Словарь математических символов

Математический символ — это фигура или комбинация фигур, которая используется для представления математического объекта , действия над математическими объектами, связи между математическими объектами или для структурирования других символов, встречающихся в формуле . Поскольку формулы полностью состоят из символов различных типов, для выражения всей математики требуется множество символов.

Самыми основными символами являются десятичные цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и буквы латинского алфавита . Десятичные цифры используются для представления чисел в индийско-арабской системе счисления . Исторически прописные буквы использовались для обозначения точек в геометрии, а строчные — для переменных и констант . Буквы используются для обозначения многих других видов математических объектов . Поскольку число этих разновидностей в современной математике значительно возросло, греческий алфавит и некоторые еврейские буквы также используются . В математических формулах стандартным шрифтом является курсив для латинских букв и строчных греческих букв и вертикальный шрифт для прописных греческих букв. Для большего количества символов используются и другие шрифты, в основном жирный. $\mathbf {a,A,b,B} ,\ldots$, рукописный шрифт ${\mathcal {A,B}},\ldots$ (строчное начертание используется редко из-за возможной путаницы со стандартным начертанием), немецкий fraktur ${\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots$и доска жирным шрифтом $\mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}$ (остальные буквы в этом лице используются редко или используются нетрадиционно).

Использование латинских и греческих букв в качестве символов для обозначения математических объектов в данной статье не описано. Информацию о таком использовании см. в разделах «Переменная (математика)» и «Список математических констант» . Однако некоторые символы, описанные здесь, имеют ту же форму, что и буква, от которой они произошли, например: $\textstyle \prod {}$ и $\textstyle \sum {}$.

Одних только этих букв недостаточно для нужд математиков, и используются многие другие символы. Некоторые берут свое начало от знаков препинания и диакритических знаков, традиционно используемых в типографике ; другие, деформируя формы букв , как в случае с $\in$ и $\forall$. Другие, такие как + и = , были специально разработаны для математики.

Макет этой статьи

Обычно статьи глоссария структурированы по темам и отсортированы в алфавитном порядке. Здесь это невозможно, поскольку не существует естественного порядка символов, и многие символы используются в разных разделах математики с разными значениями, часто совершенно не связанными между собой. Поэтому пришлось сделать некоторый произвольный выбор, который кратко изложен ниже.

Статья разделена на разделы, отсортированные по возрастанию технического уровня. То есть первые разделы содержат символы, которые встречаются в большинстве математических текстов и которые должны быть известны даже новичкам. С другой стороны, последние разделы содержат символы, специфичные для какой-либо области математики и игнорируемые за пределами этих областей. Однако длинный раздел в скобках вынесен ближе к концу, хотя большинство его записей элементарны: это облегчает поиск записи символа с помощью прокрутки.

Большинство символов имеют несколько значений, которые обычно различаются либо областью математики, в которой они используются, либо их синтаксисом , то есть их положением внутри формулы и природой других близких к ним частей формулы.

Поскольку читатели могут не знать, к какой области математики относится искомый ими символ, различные значения символа сгруппированы в разделе, соответствующем их наиболее распространенному значению.

Когда значение зависит от синтаксиса, символ может иметь разные записи в зависимости от синтаксиса. Для обобщения синтаксиса имени записи используется символ $\Box$ используется для представления соседних частей формулы, содержащей этот символ. см. в § Скобки Примеры использования .

Большинство символов имеют две печатные версии. Они могут отображаться как символы Юникода или в формате LaTeX . Версия Unicode использование поисковых систем и копирование упрощает . С другой стороны, рендеринг LaTeX зачастую намного лучше (более эстетичен) и обычно считается стандартом в математике. Поэтому в этой статье для обозначения их записи используется версия символов Unicode (когда это возможно), а в их описании — версия LaTeX. Итак, чтобы узнать, как набрать символ в LaTeX, достаточно заглянуть в первоисточник статьи.

Для большинства символов именем записи является соответствующий символ Юникода. Таким образом, для поиска записи символа достаточно ввести или скопировать символ Юникода в текстовое поле поиска. Точно так же, когда это возможно, имя записи символа также является якорем , что позволяет легко ссылаться на другую статью Википедии. Если имя записи содержит специальные символы, такие как [, ] и |, то также имеется привязка, но чтобы узнать ее, нужно просмотреть источник статьи.

