Закон Гаусса для гравитации

В физике , закон гравитации Гаусса также известный как теорема Гаусса о потоке гравитации , представляет собой закон физики, который эквивалентен закону всемирного тяготения Ньютона . Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса . Он утверждает, что поток ( поверхностный интеграл ) гравитационного поля над любой замкнутой поверхностью пропорционален заключенной в ней массе . Закон гравитации Гаусса зачастую удобнее использовать, чем закон Ньютона. ^{[ 1 ]}

Форма закона Гаусса для гравитации математически аналогична закону Гаусса для электростатики , одному из уравнений Максвелла . Закон гравитации Гаусса имеет такое же математическое отношение к закону Ньютона, какое закон Гаусса для электростатики имеет к закону Кулона . Это связано с тем, что и закон Ньютона, и закон Кулона описывают взаимодействие обратных квадратов в трехмерном пространстве.

Качественная формулировка закона

Гравитационное поле g (также называемое гравитационным ускорением ) представляет собой векторное поле – вектор в каждой точке пространства (и времени). Оно определяется так, что гравитационная сила, испытываемая частицей, равна массе частицы, умноженной на гравитационное поле в этой точке.

Гравитационный поток — это поверхностный интеграл гравитационного поля над замкнутой поверхностью, аналогично тому, как магнитный поток является поверхностным интегралом магнитного поля.

Закон Гаусса для гравитации гласит:

Гравитационный поток через любую замкнутую поверхность пропорционален приложенной к ней массе .

Интегральная форма

Интегральная форма закона Гаусса для гравитации гласит:

$\оинт$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$

где

$\оинт$ $\scriptstyle \partial V$ (также написано $\oint _{\partial V}$ ) обозначает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности,
∂ V — любая замкнутая поверхность ( граница произвольного объема V ),
d A — вектор , величина которого равна площади бесконечно малого участка поверхности ∂ V и направлением которого является направленная наружу нормаль к поверхности ( см. в разделе «Интеграл по поверхности ») более подробную информацию
g – гравитационное поле ,
G — универсальная гравитационная постоянная , а
M заключенная внутри поверхности ∂ V. — общая масса ,

Левая часть этого уравнения называется потоком гравитационного поля. Обратите внимание, что по закону оно всегда отрицательно (или ноль) и никогда не положительно. Это можно противопоставить закону Гаусса для электричества, где поток может быть как положительным, так и отрицательным. Разница в том, что заряд может быть как положительным, так и отрицательным, а масса может быть только положительной.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для гравитационных состояний

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$

где $\nabla \cdot$ обозначает дивергенцию , G — универсальная гравитационная постоянная , а ρ — плотность массы в каждой точке.

Отношение к интегральной форме

Две формы закона гравитации Гаусса математически эквивалентны. Теорема о дивергенции гласит: $\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV$ где V — замкнутая область, ограниченная простой замкнутой ориентированной поверхностью ∂ V , а dV — бесконечно малая часть объема V ( см. в разделе «Объемный интеграл» более подробную информацию ). Гравитационное поле g должно быть непрерывно дифференцируемым векторным полем, определенным в окрестности V .

Учитывая также, что $M=\int _{V}\rho \ dV$ мы можем применить теорему о дивергенции к интегральной форме закона гравитации Гаусса, которая принимает вид: $\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV$ который можно переписать: $\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.$ Это должно выполняться одновременно для каждого возможного объема V ; единственный способ, которым это может произойти, - это если подынтегральные выражения равны. Следовательно, мы приходим к $\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$ что является дифференциальной формой закона гравитации Гаусса.

Можно вывести интегральную форму из дифференциальной формы, используя обратный метод.

Хотя эти две формы эквивалентны, в конкретных вычислениях может быть удобнее использовать одну или другую.

Связь с законом Ньютона

Вывод закона Гаусса из закона Ньютона.

Закон гравитации Гаусса можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона , который гласит, что гравитационное поле, создаваемое точечной массой, равно: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}}$ где

e _r — радиальный единичный вектор ,
r — радиус, | р |.
M — масса частицы, которая считается точечной массой, расположенной в начале координат .

Доказательство с использованием векторного исчисления показано в рамке ниже. Математически оно идентично доказательству закона Гаусса (в электростатике ), начиная с закона Кулона . ^{[ 2 ]}

Схема доказательства

g ( r ), гравитационное поле в точке r , можно рассчитать, сложив вклад в g ( r ), вносимый каждым битом массы во Вселенной (см. принцип суперпозиции ). Для этого мы интегрируем по каждой точке s в пространстве, складывая вклад в g ( r ), связанный с массой (если таковая имеется) в точке s , где этот вклад рассчитывается по закону Ньютона. Результат: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .$ ( д ³s означает ds _x ds _y ds _z , каждый из которых интегрируется от −∞ до +∞.) Если мы возьмем расхождение обеих частей этого уравнения по r и воспользуемся известной теоремой ^{[ 2 ]} $\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$ где δ ( r ) — дельта-функция Дирака , результат: $\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .$ Используя «свойство просеивания» дельта-функции Дирака, приходим к $\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$ что является дифференциальной формой закона гравитации Гаусса, как и хотелось.

Вывод закона Ньютона из закона Гаусса и безвихревости.

Невозможно математически доказать закон Ньютона, исходя только из закона Гаусса поскольку закон Гаусса определяет расхождение g , но не содержит никакой информации относительно ротора g , (см. разложение Гельмгольца ). В дополнение к закону Гаусса используется предположение, что g является безвихревой (имеет нулевой ротор), поскольку гравитация является консервативной силой :

\nabla \times \mathbf {g} =0

Даже этого недостаточно: граничные условия на g также необходимы для доказательства закона Ньютона, например, предположение о том, что поле равно нулю на бесконечном расстоянии от массы.

