Евклидова квантовая гравитация

В теоретической физике евклидова квантовая гравитация является разновидностью квантовой гравитации . Он стремится использовать вращение Вика для описания силы гравитации в соответствии с принципами квантовой механики .

Введение с точки зрения непрофессионала

Вращение Вика

Основная статья: Вращение фитиля

В физике вращение Вика, названное в честь Джан-Карло Вика , — это метод поиска решения задач динамики в $n$ измерения, транспонируя их описания в $n+1$ измерения, обменивая одно измерение пространства на одно измерение времени. Точнее, он заменяет математическую задачу в пространстве Минковского связанной проблемой в евклидовом пространстве посредством преобразования, которое заменяет переменную с мнимым числом на переменную с действительным числом.

Это называется вращением , потому что, когда комплексные числа представляются в виде плоскости, умножение комплексного числа на $i$ эквивалентно повороту вектора, представляющего это число, на угол $\pi /2$ радианы о происхождении.

Например, вращение Фитиля можно использовать для того, чтобы связать макроскопическое событие температурной диффузии (например, в ванне) с лежащими в его основе тепловыми движениями молекул. Если мы попытаемся смоделировать объем ванны с различными градиентами температуры, нам придется разделить этот объем на бесконечно малые объемы и посмотреть, как они взаимодействуют. Мы знаем, что такие бесконечно малые объемы на самом деле являются молекулами воды. Если мы представим все молекулы в ванне только одной молекулой, пытаясь упростить задачу, эта уникальная молекула должна будет пройти все возможные пути, по которым могут следовать настоящие молекулы. Формулировка интеграла по траекториям — это концептуальный инструмент, используемый для описания движений этой уникальной молекулы, а вращение Вика — один из математических инструментов, которые очень полезны для анализа проблемы интеграла по траекториям.

Применение в квантовой механике

Похожим образом движение квантового объекта, описываемое квантовой механикой, подразумевает, что он может существовать одновременно в разных положениях и иметь разные скорости. Оно явно отличается от движения классического объекта (например, бильярдного шара), поскольку в этом случае можно описать единственный путь с точным положением и скоростью. Квантовый объект не движется из А в Б по одному пути, а движется из А в Б всеми возможными способами одновременно. Согласно фейнмановской формулировке квантовой механики, основанной на интеграле путей, путь квантового объекта описывается математически как средневзвешенное всех этих возможных путей. явно калибровочно-инвариантный нашел В 1966 году ДеВитт функционально-интегральный алгоритм , который распространил новые правила Фейнмана на все порядки. Что привлекательно в этом новом подходе, так это отсутствие сингулярностей, хотя они неизбежны в общей теории относительности .

Еще одна рабочая проблема общей теории относительности — это вычислительная сложность из-за сложности используемых математических инструментов. Интегралы по траекториям, напротив, используются в механике с конца девятнадцатого века и хорошо известны. Кроме того, формализм интеграла по путям используется как в классической, так и в квантовой физике, поэтому он может стать хорошей отправной точкой для объединения общей теории относительности и квантовой теории. Например, квантовомеханическое уравнение Шредингера и классическое уравнение теплопроводности связаны вращением Вика. Таким образом, соотношение Вика — хороший инструмент для связи классического явления с квантовым явлением. Целью евклидовой квантовой гравитации является использование вращения Вика для поиска связей между макроскопическим явлением, гравитацией, и чем-то более микроскопическим.

Более строгое лечение

Евклидова квантовая гравитация относится к версии квантовой гравитации с вращением Вика , сформулированной как квантовая теория поля . Многообразия , используемые в этой формулировке, представляют собой 4-мерные римановы многообразия вместо псевдоримановых многообразий . Предполагается также, что многообразия компактны , связны и безграничны (т. е. не имеют особенностей ). Следуя обычной формулировке квантовой теории поля, амплитуда вакуума в вакууме записывается как функциональный интеграл по метрическому тензору , который теперь является рассматриваемым квантовым полем.

