Обозначения для дифференцирования

В дифференциальном исчислении не существует единого единого обозначения дифференцирования . различные обозначения производной функции или . переменной Вместо этого разные математики предлагали Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда бывает выгодно использовать более одной нотации в данном контексте. наиболее распространенные обозначения дифференцирования (и его противоположной операции — антидифференциации или неопределенного интегрирования Ниже перечислены ).

Обозначения Лейбница [ править ]

ты

дх

д ²и

дх ²

Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница.

Оригинальные обозначения, использованные Готфридом Лейбницем, используются во всей математике. Это особенно распространено, когда уравнение $y = f (x)$ рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными $y$ и $x$ . Обозначения Лейбница делают это соотношение явным, записывая производную как

{\frac {dy}{dx}}.

Кроме того, поэтому производная $f$ в $точке x$ записывается

{\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).

Высшие производные записываются как

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

Это наводящий на размышления прием обозначения, возникающий в результате формальных манипуляций с символами, например:

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

Значение производной $y$ в точке $x = a$ можно выразить двумя способами, используя обозначения Лейбница:

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)

.

Обозначения Лейбница позволяют указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также позволяет правило цепочки легко запомнить и распознать :

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

Обозначение Лейбница для дифференцирования не требует присвоения значения таким символам, как $dx$ или $dy$ (известным как дифференциалы ), как таковым, и некоторые авторы не пытаются придавать значение этим символам. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые . Более поздние авторы присвоили им другие значения, например, бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные . Обычно $dx$ оставляют неопределенным или приравнивают к $\Delta x$ , в то время как $dy$ присваивается значение в терминах $dx$ через уравнение

dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,

что также можно записать, например

df=f'(x)\cdot dx

(см. ниже ). Такие уравнения порождают терминологию, встречающуюся в некоторых текстах, где производная называется «дифференциальным коэффициентом» (т.е. коэффициентом при dx $)$ .

Некоторые авторы и журналы пишут дифференциальный символ $d$ прямым шрифтом вместо курсива : $d x$ . Руководство по научному стилю ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Лейбница антидифференцировки Обозначение для

\int y\,dx

\iint y\,dx^{2}

Одинарный и двойной неопределенные интегралы от y по x в обозначениях Лейбница.

Лейбниц ввел интегральный символ $\int$ в «Анализ тетрагонистической части секунды» и «Методи тангенциум инверса экземпла» (оба 1675 г.). Теперь это стандартный символ интеграции .

{\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}

Обозначения Лагранжа [ править ]

ж ′ ( Икс )

Функция f от x , дифференцированная один раз в обозначениях Лагранжа.

Одно из наиболее распространенных современных обозначений дифференцирования названо в честь Жозефа Луи Лагранжа , хотя на самом деле оно было изобретено Эйлером и только что популяризировано первым. В обозначениях Лагранжа штрих обозначает производную. Если f — функция, то ее производная, вычисленная в точке x, записывается

f'(x)

.

Впервые оно появилось в печати в 1749 году. ^[1]

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как в $f''(x)$ для второй производной и $f'''(x)$ для третьей производной . Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры , обычно в нижнем регистре. ^[2]^[3] как в

f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, например:

f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .

Эти обозначения также позволяют описать n- ю производную, где n — переменная. Это написано

f^{(n)}(x).

Символы Юникода, связанные с обозначениями Лагранжа, включают

U+2032 ◌′ ПРЕМЬЕР (производная)
U + 2033 ◌″ DOUBLE PRIME (двойная производная)
U + 2034 ◌‴ ТРОЙНОЕ ПРАЙМ (третья производная)
U + 2057 ◌⁗ ЧЕТВЕРНОЕ ПРОСТОЕ (четвертая производная)

Когда есть две независимые переменные для функции f ( x , y ), можно следовать следующему соглашению: ^[4]

{\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}

Лагранжа антидифференцировки Обозначение для

ж ⁽⁻¹⁾( Икс )
ж ⁽⁻²⁾( Икс )

Одиночный и двойной неопределенные интегралы от f по x в обозначениях Лагранжа.

