. Гаусса .
Отображение Гаусса может быть определено (глобально) тогда и только тогда, когда поверхность ориентируема , и в этом случае ее степень равна половине эйлеровой характеристики . Карта Гаусса всегда может быть определена локально (т.е. на небольшом участке поверхности). Определитель Якобиана отображения Гаусса равен гауссовой кривизне , а дифференциал отображения Гаусса называется оператором формы .
Гаусс впервые написал проект по этой теме в 1825 году и опубликовал его в 1827 году.
Существует также карта Гаусса для ссылки , которая вычисляет число ссылок .
Обобщения [ править ]
Отображение Гаусса можно определить для гиперповерхностей в R н как отображение гиперповерхности в единичную сферу S п - 1 ⊆ Р н .
Для общего ориентированного k - подмногообразия в R н также может быть определено отображение Гаусса, и его целевым пространством является ориентированный Грассманиан , т.е. множество всех ориентированных k -плоскостей в R н . В этом случае точка подмногообразия отображается в ориентированное касательное подпространство. Можно также отобразить его ориентированное нормальное подпространство; они эквивалентны как через ортогональное дополнение.В евклидовом 3-мерном пространстве это говорит о том, что ориентированная 2-плоскость характеризуется ориентированной 1-прямой, что эквивалентно единичному нормальному вектору (как ), следовательно, это согласуется с определением, приведенным выше.
Наконец, понятие отображения Гаусса можно обобщить на ориентированное подмногообразие X размерности k в ориентированном объемлющем римановом многообразии M размерности n . В этом случае отображение Гаусса затем переходит от X к множеству касательных k -плоскостей в касательном расслоении TM . Целевое пространство для отображения Гаусса N — это расслоение Грассмана, построенное на касательном расслоении TM . В случае, когда , касательное расслоение тривиализуется (поэтому расслоение Грассмана становится отображением в грассманиан), и мы восстанавливаем предыдущее определение.
Полная кривизна [ править ]
Площадь изображения карты Гаусса называется полной кривизной и эквивалентна поверхностному интегралу от гауссовой кривизны . Это оригинальная интерпретация, данная Гауссом.
Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее топологическими свойствами.
Куспиды карты Гаусса [ править ]

Карта Гаусса отражает многие свойства поверхности: когда поверхность имеет нулевую гауссову кривизну (то есть вдоль параболической линии ), карта Гаусса будет иметь катастрофу сгиба . Эта складка может содержать выступы , и эти выступы были подробно изучены Томасом Банчоффом , Теренсом Гаффни и Клинтом МакКрори . И параболические линии, и точка возврата являются устойчивыми явлениями и сохранятся при небольших деформациях поверхности. Куспиды возникают, когда:
- Поверхность имеет двукасательную плоскость
- Гребень линию пересекает параболическую
- при замыкании множества точек перегиба асимптотических кривых поверхности.
Существует два типа точки возврата: эллиптическая точка возврата и гиперболическая точка возврата .
Ссылки [ править ]
- Гаусс, К.Ф., Общие исследования около изогнутых поверхностей (1827 г.)
- Гаусс К. Ф., Общие исследования искривленных поверхностей , английский перевод. Хьюлетт, Нью-Йорк: Raven Press (1965).
- Банчофф Т., Гаффни Т., МакКрори К., Каспы отображений Гаусса , (1982) Исследовательские заметки по математике 55, Питман, Лондон. онлайн-версия. Архивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine <-- неработающая ссылка; Онлайн-версия Дэна Драйбельбиса (по состоянию на 1 июля 2023 г.), заархивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine.
- Кендеринк, Дж. Дж., Solid Shape , MIT Press (1990).
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Карта Гаусса» . Математический мир .
- Томас Банчофф; Теренс Гаффни; Клинт МакКрори; Дэниел Драйбельбис (1982). Каспы гауссовых отображений . Исследования по математике. Том. Pitman Publisher Ltd. 55. Лондон: ISBN 0-273-08536-0 . Проверено 4 марта 2016 г.