$\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)$

где φ обозначает все поля материи. См. действие Эйнштейна – Гильберта .

Связь с формализмом ADM

Евклидова квантовая гравитация действительно связана с формализмом ADM, используемым в канонической квантовой гравитации , и восстанавливает уравнение Уиллера-ДеВитта при различных обстоятельствах. Если у нас есть какое-то поле материи $\phi$, то интеграл по путям будет иметь вид

$Z=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)$

где интегрирование ${\mathcal {D}}\mathbf {g}$ включает интегрирование по трехметрике, функцию отклонения $N$и вектор сдвига $N^{a}$. Но мы требуем, чтобы $Z$ не зависит от функции отклонения и вектора сдвига на границах, поэтому получаем

${\frac {\delta Z}{\delta N}}=0=\int {\mathcal {D}}\mathbf {g} \,{\mathcal {D}}\phi \,\left.{\frac {\delta S}{\delta N}}\right|_{\Sigma }\exp \left(\int d^{4}x{\sqrt {|\mathbf {g} |}}(R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} })\right)$

где $\Sigma$ является трехмерной границей. Обратите внимание, что обращение этого выражения в ноль означает исчезновение функциональной производной, что дает нам уравнение Уиллера – ДеВитта. Аналогичное утверждение можно сделать и для ограничения диффеоморфизма (вместо этого возьмите функциональную производную по функциям сдвига).

Ссылки

• ДеВитт, Брайс С. (25 октября 1967 г.). «Квантовая теория гравитации. II. Явно ковариантная теория». Физический обзор . 162 (5). Американское физическое общество (APS): 1195–1239. Бибкод : 1967PhRv..162.1195D . дои : 10.1103/physrev.162.1195 . ISSN   0031-899X .
• ДеВитт, Брайс С.; Эспозито, Джампьеро (2008). «Введение в квантовую гравитацию». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 05 (1): 101–156. arXiv : 0711.2445 . Бибкод : 2008IJGMM..05..101D . дои : 10.1142/s0219887808002679 . ISSN   0219-8878 . S2CID   7909845 .
• Ричард П. Фейнман, Лекции по гравитации , заметки Ф.Б. Мориниго и В.Г. Вагнера, Калифорнийский технологический институт, 1963 г. (Аддисон Уэсли, 1995 г.).
• Гэри В. Гиббонс и Стивен В. Хокинг (ред.), Евклидова квантовая гравитация , World Scientific (1993).
• Герберт В. Хамбер, Квантовая гравитация - интегральный подход пути Фейнмана , Springer Publishing, 2009 г., ISBN   978-3-540-85293-3 .
• Стивен В. Хокинг, Интегральный подход к квантовой гравитации , в Общей теории относительности - Обзор столетия Эйнштейна , Cambridge U. Press, 1977.
• Хартл, Дж.Б.; Хокинг, Юго-Запад (15 декабря 1983 г.). «Волновая функция Вселенной». Физический обзор D . 28 (12). Американское физическое общество (APS): 2960–2975. Бибкод : 1983PhRvD..28.2960H . дои : 10.1103/physrevd.28.2960 . ISSN   0556-2821 . Формально связывает евклидову квантовую гравитацию с формализмом ADM.
• Клаус Кифер, Квантовая гравитация (третье изд.). Издательство Оксфордского университета, 2012.
• Моттола, Эмиль (1995). «Функциональное интегрирование по геометрии». Журнал математической физики . 36 (5): 2470–2511. arXiv : hep-th/9502109 . Бибкод : 1995JMP....36.2470M . дои : 10.1063/1.531359 . ISSN   0022-2488 . S2CID   15655004 .
• Мартин Дж. Вельтман, Квантовая теория гравитации , в книге «Методы теории поля» , XXVIII сессия Ле Уша, Северная Голландия, 1976.