Принимая первообразную, Лагранж следовал обозначениям Лейбница: ^[5]

f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.

Однако, поскольку интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторные интегралы от f можно записать как

f^{(-1)}(x)

для первого интеграла (его легко спутать с обратной функцией

f^{-1}(x)

),

f^{(-2)}(x)

для второго интеграла

f^{(-3)}(x)

для третьего интеграла и

f^{(-n)}(x)

для n- го интеграла.

D-нотация [ править ]

Д _х у
Д ²ж

Производная x от y и вторая производная от f , обозначение Эйлера.

Это обозначение иногда называют Обозначение Эйлера, хотя оно было введено Луи Франсуа Антуаном Арбогастом , и кажется, что Леонард Эйлер не использовал его. ^{[ нужна цитата ]}

В этом обозначении используется дифференциальный оператор , обозначаемый как $D$ ( оператор D ) ^[6]^{[ не удалось пройти проверку ]} или $D̃$ ( оператор Ньютона–Лейбница ). ^[7] Применительно к функции $f (x)$ она определяется формулой

(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.

Высшие производные обозначаются как «степени» D (где верхние индексы обозначают повторяющуюся композицию D ) , как в ^[4]

D^{2}f

для второй производной,

D^{3}f

для третьей производной и

D^{n}f

для n- й производной.

D-нотация оставляет неявной переменную, по которой проводится дифференцирование. Однако эту переменную также можно сделать явной, поместив ее имя в виде нижнего индекса: если f является функцией переменной x , это можно сделать, написав ^[4]

D_{x}f

для первой производной,

D_{x}^{2}f

для второй производной,

D_{x}^{3}f

для третьей производной и

D_{x}^{n}f

для n- й производной.

Когда f является функцией нескольких переменных, обычно используется « ∂ », стилизованная строчная буква d, а не « $D$ ». Как и выше, нижние индексы обозначают принимаемые производные. Например, вторые частные производные функции $f (x, y)$ : ^[4]

{\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}

См. § Частные производные .

D-нотация полезна при изучении дифференциальных уравнений и в дифференциальной алгебре .

D-нотация для первообразных [ править ]

Д ⁻¹
_х у
Д ⁻²ж

Первообразная x от y и вторая первообразная от f , обозначение Эйлера.

D-нотацию можно использовать для первообразных так же, как нотацию Лагранжа. ^[8] следующее ^[7]

D^{-1}f(x)

для первой первообразной,

D^{-2}f(x)

для второй первообразной и

D^{-n}f(x)

для n-й первообразной.

Обозначения Ньютона [ править ]

ẋ ẍ

Первая и вторая производные x , обозначения Ньютона.

Исаака Ньютона Обозначение дифференцирования (также называемое точечной записью , флюксиями или иногда, грубо говоря, обозначением мухи) ^[9]для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна

{\dot {y}}

Высшие производные обозначаются несколькими точками, как в

{\ddot {y}},{\overset {...}{y}}

Ньютон расширил эту идею довольно далеко: ^[10]

{\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}

Символы Юникода, связанные с обозначениями Ньютона, включают:

U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
U + 0308 ◌̈ КОМБИНИРОВАНИЕ ДИЭРЕЗА (двойная производная)
U+20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки выше».
U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «объединение диэрезиса».
U + 030D ◌̍ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (целое)
U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (целый)
U+20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНЯЮЩИЙ КВАДРАТ (целый)
U+1DE0 ◌ᷠ СОЕДИНЕНИЕ ЛАТИНСКОЙ СТРОЧНОЙ БУКВЫ N ( n- я производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если местоположение $y$ является функцией t , то ${\dot {y}}$ обозначает скорость ^[11] и ${\ddot {y}}$ обозначает ускорение . ^[12]Это обозначение популярно в физике и математической физике . Оно также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения .

