Производная по времени

Производная по времени — это производная функции по времени , обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. ^[1] Переменная, обозначающая время, обычно записывается как $t$ .

Обозначения

Для обозначения производной по времени используются различные обозначения. В дополнение к обычным обозначениям ( Лейбница )

{\frac {dx}{dt}}

Очень распространенное сокращенное обозначение, особенно в физике, — это «точка». ИЕ

{\dot {x}}

(Это называется обозначением Ньютона )

Используются также высшие производные по времени: вторая производная по времени записывается как

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}

с соответствующим сокращением ${\ddot {x}}$ .

В качестве обобщения, производная вектора по времени, скажем:

\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]

определяется как вектор, компоненты которого являются производными компонентов исходного вектора. То есть,

{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].

Использование в физике

Производные по времени являются ключевым понятием в физике . Например, для смены позиции $x$ , ее производная по времени ${\dot {x}}$ — его скорость и его вторая производная по времени, ${\ddot {x}}$ , это его ускорение . Иногда используются и более высокие производные: третья производная положения по времени известна как рывок . См. графики движения и производные .

Большое количество фундаментальных уравнений физики включают в себя первые или вторые производные величин. Многие другие фундаментальные величины в науке являются производными друг от друга по времени:

сила по времени - это производная импульса
мощность - это производная энергии по времени
электрический ток - это производная по времени электрического заряда

и так далее.

Распространенным явлением в физике является производная по времени вектора , например скорости или смещения. При работе с такой производной и величина, и ориентация могут зависеть от времени.

Пример: круговое движение

Например, рассмотрим частицу, движущуюся по круговой траектории. Его положение задается вектором смещения $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}$ , связанный с углом θ и радиальным расстоянием r , как определено на рисунке:

{\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}

В этом примере мы предполагаем, что θ = t . Следовательно, смещение (положение) в любой момент времени t определяется выражением

\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}

движение, описываемое r ( t ), происходит по кругу радиуса r, поскольку величина r Эта форма показывает, что ( t ) определяется выражением

|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r

используя тригонометрическое тождество sin ²( т ) + потому что ²( t ) = 1 и где $\cdot$ — обычное евклидово скалярное произведение.

При такой форме смещения теперь найдена скорость. Производная по времени вектора смещения является вектором скорости. В общем, производная вектора — это вектор, состоящий из компонентов, каждый из которых является производной соответствующего компонента исходного вектора. Таким образом, в данном случае вектор скорости равен:

{\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}

Таким образом, скорость частицы отлична от нуля, хотя величина положения (то есть радиус пути) постоянна. Скорость направлена перпендикулярно смещению, что можно определить с помощью скалярного произведения :

\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.

Тогда ускорение является производной скорости по времени:

\mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.

Ускорение направлено внутрь, к оси вращения. Он направлен напротив вектора положения и перпендикулярно вектору скорости. Это направленное внутрь ускорение называется центростремительным ускорением .

В дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии величины часто выражаются относительно локального ковариантного базиса : $\mathbf {e} _{i}$ , где i варьируется по количеству измерений. Компоненты вектора $\mathbf {U}$ выраженное таким образом преобразование в виде контравариантного тензора , как показано в выражении $\mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}$ , ссылаясь на соглашение Эйнштейна о суммировании . Если мы хотим вычислить производные по времени этих компонентов вдоль траектории, чтобы мы имели $\mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)$ , мы можем определить новый оператор, инвариантную производную $\delta$ , который продолжит возвращать контравариантные тензоры: ^[2]

{\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}

где $V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}$ (с $x^{j}$ будучи j -й координатой) захватывает компоненты скорости в локальном ковариантном базисе, и $\Gamma _{jk}^{i}$ — символы Кристоффеля для системы координат. Обратите внимание, что явная зависимость от t в обозначениях скрыта. Тогда мы можем написать:

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}

а также:

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}

С точки зрения ковариантной производной , $\nabla _{j}$ , у нас есть:

{\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}

Использование в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных строятся в непрерывном времени и, следовательно, используют производные по времени. ^[3]^{: гл. 1-3} Одна ситуация связана с переменной запаса и ее производной по времени, переменной потока . Примеры включают в себя:

Поток чистых инвестиций в основной капитал является производной по времени от основного капитала .
Поток инвестиций в запасы является производной по времени от запасов запасов .
Темп роста денежной массы представляет собой производную по времени денежной массы, деленную на саму денежную массу.

Иногда в модели может появиться производная по времени переменной потока:

Темп роста выпуска — это производная по времени от потока выпуска, деленного на сам выпуск.
Темп роста рабочей силы представляет собой производную по времени рабочей силы, разделенную на саму рабочую силу.

А иногда появляется временная производная переменной, которая, в отличие от приведенных выше примеров, не измеряется в денежных единицах:

Может появиться производная по времени от ключевой процентной ставки .
Уровень инфляции — это темп роста уровня цен , то есть производная по времени от уровня цен, деленная на сам уровень цен.

См. также

Ссылки

^ Чан, Альфа К. , Фундаментальные методы математической экономики , McGraw-Hill, третье издание, 1984, гл. 14, 15, 18.
^ Гринфельд, Павел. «Тензорное исчисление 6d: скорость, ускорение, толчок и новая производная δ/δt» . Ютуб . Архивировано из оригинала 13 декабря 2021 г.
^ См., например Ромер, Дэвид (1996). Продвинутая макроэкономика . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-053667-8 .

[1] Чан, Альфа К. , Фундаментальные методы математической экономики , McGraw-Hill, третье издание, 1984, гл. 14, 15, 18.

[2] Гринфельд, Павел. «Тензорное исчисление 6d: скорость, ускорение, толчок и новая производная δ/δt» . Ютуб . Архивировано из оригинала 13 декабря 2021 г.

[3] См., например Ромер, Дэвид (1996). Продвинутая макроэкономика . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-053667-8 .

[1]

[2]

[3]