Теорема Вайнберга – Виттена

В теоретической физике Вайнберга -Виттена ( WW ) теорема , доказанная Стивеном Вайнбергом и Эдвардом Виттеном , утверждает, что безмассовые частицы (либо составные, либо элементарные) со спином j > 1/2 не могут нести Лоренц-ковариантный ток, в то время как безмассовые частицы со спином j > 1 не могут переносить лоренц-ковариантную энергию-напряжение . Теорему обычно интерпретируют так, что гравитон ( j = 2) не может быть составной частицей в релятивистской квантовой теории поля .

Фон

В 1980-е годы преонные теории, техниколор и тому подобное были очень популярны, и некоторые люди предполагали, что гравитация может быть новым явлением или что глюоны могут быть составными . Вайнберг и Виттен, с другой стороны, разработали недопустимую теорему , которая исключает, при очень общих предположениях, гипотетические сложные и эмерджентные теории. Десятилетия спустя были предложены новые теории возникающей гравитации, и некоторые физики высоких энергий до сих пор используют эту теорему, чтобы попытаться опровергнуть такие теории. Поскольку большинство этих возникающих теорий не являются лоренц-ковариантными, теорема WW неприменима. Однако нарушение лоренц-ковариации обычно приводит к другим проблемам.

Теорема

Вайнберг и Виттен доказали два отдельных результата. По их мнению, первая заслуга Сидни Коулмана , который ее не публиковал:

• 3 + 1D КТП ( квантовая теория поля ) с сохраняющимся 4-векторным током $J^{\mu }$ (см. четырехток ), который является ковариантным по Пуанкаре (и калибровочно-инвариантным , если существует какая-либо калибровочная симметрия , не фиксированная калибровкой ), не допускает безмассовых частиц со спиральностью | ч | > 1/2, которые также имеют ненулевые заряды, связанные с рассматриваемым сохраняющимся током.
• 3 + 1D КТП с ненулевым сохраняющимся тензором энергии-импульса $T^{\mu \nu }$ который является ковариантным по Пуанкаре (и калибровочно-инвариантным, если существует какая-либо калибровочная симметрия , не фиксированная калибровкой ), не допускает безмассовых частиц со спиральностью | ч | > 1.

Набросок доказательства

Сохраняющийся заряд Q определяется выражением $\int d^{3}x\,J^{0}$. Рассмотрим матричные элементы заряда и тока $J^{\mu }$ для одночастичных асимптотических состояний равной спиральности $|p\rangle$ и $|p'\rangle$, отмеченные их светоподобными 4-импульсами . Мы рассмотрим случай, когда $(p-p')$ не равно нулю, что означает, что передача импульса пространственноподобна . Пусть q будет собственным значением этих состояний для оператора заряда Q , так что:

${\begin{aligned}q\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})=\langle p'|Q|p\rangle &=\int d^{3}x\,\langle p'|J^{0}({\vec {x}},0)|p\rangle \\&=\int d^{3}x\,\langle p'|e^{-i{\vec {P}}\cdot {\vec {x}}}J^{0}(0,0)e^{i{\vec {P}}\cdot {\vec {x}}}|p\rangle \\&=\int d^{3}x\,e^{i({\vec {p}}-{\vec {p}}')\cdot {\vec {x}}}\langle p'|J^{0}(0,0)|p\rangle =(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})\langle p'|J^{0}(0,0)|p\rangle \end{aligned}}$

где мы теперь использовали трансляционную ковариацию, которая является частью ковариации Пуанкаре. Таким образом:

$\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle ={\frac {q}{(2\pi )^{3}}}$

с $q\neq 0$.

Давайте перейдем к системе отсчета , где p движется вдоль положительной оси z , а p 'движется вдоль отрицательной оси z . Это всегда возможно для любой пространственноподобной передачи импульса.