При взятии производной зависимой переменной y = f ( x ) существует альтернативное обозначение: ^[13]

{\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X ( ⵋ ). Определения, данные Уайтсайдом, приведены ниже: ^[14]^[15]

{\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}

Обозначение Ньютона для интегрирования [ править ]

х̍ х̎

Первая и вторая первообразные x в одной из обозначений Ньютона.

Ньютон разработал много различных обозначений для интегрирования в своей Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах : он писал небольшую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( $y̍$ ), прямоугольник с префиксом ( $▭ y$ ) или заключение термина в прямоугольник ( $y$ ) для обозначения плавного интеграла или интеграла по времени ( absement ).

{\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}

Чтобы обозначить кратные интегралы, Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа ( $y̎$ ) или комбинацию предыдущих символов $▭ y̍$ $y̍$ , чтобы обозначить второй интеграл по времени (абситность).

{\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}

Интегралы по времени высшего порядка были следующими: ^[16]

{\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}

Эта математическая запись не получила широкого распространения из-за трудностей с печатью и разногласий по поводу исчисления Лейбница-Ньютона .

Частные производные [ править ]

е _х ху _е

Функция f дифференцируется по x , затем по x и y .

Когда необходимы более конкретные типы дифференциации, например, в многомерном исчислении или тензорном анализе , обычно используются другие обозначения.

Для функции f одной независимой переменной x мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}

Этот тип обозначений особенно полезен для получения частных производных функции нескольких переменных.

∂f ∂x

Функция f, дифференцированная по x .

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d символом « ∂ ». Например, мы можем указать частную производную f ( x , y , z ) по x , но не по y или z несколькими способами:

{\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.

Важность этого различия заключается в том, что нечастная производная, такая как $\textstyle {\frac {df}{dx}}$ может , в зависимости от контекста, интерпретироваться как скорость изменения $f$ относительно $x$ когда всем переменным разрешено изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}$ совершенно очевидно, что должна меняться только одна переменная.

Другие обозначения можно найти в различных разделах математики, физики и техники; см., например, соотношения Максвелла в термодинамике . Символ $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}$ является производной температуры T по объему V при сохранении постоянной энтропии (индекс) S , а $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}$ — производная температуры по объёму при постоянном P. давлении Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, так что приходится выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными.

Частные производные более высокого порядка по одной переменной выражаются как

{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

{\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}

Так называемая многоиндексная нотация используется в ситуациях, когда приведенная выше нотация становится громоздкой или недостаточно выразительной. При рассмотрении функций на $\mathbb {R} ^{n}$ мы определяем мультииндекс как упорядоченный список $n$ неотрицательные целые числа: $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ . Затем мы определяем, для $f:\mathbb {R} ^{n}\to X$ , обозначение

\partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f

Таким образом, некоторые результаты (например, правило Лейбница ), которые утомительно записывать другими способами, могут быть кратко выражены - некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексах . ^[17]

Обозначения в векторном исчислении [ править ]

исчисление касается дифференцирования и интегрирования векторных Векторное или скалярных полей . Некоторые обозначения, характерные для случая трехмерного евклидова пространства, являются общими.

Предположим, что $(x, y, z)$ — заданная декартова система координат , что A — векторное поле с компонентами $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$ , и это $\varphi =\varphi (x,y,z)$ является скалярным полем .

Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном , обозначаемый ∇ и называемый del или nabla, символически определяется в форме вектора,

\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,

где терминология символически отражает то, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

∇ φ

Градиент скалярного поля φ .

Градиент : Градиент $\mathrm {grad\,} \varphi$ скалярного поля $\varphi$ — вектор, который символически выражается умножением ∇ и скалярного поля $\varphi$ ,

{\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}

∇∙ A

Дивергенция векторного поля A .

Дивергенция : Дивергенция $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ векторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярным произведением ∇ и вектора A ,

{\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}

∇ ²Фи

Лапласиан скалярного поля φ .

