Группа Лоренца может быть представлена матрицами 4×4 Λ . Действие преобразования Лоренца на общий контравариантный четырехвектор X (как в приведенных выше примерах), рассматриваемый как вектор-столбец с декартовыми координатами относительно инерциальной системы отсчета в записях, определяется выражением
(умножение матрицы), где компоненты выделенного объекта относятся к новому кадру. Что касается приведенных выше примеров, которые даны в виде контравариантных векторов, существуют также соответствующие ковариантные векторы x µ , p µ и A µ ( x ) . Они преобразуются по правилу
где Т обозначает транспонирование матрицы . Это правило отличается от приведенного выше правила. Это соответствует двойственному представлению стандартного представления. Однако для группы Лоренца двойственное любому представлению эквивалентно исходному представлению. Таким образом, объекты с ковариантными индексами также являются четырехвекторами.
Пример четырехкомпонентного объекта с хорошим поведением в специальной теории относительности, который не является четырехвектором, см. в разделе «Биспинор» . Оно определяется аналогично, с той разницей, что правило преобразования при преобразованиях Лоренца задается представлением, отличным от стандартного представления. В этом случае правило гласит: X ′ = Π(Λ) X , где Π(Λ) — матрица 4×4, отличная от Λ . Аналогичные замечания применимы к объектам с меньшим или большим количеством компонентов, которые хорошо себя ведут при преобразованиях Лоренца. К ним относятся скаляры , спиноры , тензоры и спинор-тензоры.
В статье рассматриваются четырехвекторы в контексте специальной теории относительности. Хотя концепция четырехвекторов распространяется и на общую теорию относительности , некоторые результаты, изложенные в этой статье, требуют модификации в общей теории относительности.
Четырехвектор представляет собой A вектор с «времяподобным» компонентом и тремя «пространственноподобными» компонентами и может быть записан в различных эквивалентных обозначениях: [3]
где а – компонент магнитуды, а E α – компонент базисного вектора ; обратите внимание, что оба необходимы для создания вектора, и что когда A а рассматривается отдельно, оно относится строго к компонентам вектора.
Верхние индексы указывают на контравариантные компоненты. Здесь стандартное соглашение состоит в том, что латинские индексы принимают значения для пространственных компонентов, так что i = 1, 2, 3, а греческие индексы принимают значения для компонентов пространства и времени , поэтому α = 0, 1, 2, 3, используемые при суммировании . соглашение . Разделение между временным компонентом и пространственными компонентами полезно делать при определении сокращений вектора одной четверки с другими тензорными величинами, например, для расчета инвариантов Лоренца в скалярных произведениях (примеры приведены ниже) или повышения и понижения индексов .
В специальной теории относительности пространственноподобный базис E 1 , E 2 , E 3 и компоненты A 1 , А 2 , А 3 часто являются декартовым базисом и компонентами:
или любые другие ортогональные координаты , или даже общие криволинейные координаты . Обратите внимание, что метки координат всегда имеют индексы как метки и не являются индексами, принимающими числовые значения. В общей теории относительности необходимо использовать локальные криволинейные координаты в локальном базисе. Геометрически четырехвектор еще можно интерпретировать как стрелку, но в пространстве-времени – не только пространстве. В теории относительности стрелки рисуются как часть диаграммы Минковского (также называемой диаграммой пространства-времени ). В этой статье четырехвекторы будут называться просто векторами.
Учитывая две инерциальные или повернутые системы отсчета , четырехвектор определяется как величина, которая преобразуется в соответствии с преобразования Лоренца матрицей Λ :
В индексной записи контравариантные и ковариантные компоненты преобразуются соответственно:
в котором матрица Λ имеет компоненты Λ м ν в строке µ и столбце ν , а матрица ( Λ −1 ) Т имеет компоненты Λ μ н в строке µ и столбце ν .
Дополнительную информацию о природе этого определения преобразования см. в разделе tensor . Все четырехвекторы преобразуются одинаково, и это можно обобщить на четырехмерные релятивистские тензоры; см . специальную теорию относительности .
Чистые вращения вокруг произвольной оси [ править ]
Для двух кадров, повернутых на фиксированный угол θ вокруг оси, определяемой единичным вектором :
без каких-либо повышений матрица Λ имеет компоненты, определяемые следующим образом: [4]
где δij — дельта Кронекера , а εijk — трехмерный символ Леви - Чивита . Пространственноподобные компоненты четырехвекторов вращаются, а времениподобные остаются неизменными.