В этой системе отсчета $\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle$ и $\langle p'|J^{3}(0)|p\rangle$ изменение на фазовый коэффициент $e^{i(h-(-h))\theta }=e^{2ih\theta }$ при вращении на θ против часовой стрелки вокруг оси z , тогда как $\langle p'|J^{1}(0)+iJ^{2}(0)|p\rangle$ и $\langle p'|J^{1}(0)-iJ^{2}(0)|p\rangle$ изменение фазовыми факторами $e^{i(2h+1)\theta }$ и $e^{i(2h-1)\theta }$ соответственно.

Если h не равен нулю, нам нужно указать фазы состояний. В общем, это невозможно сделать лоренц-инвариантным способом (см. прецессию Томаса ), но одночастичное гильбертово пространство является лоренц-ковариантным. Итак, если мы сделаем произвольный, но фиксированный выбор фаз, то каждый из компонентов матрицы из предыдущего параграфа должен быть инвариантным относительно вращений вокруг оси z . Итак, если | ч | = 0 или 1/2, все компоненты должны быть равны нулю.

Вайнберг и Виттен не предполагали преемственности.

$\langle p|J^{0}(0)|p\rangle =\lim _{p'\rightarrow p}\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle$.

Скорее, авторы утверждают, что физические (т.е. измеримые) квантовые числа безмассовой частицы всегда определяются матричными элементами в пределе нулевого импульса, определенного для последовательности пространственноподобных передач импульса. Также, $\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}})$ в первом уравнении можно заменить «размазанной» дельта-функцией Дирака , что соответствует выполнению $d^{3}x$ Интеграл по объему по конечному ящику.

Доказательство второй части теоремы полностью аналогично, с заменой матричных элементов тока на матричные элементы тензора энергии-импульса $T^{\mu \nu }$:

$p^{\mu }=\int d^{3}x\,T^{\mu 0}({\vec {x}},0)$ и

$\langle p|T^{00}(0)|p\rangle ={\frac {E}{(2\pi )^{3}}}$

с $E\neq 0$.

Для пространственноподобной передачи импульса мы можем перейти к системе отсчета, где p ′ + p находится вдоль оси t , а p ′ − p — вдоль оси z . В этой системе отсчета компоненты $\langle p'|\mathbf {T} (0)|p\rangle$ трансформируется как $e^{i(2h-2)\theta }$, $e^{i(2h-1)\theta }$, $e^{i(2h)\theta }$, $e^{i(2h+1)\theta }$ или $e^{i(2h+2)\theta }$ при вращении на θ вокруг оси z . Аналогично мы можем заключить, что $|h|=0,{\frac {1}{2}},1$

Обратите внимание, что эта теорема применима и к теориям свободного поля . Если они содержат безмассовые частицы с «неправильной» спиральностью/зарядом, они должны быть калибровочными теориями.

Исключение новых теорий

Какое отношение эта теорема имеет к эмерджентным/композитным теориям?

Если, скажем, гравитация — это возникающая теория фундаментально плоской теории в плоском пространстве-времени Минковского , то по теореме Нётер мы имеем сохраняющийся тензор энергии-импульса, который является ковариантным Пуанкаре. Если теория обладает внутренней калибровочной симметрией (типа Янга–Миллса), мы можем выбрать тензор энергии-напряжения Белинфанте–Розенфельда , который является калибровочно-инвариантным. не существует Поскольку фундаментальной симметрии диффеоморфизмов , нам не нужно беспокоиться о том, что этот тензор не является BRST-замкнутым относительно диффеоморфизмов. Итак, применяется теорема Вайнберга-Виттена, и мы не можем получить безмассовый составной /эмерджентный гравитон со спином 2 (т. е. спиральностью ±2) .

Если у нас есть теория с фундаментальным сохраняющимся 4-током, связанным с глобальной симметрией , то у нас не может быть возникающих/составных безмассовых частиц со спином 1, которые заряжены в соответствии с этой глобальной симметрией.