Лапласиан : Лапласиан $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$ скалярного поля $\varphi$ является скаляром, который символически выражается скалярным умножением ∇ ² и скалярное поле φ ,

{\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}

∇× A

Ротор векторного поля A .

Вращение : Вращение $\mathrm {curl} \,\mathbf {A}$ , или $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ , векторного поля A является вектором, который символически выражается векторным произведением ∇ и вектора A ,

{\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}

Многие символические операции над производными можно напрямую обобщить с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения с одной переменной имеет прямой аналог умножения скалярных полей с применением оператора градиента, как в

(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).

Многие другие правила исчисления одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, ротора и лапласиана.

Дальнейшие обозначения были разработаны для более экзотических типов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского , оператор Даламбера также называемый волновым оператором Даламбера или квадратным оператором, представляется как $\Box$ или как $\Delta$ когда это не противоречит символу лапласиана.

См. также [ править ]

Аналитическое общество - британская группа XIX века, которая пропагандировала использование лейбницианского или аналитического исчисления в отличие от ньютоновского исчисления.
Производная – мгновенная скорость изменения (математика)
Fluxion - Историческая математическая концепция; форма производной
Матрица Гессе - (математическая) матрица вторых производных.
Матрица Якобиана — матрица всех частных производных первого порядка векторной функции.
Список математических символов по предметам : значения символов, используемых в математике.
Операционное исчисление

Ссылки [ править ]

^ Гросс, Иоганн; Брейткопф, Бернхард Кристоф; Мартин, Иоганн Кристиан; Гледич, Иоганн Фридрих (сентябрь 1749 г.). «Обозначения для дифференцирования» . Нова Акта Эрудиторум : 512.
^ Моррис, Карла К. (28 июля 2015 г.). Основы исчисления . Старк, Роберт М., 1930–2017 гг. Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 9781119015314 . OCLC 893974565 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Осборн, Джордж А. (1908). Дифференциальное и интегральное исчисление . Бостон: округ Колумбия Хит и компания. стр. 63-65 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дифференциальное и интегральное исчисление ( Огастес Де Морган , 1842). стр. 267-268
^ Лагранж , Новый метод решения буквенных уравнений с помощью рядов (1770), с. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
^ «Оператор D — Дифференциал — Исчисление — Справочник по математике с рабочими примерами» . www.codecogs.com . Архивировано из оригинала 19 января 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальный оператор». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Дифференциальный оператор» . Архивировано из оригинала 21 января 2016 г. Проверено 7 февраля 2016 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Повторный интеграл». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Повторный интеграл» . Архивировано из оригинала 01 февраля 2016 г. Проверено 7 февраля 2016 г.
^ Зилл, Деннис Г. (2009). «1,1» . Первый курс дифференциальных уравнений (9-е изд.). Бельмонт, Калифорния : Брукс/Коул . п. 3. ISBN 978-0-495-10824-5 .
^
Обозначения Ньютона воспроизведены из:
- Производные с 1-й по 5-ю: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), с. 7 (стр. 5r в оригинальном MS: «Записки Ньютона: о квадратуре кривых» . Архивировано из оригинала 28 февраля 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г. ).
- С 1-й по 7-ю, n -я и ( n +1)-я производные: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 313-318 и с. 265 (стр. 163 в оригинальном MS: «Записки Ньютона: Флюксии» . Архивировано из оригинала 6 апреля 2017 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )
- Производные с 1-й по 5-ю: Трактат о флюксиях (Колин МакЛорин, 1742), с. 613
- с 1 по 4 и n Производные : статьи «Дифференциал» и «Флюксия», Словарь чистой и смешанной математики (Питер Барлоу, 1814 г.)
- Производные с 1 по 4, 10 и n : статьи 622, 580 и 579 в « Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).
- Производные с 1-й по 6-ю и n- ю: Математические статьи Исаака Ньютона, том. 7 1691–1695 (Д. Т. Уайтсайд, 1976), стр. 88 и
- Производные с 1-й по 3-ю и n- ю: История анализа (Ханс Нильс Янке, 2000), стр. 84-85.
Точку перед n-й производной можно опустить ( ${\overset {\,n}{y}}$ ${\overset {\,n}{y}}$ )
^ Вайсштейн, Эрик В. «Овердот». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Овердот» . Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 г. Проверено 5 февраля 2016 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Двойная точка». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Двойная точка» . Архивировано из оригинала 3 марта 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г.
^ Статья 580 в книге Флориана Каджори, « История математических обозначений» (1929), Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-67766-4
^ «Образцы математической мысли в позднем семнадцатом веке», Архив истории точных наук, том. 1, № 3 (Д. Т. Уайтсайд, 1961), стр. 361–362,378.
^ С.Б. Энгельсман дал более строгие определения в книге «Семейства кривых и происхождение частичной дифференциации» (2000), стр. 223-226.
^
Обозначения Ньютона для интегрирования воспроизведены из:
- Интегралы с 1-го по 3-й: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), с. 7 (стр. 5r в оригинальном MS: «Записки Ньютона: о квадратуре кривых» . Архивировано из оригинала 28 февраля 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )
- Интегралы с 1-го по 3-й: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинальном MS: «Записки Ньютона: Флюксии» . Архивировано из оригинала 6 апреля 2017 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )
- Четвертые интегралы: Доктрина флюксий (Джеймс Ходжсон, 1736), стр. 54 и 72.
- Интегралы с первого по второй: статьи 622 и 365 в « Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).
n - е интегральное обозначение вычитается из n- й производной. Его можно было использовать в Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Брук Тейлор, 1715 г.).
^ Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7400-6 . OCLC 682907530 .