Доказательство закона Ньютона из этих предположений состоит в следующем:

Схема доказательства

Начнем с интегральной формы закона Гаусса: $\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.$ Примените этот закон к ситуации, когда объем V представляет собой сферу радиуса r с центром в точечной массе M . Разумно ожидать, что гравитационное поле точечной массы будет сферически симметричным. (Для простоты мы опускаем доказательство.) При таком предположении g принимает следующий вид: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}}$ (т.е. направление g антипараллельно направлению r , и величина g зависит только от величины, а не от направления r ). Подставив это и воспользовавшись тем фактом, что ∂ V — сферическая поверхность с постоянным r и площадью $4\pi r^{2}$ ,

g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM

g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM

g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}

что является законом Ньютона.

Уравнение Пуассона и гравитационный потенциал

Поскольку гравитационное поле имеет нулевой ротор (т. е. гравитация является консервативной силой ), как упоминалось выше, его можно записать как градиент скалярного потенциала , называемого гравитационным потенциалом : $\mathbf {g} =-\nabla \phi .$ Тогда дифференциальная форма закона Гаусса для гравитации становится уравнением Пуассона : $\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$ Это обеспечивает альтернативный способ расчета гравитационного потенциала и гравитационного поля. Хотя вычисление g с помощью уравнения Пуассона математически эквивалентно вычислению g непосредственно из закона Гаусса, тот или иной подход может быть более простым вычислением в данной ситуации.

В радиально-симметричных системах гравитационный потенциал является функцией только одной переменной (а именно: $r=|\mathbf {r} |$ ), и уравнение Пуассона принимает вид (см. Del в цилиндрических и сферических координатах ): ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)$ а гравитационное поле: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.$

При решении уравнения следует учитывать, что в случае конечных плотностей ∂ φ /∂ r должна быть непрерывной на границах (разрывах плотности), а при r = 0 — нулевой .

Приложения

Закон Гаусса можно использовать для легкого определения гравитационного поля в некоторых случаях, когда прямое применение закона Ньютона было бы сложнее (но не невозможно). см. в статье «Гауссова поверхность» Дополнительную информацию о том, как выполняются эти выводы, . Три таких приложения следующие:

Квартира Бугера

Мы можем заключить (используя « гауссову дот »), что для бесконечной плоской пластины ( пластины Бугера ) любой конечной толщины гравитационное поле снаружи пластины перпендикулярно пластине, по направлению к ней, с величиной, в 2 πG раза превышающей массу . на единицу площади, независимо от расстояния до плиты ^{[ 3 ]} (см. также гравитационные аномалии ).

В более общем смысле, для распределения массы с плотностью, зависящей только от одной декартовой координаты z , гравитация для любого z в 2 πG раза превышает разницу в массе на единицу площади по обе стороны от этого значения z .

В частности, параллельная комбинация двух параллельных бесконечных пластин одинаковой массы на единицу площади не создает между ними гравитационного поля.

Цилиндрически симметричное распределение массы

В случае бесконечного однородного (по z ) цилиндрически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя цилиндрическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена внутрь с величиной, в 2 G / r. раза превышающей полную величину масса единицы длины на меньшем расстоянии (от оси), независимо от каких-либо масс на большем расстоянии.

Например, внутри бесконечного однородного полого цилиндра поле равно нулю.

Сферически симметричное распределение массы

В случае сферически-симметричного распределения массы мы можем заключить (используя сферическую поверхность Гаусса ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена внутрь с величиной G / r. ² раз больше общей массы на меньшем расстоянии, чем r . Вся масса, находящаяся на расстоянии большем, чем r от центра, не оказывает результирующего действия.

Например, полая сфера не создает внутри себя чистой гравитации. Гравитационное поле внутри такое же, как если бы полой сферы не было (т.е. результирующее поле - это поле всех масс, за исключением сферы, которые могут находиться внутри и снаружи сферы).

Хотя это в одной или двух строках алгебры следует из закона гравитации Гаусса, Исааку Ньютону потребовалось несколько страниц громоздких вычислений, чтобы вывести это напрямую, используя его закон гравитации; см. в статье «Теорема об оболочке» этот прямой вывод .

Вывод из лагранжиана

для Лагранжева плотность ньютоновской гравитации равна ${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}$ Применяя принцип Гамильтона к этому лагранжиану, получаем закон гравитации Гаусса: $4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).$ см . в разделе Лагранжиан (теория поля) Подробности .

См. также

Ссылки

^ «Закон Гаусса и гравитация» .
^ Jump up to: ^а ^б См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. п. 50 . ISBN 0-13-805326-Х .
^ Решение механических задач, Фогель, стр. 535–536.

Дальнейшее чтение

Об использовании термина «Закон Гаусса для гравитации» см., например, Муди, М.В.; Пайк, HJ (1 марта 1993 г.). «Проверка закона гравитации Гаусса на близком расстоянии». Письма о физических отзывах . 70 (9): 1195–1198. Бибкод : 1993PhRvL..70.1195M . дои : 10.1103/PhysRevLett.70.1195 . ПМИД 10054315 .

[1] «Закон Гаусса и гравитация» .

[Griffiths-2] Jump up to: ^а ^б См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. п. 50 . ISBN 0-13-805326-Х .

[3] Решение механических задач, Фогель, стр. 535–536.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]