Теории, к которым теорема неприменима

Неабелевы калибровочные теории

Есть несколько способов понять, почему неабелевы Янга – Миллса теории в кулоновской фазе не нарушают эту теорему. Теории Янга-Миллса не имеют никаких сохраняющихся 4-токов, связанных с зарядами Янга-Миллса, которые являются как ковариантными Пуанкаре, так и калибровочными инвариантами. Теорема Нётер дает ток, который сохраняется и ковариантен Пуанкаре, но не калибровочно-инвариантен. Как | p > действительно является элементом когомологий BRST , т.е. факторпространства , это действительно класс эквивалентности состояний. Как таковой, $\langle p'|J|p\rangle$ корректно определен только в том случае, если J BRST-замкнут. Но если J не калибровочно-инвариантен, то J вообще не BRST-замкнут. Ток определяется как $J^{\mu }(x)\equiv {\frac {\delta }{\delta A_{\mu }(x)}}S_{\mathrm {matter} }$ не сохраняется, поскольку удовлетворяет $D_{\mu }J^{\mu }=0$ вместо $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ где D — ковариантная производная . Ток, определенный после фиксации калибровки, такой как кулоновская калибровка, сохраняется, но не является лоренц-ковариантным.

Спонтанно сломанные калибровочные теории

Калибровочные бозоны, связанные со спонтанным нарушением симметрии, массивны. Например, в КХД мы имеем электрически заряженные ро-мезоны , которые можно описать возникающей скрытой калибровочной симметрией, которая спонтанно нарушается. Поэтому ничто в принципе не мешает нам иметь составные преонные модели W- и Z-бозонов .

Аналогичным образом, даже несмотря на то, что фотон заряжен в условиях слабой симметрии SU(2) (поскольку это калибровочный бозон, связанный с линейной комбинацией слабого изоспина и гиперзаряда), он также движется через конденсат таких зарядов, и Итак, это не точное собственное состояние слабых зарядов, и эта теорема тоже неприменима.

Огромная гравитация

Подобным же образом можно создать сложную/эмерджентную теорию массивной гравитации .

Общая теория относительности

В ОТО существуют диффеоморфизмы, и A|ψ> (над элементом |ψ> BRST-когомологий) имеет смысл только в том случае, если A BRST-замкнута. Локальных BRST-замкнутых операторов не существует, и это включает в себя любой тензор энергии-импульса, который только можно придумать.

В качестве альтернативного объяснения отметим, что тензор напряжений для чистой ОТО обращается в нуль (это утверждение эквивалентно вакуумному уравнению Эйнштейна), а тензор напряжений для ОТО, связанного с материей, представляет собой всего лишь тензор напряжений материи. Последний не сохраняется, $\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }^{\text{matter}}\neq 0$, а скорее $\nabla ^{\mu }T_{\mu \nu }^{\text{matter}}=0$ где $\nabla ^{\mu }$ является ковариантной производной.

Индуцированная гравитация

В индуцированной гравитации фундаментальная теория также инвариантна к диффеоморфизму, и применим тот же комментарий.

Двойственность Зайберга

Если мы возьмем N=1 киральную супер -КХД с N _c цветами и N _f ароматами с $N_{f}-2\geq N_{c}>{\frac {2}{3}}N_{f}$, то в силу двойственности Зайберга эта теория двойственна неабелевой $SU(N_{f}-N_{c})$ калибровочная теория, которая тривиальна (т.е. свободна) в инфракрасном пределе. По существу, дуальная теория не страдает от какой-либо внутричастичной проблемы или непрерывного спектра масс. Несмотря на это, дуальная теория по-прежнему остается неабелевой теорией Янга–Миллса. Из-за этого двойной магнитный ток по-прежнему страдает от тех же проблем, хотя это «возникающий ток». Свободные теории не исключаются из теоремы Вайнберга-Виттена.