Внешние ссылки [ править ]

Самое раннее использование символов исчисления , поддерживается Джеффом Миллером ( архивировано 26 июля 2020 г. в Wayback Machine ).

[1] Гросс, Иоганн; Брейткопф, Бернхард Кристоф; Мартин, Иоганн Кристиан; Гледич, Иоганн Фридрих (сентябрь 1749 г.). «Обозначения для дифференцирования» . Нова Акта Эрудиторум : 512.

[2] Моррис, Карла К. (28 июля 2015 г.). Основы исчисления . Старк, Роберт М., 1930–2017 гг. Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 9781119015314 . OCLC 893974565 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[3] Осборн, Джордж А. (1908). Дифференциальное и интегральное исчисление . Бостон: округ Колумбия Хит и компания. стр. 63-65 .

[DeMorgan-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дифференциальное и интегральное исчисление ( Огастес Де Морган , 1842). стр. 267-268

[Lagrange-5] Лагранж , Новый метод решения буквенных уравнений с помощью рядов (1770), с. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031

[6] «Оператор D — Дифференциал — Исчисление — Справочник по математике с рабочими примерами» . www.codecogs.com . Архивировано из оригинала 19 января 2016 г.

[EulerMathWorld-7] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальный оператор». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Дифференциальный оператор» . Архивировано из оригинала 21 января 2016 г. Проверено 7 февраля 2016 г.

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Повторный интеграл». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Повторный интеграл» . Архивировано из оригинала 01 февраля 2016 г. Проверено 7 февраля 2016 г.

[9] Зилл, Деннис Г. (2009). «1,1» . Первый курс дифференциальных уравнений (9-е изд.). Бельмонт, Калифорния : Брукс/Коул . п. 3. ISBN 978-0-495-10824-5 .

[10] Обозначения Ньютона воспроизведены из:
Производные с 1-й по 5-ю: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), с. 7 (стр. 5r в оригинальном MS: «Записки Ньютона: о квадратуре кривых» . Архивировано из оригинала 28 февраля 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г. ).

С 1-й по 7-ю, n -я и ( n +1)-я производные: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 313-318 и с. 265 (стр. 163 в оригинальном MS: «Записки Ньютона: Флюксии» . Архивировано из оригинала 6 апреля 2017 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )

Производные с 1-й по 5-ю: Трактат о флюксиях (Колин МакЛорин, 1742), с. 613

с 1 по 4 и n Производные : статьи «Дифференциал» и «Флюксия», Словарь чистой и смешанной математики (Питер Барлоу, 1814 г.)