Только для случая вращения вокруг оси z пространственноподобная часть матрицы Лоренца сводится к матрице вращения вокруг оси z :
Чистое усиление в произвольном направлении [ править ]
Стандартная конфигурация систем координат; для усиления Лоренца в направлении x .
Для двух кадров, движущихся с постоянной относительной трехскоростью v (а не четырехскоростью, см. ниже ), относительную скорость удобно обозначать и определять в единицах c следующим образом:
Тогда без вращений матрица Λ имеет компоненты, определяемые следующим образом: [5]
Эта матрица Лоренца иллюстрирует усиление как гиперболическое вращение в четырехмерном пространстве-времени, аналогичное круговому вращению, описанному выше в трехмерном пространстве.
в специальной теории относительности. Скалярное произведение базисных векторов представляет собой метрику Минковского, в отличие от дельты Кронекера, как в евклидовом пространстве. Удобно переписать определение в матричной форме:
в этом случае η µν выше является записью в строке µ и столбце ν метрики Минковского в виде квадратной матрицы. Метрика Минковского не является евклидовой метрикой , поскольку она неопределенна (см. подпись метрики ). поскольку метрический тензор может повышать и понижать компоненты A или B. Можно использовать ряд других выражений , Для контра/ковариантных компонентов A и ко/контравариантных компонентов B мы имеем:
поэтому в матричной записи:
в то время как для A и B каждый в ковариантных компонентах:
с матричным выражением, аналогичным приведенному выше.
Применяя тензор Минковского к четырехвектору A с самим собой, получаем:
которое, в зависимости от случая, можно считать квадратом или его отрицательным значением длины вектора.
Ниже приведены два распространенных варианта метрического тензора в стандартном базисе (по сути, в декартовых координатах). Если используются ортогональные координаты, то вдоль диагональной части пространственноподобной части метрики будут масштабные коэффициенты, тогда как для общих криволинейных координат вся пространственноподобная часть метрики будет иметь компоненты, зависящие от используемого криволинейного базиса.
В специальной теории относительности постоянно используется выражение
в одной системе отсчета , где C — значение внутреннего продукта в этой системе отсчета, и:
в другом кадре, в котором C ’ — значение внутреннего продукта в этом кадре. Тогда, поскольку внутренний продукт является инвариантом, они должны быть равны:
то есть:
Учитывая, что физические величины в теории относительности являются четырехвекторными, это уравнение имеет вид « закона сохранения », но в нем нет никакого «сохранения». Основное значение внутреннего продукта Минковского состоит в том, что для любых двух четырехвекторов его значение инвариантно для всех наблюдателей; изменение координат не приводит к изменению значения внутреннего продукта. Компоненты четырехвекторов меняются от одного кадра к другому; A и A ′ связаны преобразованием Лоренца , и аналогично для B и B ′, хотя скалярные произведения одинаковы во всех системах отсчета. Тем не менее, этот тип выражения используется в релятивистских расчетах наравне с законами сохранения, поскольку величины компонент могут быть определены без явного выполнения каких-либо преобразований Лоренца. Конкретным примером является энергия и импульс в соотношении энергия-импульс, полученном из вектора четырех импульсов (см. Также ниже).
Некоторые авторы определяют η с противоположным знаком, и в этом случае мы имеем метрическую сигнатуру (−+++). Оценка суммирования с помощью этой сигнатуры:
в то время как матричная форма:
Обратите внимание, что в данном случае в одном кадре:
а в другом:
так что:
что эквивалентно приведенному выше выражению C через A и B. для Любая конвенция будет работать. Поскольку метрика Минковского определена двумя вышеописанными способами, единственная разница между ковариантными и контравариантными четырехвекторными компонентами - это знаки, поэтому знаки зависят от того, какое соглашение о знаках используется.
В специальной теории относительности (но не в общей теории относительности) производная четырехвектора по скаляру λ (инварианту) сама является четырехвектором. Также полезно взять дифференциал четырехвектора d A и разделить его на дифференциал скаляра dλ :
где контравариантные компоненты:
а ковариантные компоненты:
В релятивистской механике часто берут дифференциал четырехвектора и делят на дифференциал в нужное время (см. ниже).
Точка в пространстве Минковского — это временное и пространственное положение, называемое «событием», а иногда и положение четырехвекторное, или четырехпозиционное, или 4-позиционное, описываемое в некоторой системе отсчета набором из четырех координат:
где r — трехмерного пространства вектор положения . Если r является функцией координатного времени t в той же системе отсчета, т.е. r = r ( t ), это соответствует последовательности событий при изменении t . Определение Р 0 = ct гарантирует, что все координаты имеют одинаковые единицы измерения (расстояния). [8] [9] [10] Эти координаты являются компонентами четырех-вектора положения события.