Наконец, когда есть статья о самом символе (а не о его математическом значении), она связана с именем записи.

Арифметические операторы

+     ( знак плюса )

1. Обозначает сложение и читается как плюс ; например, 3+2 .

2. Обозначает, что число положительное и читается как плюс . Избыточный, но иногда используется, чтобы подчеркнуть, что число положительное , особенно когда другие числа в контексте являются или могут быть отрицательными; например, +2 .

3. Иногда используется вместо $\sqcup$ для непересекающегося множеств объединения .

-     ( знак минус )

1. Обозначает вычитание и читается как минус ; например, 3 – 2 .

2. Обозначает аддитивную инверсию и читается как отрицательное или противоположное ; например, –2 .

3. Также используется вместо \ для обозначения теоретико-множественного дополнения ; см. \ в § Теория множеств .

×     ( знак умножения )

1. В элементарной арифметике обозначает умножение и читается как раз ; например, 3×2 .

2. В геометрии и линейной алгебре обозначает векторное произведение .

3. В теории множеств и теории категорий обозначает декартово произведение и прямое произведение . См. также × в § Теория множеств .

·     ( точка )

1. Обозначает умножение и читается как раз ; например, 3 ⋅ 2 .

2. В геометрии и линейной алгебре обозначает скалярное произведение .

3. Заполнитель, используемый для замены неопределенного элемента. Например, сказать, что « абсолютное значение обозначается | · | », возможно, яснее, чем сказать, что оно обозначается как | | .

±     ( знак плюс-минус )

1. Обозначает либо знак плюс, либо знак минус.

2. Обозначает диапазон значений, которые может иметь измеряемая величина; например, 10 ± 2 обозначает неизвестное значение, лежащее между 8 и 12.

∓     ( знак минус-плюс )

Используется в паре с ± , обозначает противоположный знак; то есть + , если ± равно – , и – если ± равно + .

÷     ( знак деления )

Широко используемый для обозначения деления в англоязычных странах, он больше не используется в математике, и его использование «не рекомендуется». В некоторых странах это может означать вычитание.

:     ( двоеточие )

1. Обозначает соотношение двух величин.

2. В некоторых странах может обозначать разделение .

3. В нотации построителя множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см. {□ : □} .

/     ( косая черта )

1. Обозначает деление и читается как разделенное на или более . Часто заменяется турником. Например, 3/2 или ${\frac {3}{2}}$.

2. Обозначает факторструктуру . Например, фактормножество , факторгруппа , факторкатегория и т. д.

В теории чисел и теории поля 3. $F/E$ обозначает поля где F — поле расширения поля , E. расширение

4. В теории вероятностей обозначает условную вероятность . Например, $P(A/B)$ обозначает вероятность A при условии, что B произойдет. Также обозначается $P(A\mid B)$: см. « | ».

√     ( символ квадратного корня )

Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Редко используется в современной математике без горизонтальной черты, ограничивающей ширину аргумента (см. следующий пункт). Например, √2 .

√       ( радикальный символ )

1. Обозначает квадратный корень и читается как квадратный корень из . Например, ${\sqrt {3+2}}$.

2. Целое число больше 2 в левом верхнем индексе обозначает n- корень й степени . Например, ${\sqrt[{7}]{3}}$ обозначает корень седьмой степени из 3.

^     ( каретка )

1. Возведение в степень обычно обозначается верхним индексом . Однако, $x^{y}$ часто обозначается x ^ y , когда надстрочные индексы недоступны, например, в языках программирования (включая LaTeX ) или в электронных письмах в виде простого текста .

2. Не путать с ∧

Равенство, эквивалентность и сходство

=     ( знак равенства )

1. Обозначает равенство .

2. Используется для обозначения математического объекта в предложении типа «пусть $x=E$ ", где E — выражение . См. также ≝ , ≜ или $:=$.