Конформная теория поля

В конформной теории поля единственные действительно безмассовые частицы — это невзаимодействующие одиночки (см. «Одноэлементное поле» ). Другие «частицы»/связанные состояния имеют непрерывный спектр масс , который может принимать любую сколь угодно малую ненулевую массу. Таким образом, мы можем иметь связанные состояния со спином 3/2 и спином 2 с сколь угодно малой массой, но при этом не нарушать теорему. Другими словами, это инфрачастицы .

Инфрачастицы

Две в остальном одинаковые заряженные инфрачастицы, движущиеся с разными скоростями, принадлежат разным секторам суперотбора . Допустим, они имеют импульсы p ′ и p соответственно. Тогда как Дж. ^м (0) — локальный нейтральный оператор , он не отображает различные сектора супервыбора. Так, $<p'|J^{\mu }(0)|p>$ равен нулю. Единственный способ | р ''> и | p > могут принадлежать одному и тому же сектору, если они имеют одинаковую скорость, а это означает, что они пропорциональны друг другу, то есть передача нулевого или нулевого импульса, которая не рассматривается в доказательстве. Итак, инфрачастицы нарушают предположение о непрерывности

$\langle p|J^{0}(0)|p\rangle =\lim _{p'\rightarrow p}\langle p'|J^{0}(0)|p\rangle$

Это, конечно, не означает, что импульс заряженной частицы не может измениться на некоторый пространственноподобный импульс. Это лишь означает, что если входящее состояние представляет собой одно инфрачастичное состояние, то выходное состояние содержит инфрачастицу вместе с несколькими мягкими квантами. Это не что иное, как неизбежное тормозное излучение . Но это также означает, что исходящее состояние не является одночастичным состоянием.

Теории с нелокальными зарядами

Очевидно, что нелокальный заряд не имеет локального 4-тока, а теория с нелокальным 4-импульсом не имеет локального тензора энергии-импульса.

Акустические метрические теории и аналоговая модель гравитации

Эти теории не являются лоренц-ковариантными. Однако некоторые из этих теорий могут привести к появлению приближенной эмерджентной симметрии Лоренца при низких энергиях.

Теория суперструн

Теория суперструн, определенная на основе фоновой метрики (возможно, с некоторыми потоками) в 10D-пространстве, которое является продуктом плоского 4D-пространства Минковского и компактного 6D-пространства, имеет в своем спектре безмассовый гравитон. Это возникшая частица, возникшая в результате колебаний суперструны. Давайте посмотрим, как мы могли бы определить тензор энергии-напряжения. Фон задается g (метрикой) и парой других полей. Эффективное действие является функционалом фона. Тогда VEV функциональная тензора энергии-импульса определяется как производная

$T^{MN}(x)\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta }{\delta g_{MN}(x)}}\Gamma [{\text{background}}].$

Оператор энергии-напряжения определяется как вершинный оператор, соответствующий этому бесконечно малому изменению фоновой метрики.

Не все фоны допустимы. Суперструны должны обладать суперконформной симметрией, которая является суперобобщением симметрии Вейля , чтобы быть непротиворечивыми, но они суперконформны только при распространении на некоторых особых фонах (которые удовлетворяют уравнениям поля Эйнштейна плюс некоторым поправкам более высокого порядка). Из-за этого эффективное действие определяется только на этом специальном фоне, а функциональная производная не определена четко. Вершинного оператора для тензора энергии-импульса в точке также не существует.

Ссылки

• Вайнберг, Стивен; Виттен, Эдвард (1980). «Пределы безмассовых частиц». Буквы по физике Б. 96 (1–2): 59–62. Бибкод : 1980PhLB...96...59W . дои : 10.1016/0370-2693(80)90212-9 .
• Дженкинс, Алехандро (2006). Темы физики элементарных частиц и космологии за пределами стандартной модели (Диссертация). arXiv : hep-th/0607239 . Бибкод : 2006PhDT........96J . (подробный обзор см. в главе 2)