Производные с 1 по 4, 10 и n : статьи 622, 580 и 579 в « Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).

Производные с 1-й по 6-ю и n- ю: Математические статьи Исаака Ньютона, том. 7 1691–1695 (Д. Т. Уайтсайд, 1976), стр. 88 и

Производные с 1-й по 3-ю и n- ю: История анализа (Ханс Нильс Янке, 2000), стр. 84-85.
Точку перед n-й производной можно опустить ( ${\overset {\,n}{y}}$ )

[11] Производные с 1-й по 5-ю: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), с. 7 (стр. 5r в оригинальном MS: «Записки Ньютона: о квадратуре кривых» . Архивировано из оригинала 28 февраля 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г. ).

[12] С 1-й по 7-ю, n -я и ( n +1)-я производные: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 313-318 и с. 265 (стр. 163 в оригинальном MS: «Записки Ньютона: Флюксии» . Архивировано из оригинала 6 апреля 2017 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )

[13] Производные с 1-й по 5-ю: Трактат о флюксиях (Колин МакЛорин, 1742), с. 613

[14] с 1 по 4 и n Производные : статьи «Дифференциал» и «Флюксия», Словарь чистой и смешанной математики (Питер Барлоу, 1814 г.)

[15] Производные с 1 по 4, 10 и n : статьи 622, 580 и 579 в « Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).

[16] Производные с 1-й по 6-ю и n- ю: Математические статьи Исаака Ньютона, том. 7 1691–1695 (Д. Т. Уайтсайд, 1976), стр. 88 и

[17] Производные с 1-й по 3-ю и n- ю: История анализа (Ханс Нильс Янке, 2000), стр. 84-85.

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Овердот». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Овердот» . Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 г. Проверено 5 февраля 2016 г.

[12] Вайсштейн, Эрик В. «Двойная точка». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Двойная точка» . Архивировано из оригинала 3 марта 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г.

[13] Статья 580 в книге Флориана Каджори, « История математических обозначений» (1929), Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-67766-4

[14] «Образцы математической мысли в позднем семнадцатом веке», Архив истории точных наук, том. 1, № 3 (Д. Т. Уайтсайд, 1961), стр. 361–362,378.

[15] С.Б. Энгельсман дал более строгие определения в книге «Семейства кривых и происхождение частичной дифференциации» (2000), стр. 223-226.

[16] Обозначения Ньютона для интегрирования воспроизведены из:
Интегралы с 1-го по 3-й: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), с. 7 (стр. 5r в оригинальном MS: «Записки Ньютона: о квадратуре кривых» . Архивировано из оригинала 28 февраля 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )

Интегралы с 1-го по 3-й: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинальном MS: «Записки Ньютона: Флюксии» . Архивировано из оригинала 6 апреля 2017 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )

Четвертые интегралы: Доктрина флюксий (Джеймс Ходжсон, 1736), стр. 54 и 72.

Интегралы с первого по второй: статьи 622 и 365 в « Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).
n - е интегральное обозначение вычитается из n- й производной. Его можно было использовать в Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Брук Тейлор, 1715 г.).

[24] Интегралы с 1-го по 3-й: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), с. 7 (стр. 5r в оригинальном MS: «Записки Ньютона: о квадратуре кривых» . Архивировано из оригинала 28 февраля 2016 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )

[25] Интегралы с 1-го по 3-й: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинальном MS: «Записки Ньютона: Флюксии» . Архивировано из оригинала 6 апреля 2017 г. Проверено 5 февраля 2016 г. )

[26] Четвертые интегралы: Доктрина флюксий (Джеймс Ходжсон, 1736), стр. 54 и 72.

[27] Интегралы с первого по второй: статьи 622 и 365 в « Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929).

[17] Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7400-6 . OCLC 682907530 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]