Бекенштейн связан

Согласно границе Бекенштейна, энтропия пропорциональна черной дыры количеству планковских площадей , которые потребовались бы, чтобы покрыть горизонт событий черной дыры .

В физике граница Бекенштейна (названная в честь Джейкоба Бекенштейна ) — это верхний предел термодинамической энтропии S или энтропии Шеннона H , которая может содержаться в пределах заданной конечной области пространства, имеющей конечное количество энергии, или, наоборот, максимальное количество информации, необходимое для идеального описания данной физической системы вплоть до квантового уровня. Это подразумевает, что информация о физической системе или информация, необходимая для идеального описания этой системы, должна быть конечной, если область пространства и энергия конечны.

Уравнения

Универсальная форма оценки была первоначально найдена Якобом Бекенштейном в 1981 году как неравенство $$S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},$$где S — энтропия , k — постоянная Больцмана , R — радиус сферы включая , которая может охватывать данную систему, E — полная масса-энергия, любые массы покоя , ħ — приведенная постоянная Планка , а c — скорость света . Обратите внимание, что хотя гравитация играет значительную роль в ее обеспечении, выражение для границы не содержит гравитационной постоянной   G , и поэтому оно должно применяться к квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени .

Граничная энтропия Бекенштейна – Хокинга трехмерных черных дыр точно насыщает границу. Радиус Шварцшильда определяется выражением $$r_{\rm {s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},$$и поэтому двумерная площадь горизонта событий черной дыры равна $$A=4\pi r_{\rm {s}}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},$$и используя планковскую длину $$l_{\rm {P}}^{2}=\hbar G/c^{3},$$энтропия Бекенштейна – Хокинга равна $$S={\frac {kA}{4\ l_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}}.$$

Одна из интерпретаций границы использует микроканоническую формулу для энтропии: $$S=k\log \Omega ,$$где $\Omega$ — количество собственных состояний энергии , доступных системе. Это эквивалентно тому, что размерность гильбертова пространства, описывающего систему, равна $$\dim {\mathcal {H}}=\exp \left({\frac {2\pi RE}{\hbar c}}\right).$$

Эта граница тесно связана с термодинамикой черной дыры , голографическим принципом и ковариантной энтропийной границей квантовой гравитации и может быть получена из предполагаемой сильной формы последней.

Происхождение

Бекенштейн вывел эту границу на основе эвристических аргументов, касающихся черных дыр . Если существует система, которая нарушает границы, то есть имеет слишком большую энтропию, Бекенштейн утверждал, что можно нарушить второй закон термодинамики , погрузив ее в черную дыру. В 1995 году Тед Джейкобсон продемонстрировал, что уравнения поля Эйнштейна (т. е. общая теория относительности ) могут быть получены, если предположить, что граница Бекенштейна и законы термодинамики верны. Однако, хотя был разработан ряд аргументов, которые показывают, что для того, чтобы законы термодинамики и общей теории относительности были взаимно согласованными, должна существовать некоторая форма границы, точная формулировка границы была предметом споров до работы Казини в 2008 году. .

Ниже приводится эвристический вывод, который показывает $S\leq K{\frac {kRE}{\hbar c}}$ для некоторой константы $K$. Показывая, что $K=2\pi$ требует более технического анализа.

Предположим, у нас есть черная дыра массы $M$, то радиус Шварцшильда черной дыры равен $R_{bh}\sim {\frac {GM}{c^{2}}}$, а энтропия Бекенштейна–Хокинга черной дыры равна $\sim {\frac {kc^{3}R_{bh}^{2}}{\hbar G}}\sim {\frac {kGM^{2}}{\hbar c}}$.

Теперь возьмите коробку с энергией $E$, энтропия $S$и длина стороны $R$. Если мы бросим коробку в черную дыру, масса черной дыры увеличится до $M+{\frac {E}{c^{2}}}$, и энтропия возрастает на ${\frac {kGME}{\hbar c^{3}}}$. Поскольку энтропия не уменьшается, ${\frac {kGME}{\hbar c^{3}}}\gtrsim S$ .

Чтобы ящик поместился внутри черной дыры, $R\lesssim {\frac {GM}{c^{2}}}$ . Если они сопоставимы, $R\sim {\frac {GM}{c^{2}}}$, то мы получили границу BH: $S\lesssim {\frac {kRE}{\hbar c}}$.

Доказательство в квантовой теории поля

Доказательство границы Бекенштейна в рамках квантовой теории поля было дано в 2008 году Казини. Одним из важнейших выводов доказательства было найти правильную интерпретацию величин, стоящих по обе стороны границы.

Наивные определения энтропии и плотности энергии в квантовой теории поля страдают от ультрафиолетовых расходимостей . В случае границы Бекенштейна ультрафиолетовых расходимостей можно избежать, принимая разности между величинами, вычисленными в возбужденном состоянии, и теми же величинами, вычисленными в вакуумном состоянии . Например, задана пространственная область $V$Казини определяет энтропию в левой части границы Бекенштейна как $$S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})$$где $S(\rho _{V})$ - энтропия фон Неймана приведенной матрицы плотности $\rho _{V}$ связанный с $V$ в возбужденном состоянии $\rho$, и $S(\rho _{V}^{0})$ - соответствующая энтропия фон Неймана для вакуумного состояния. $\rho ^{0}$.

В правой части границы Бекенштейна трудным моментом является строгая интерпретация величины $2\pi RE$, где $R$ - характерный масштаб длины системы и $E$ является характеристической энергией. Это произведение имеет те же единицы, что и генератор лоренцевого буста , а естественным аналогом буста в этой ситуации является модульный гамильтониан вакуумного состояния. $K=-\log \rho _{V}^{0}$. Казини определяет правую часть границы Бекенштейна как разницу между средним значением модулярного гамильтониана в возбужденном состоянии и вакуумном состоянии: $$K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).$$

С этими определениями граница читается $$S_{V}\leq K_{V},$$который можно переставить, чтобы дать $$\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.$$

Это просто утверждение о положительности квантовой относительной энтропии , которое доказывает границу Бекенштейна.

Однако модульный гамильтониан можно интерпретировать как взвешенную форму энергии только для конформных теорий поля и тогда, когда V является сферой.

Эта конструкция позволяет нам понять эффект Казимира. где плотность локализованной энергии ниже , чем у вакуума, т.е. отрицательная локализованная энергия. Локализованная энтропия вакуума отлична от нуля, поэтому эффект Казимира возможен для состояний с более низкой локализованной энтропией, чем у вакуума. Излучение Хокинга можно объяснить сбросом локализованной отрицательной энергии в черную дыру.

См. также

• Теорема Марголюса – Левита
• Принцип Ландауэра
• Предел Бремермана
• Колмогоровская сложность
• За пределами черных дыр
• Цифровая физика
• Пределы вычислений
• Предел Чандрасекара

Внешние ссылки

• Джейкоб Д. Бекенштейн, «Энтропия Бекенштейна-Хокинга» , Scholarpedia , Vol. 3, № 10 (2008), с. 7375, doi : 10.4249/scholarpedia.7375 .
• Веб-сайт Джейкоба Д. Бекенштейна в физики Рака Институте Еврейского университета в Иерусалиме , на котором содержится ряд статей о границе Бекенштейна.
• О'Дауд, Мэтт (12 сентября 2018 г.). «Сколько информации содержится во Вселенной?» . PBS «Пространство-время» . Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г. – на YouTube .