определяется Четырехвектор смещения как «стрелка», соединяющая два события:
определяющий элемент дифференциальной линии d s и приращение собственного времени d τ , но эта «норма» также является:
так что:
При рассмотрении физических явлений естественным образом возникают дифференциальные уравнения; однако при рассмотрении производных функций по пространству и времени неясно, по отношению к какой системе отсчета берутся эти производные. Принято считать, что производные по времени берутся по собственному времени. . Поскольку собственное время является инвариантом, это гарантирует, что производная по собственному времени любого четырехвектора сама является четырехвектором. Затем важно найти связь между этой производной по собственному времени и другой производной по времени (используя координатное время t инерциальной системы отсчета). Это соотношение обеспечивается путем взятия вышеуказанного дифференциально-инвариантного пространственно-временного интервала и его деления на ( cdt ) 2 чтобы получить:
где u = d r / dt — координата 3- скорость объекта, измеренная в той же системе отсчета, что и координаты x , y , z и координатное время t , и
является фактором Лоренца . Это обеспечивает полезную связь между дифференциалами координатного времени и собственного времени:
Обратите внимание, что базисные векторы помещаются перед компонентами, чтобы избежать путаницы между взятием производной базисного вектора или просто указанием, что частная производная является компонентом этого четырехвектора. Ковариантные компоненты:
Поскольку это оператор, у него нет «длины», но вычисление внутреннего продукта оператора на самого себя дает другой оператор:
Четырехскоростная скорость частицы определяется следующим образом:
Геометрически U представляет собой нормированный вектор, касательный к мировой линии частицы. Используя дифференциал четырехпозиционной, можно получить величину четырехскоростной:
Короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой:
где a = d u / dt – координата 3-ускорения. Поскольку величина U является постоянной, четыре ускорения ортогональны четырем скоростям, т. е. внутренний продукт Минковского четырех ускорений и четырех скоростей равен нулю:
что справедливо для всех мировых линий. Геометрический смысл четырехускорения — вектор кривизны мировой линии в пространстве Минковского.
Четырехсила , действующая на частицу, определяется аналогично 3-силе как производная по времени 3-импульса во втором законе Ньютона :
где P — мощность , передаваемая для перемещения частицы, а f — 3-сила, действующая на частицу. Для частицы постоянной инвариантной массы m 0 это эквивалентно
Четырехмерное векторное поле теплового потока по существу аналогично трехмерному теплового потока векторному полю q в локальной системе отсчета жидкости: [11]
Величинами, обратными времени t и пространству r, являются угловая частота ω и угловой волновой вектор k соответственно. Они образуют компоненты четырехволнового вектора или волнового четырехвектора:
мы имеем волновой аналог соотношения энергия-импульс:
Обратите внимание, что для безмассовых частиц, в этом случае m 0 = 0 , имеем:
или ‖ k ‖ знак равно ω / c . Обратите внимание, что это соответствует приведенному выше случаю; для фотонов с 3-волновым вектором модуля ω/c в направлении распространения волны , определяемом единичным вектором
Четырехспин будет частицы определяется в системе покоя частицы, которая
где s — псевдовектор спина . В квантовой механике не все три компонента этого вектора измеримы одновременно, а только одна компонента. Времяподобный компонент равен нулю в системе покоя частицы, но не в любой другой системе отсчета. Эту компоненту можно найти с помощью соответствующего преобразования Лоренца.
Квадрат нормы — это (отрицательный) квадрат величины спина, и согласно квантовой механике мы имеем
Это значение наблюдаемо и квантовано, причем s — квантовое число спина (а не величина вектора спина).
В алгебре пространства-времени , другом примере алгебры Клиффорда, гамма-матрицы также могут образовывать базис . (Их также называют матрицами Дирака из-за их появления в уравнении Дирака ). Существует несколько способов выражения гамма-матриц, подробно описанных в этой основной статье.
^ Владимир Г. Иванцевич, Тияна Т. Иванцевич (2008) Квантовый скачок: от Дирака и Фейнмана через вселенную к человеческому телу и разуму . Всемирная научная издательская компания, ISBN 978-981-281-927-7 , с. 41
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 749FBD868E2D66CD1886BF043F4B0924__1708115220 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/4-vector Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Four-vector - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)