$\triangleq \quad {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\quad :=$

Любой из них иногда используется для обозначения математического объекта . Таким образом, $x\triangleq E,$ $x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E,$ $x\mathrel {:=} E$ и $E\mathrel {=:} x$ каждое из них является сокращением фразы «пусть $x=E$", где $E$ это выражение и $x$ является переменной .Это похоже на концепцию присваивания в информатике, которая обозначается по-разному (в зависимости от языка программирования ). используемого $=,:=,\leftarrow ,\ldots$

≠     ( знак не равно )

Обозначает неравенство и означает «не равный».

≈

Самый распространенный символ для обозначения приблизительного равенства . Например, $\pi \approx 3.14159.$

~     ( тильда )

используется 1. Между двумя числами либо вместо ≈ значение «приблизительно равно», либо оно означает «имеет тот же порядок величины, что и».

2. Обозначает асимптотическую эквивалентность двух функций или последовательностей.

3. Часто используется для обозначения других видов подобия, например матричного подобия или подобия геометрических фигур .

4. Стандартные обозначения отношения эквивалентности .

5. В теории вероятности и статистике может указываться вероятностное распределение величины случайной . Например, $X\sim N(0,1)$ означает, что распределение случайной величины X является стандартным нормальным .

6. Обозначение пропорциональности . См. также ∝ для менее двусмысленного символа.

≡     ( тройная черта )

1. Обозначает тождество , то есть равенство, которое истинно, какие бы значения ни были присвоены входящим в него переменным.

2. В теории чисел , а точнее в модульной арифметике , обозначает сравнение по модулю целого числа.

3. Может обозначать логическую эквивалентность .

$\cong$

1. Может обозначать изоморфизм между двумя математическими структурами и читается как «изоморфен».

2. В геометрии может обозначать конгруэнтность двух геометрических фигур (то есть равенство до смещения с точностью ) и читается «конгруэнтно».

Сравнение

<     ( знак меньше чем )

1. Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « меньше ».

2. Обычно используется для обозначения какого-либо строгого порядка .

3. Между двумя группами может означать, что первая является собственной подгруппой второй.

>     ( знак больше )

1. Строгое неравенство между двумя числами; означает и читается как « больше чем ».

2. Обычно используется для обозначения какого-либо строгого порядка .

3. Между двумя группами может означать, что вторая является собственной подгруппой первой.

≤

1. Означает « меньше или равно ». То есть, какими бы ни были A и B , A ≤ B эквивалентно A < B или A = B .

2. Между двумя группами может означать, что первая является подгруппой второй.

≥

1. Означает « больше или равно ». То есть, какими бы ни были A и B , A ≥ B эквивалентно A > B или A = B .

2. Между двумя группами может означать, что вторая является подгруппой первой.

$\ll {\text{ and }}\gg$

1. Означает « намного меньше » и « намного больше ». Как правило, понятие «много» формально не определено, но означает, что меньшим количеством можно пренебречь по отношению к другому. Обычно это тот случай, когда меньшая величина меньше другой на один или несколько порядков .

2. В теории меры $\mu \ll \nu$ означает, что мера $\mu$ абсолютно непрерывен по мере $\nu$.

$\leqq$

Редко используемый символ, обычно синоним ≤ .

$\prec {\text{ and }}\succ$

1. Часто используется для обозначения порядка или, в более общем плане, предварительного заказа , когда использование < и > может сбивать с толку или не удобно .

2. Секвенция в асинхронной логике .

Теория множеств

∅

Обозначает пустое множество и чаще пишется $\emptyset$. Используя нотацию set-builder , это также можно обозначить $\{\}$.

#     ( знак номера )

1. Количество элементов: $\#{}S$ может мощность множества S . обозначать Альтернативное обозначение $|S|$; видеть $|\square |$.

2. Первобытный : $n{}\#$ обозначает произведение простых чисел , не превышающих n .

В топологии 3. $M\#N$ обозначает связную сумму двух многообразий или двух узлов .

∈

Обозначает членство в наборе и читается как «находится в» или «принадлежит». То есть, $x\in S$ означает, что является элементом множества S. x

∉

Означает «нет внутри». То есть, $x\notin S$ означает $\neg (x\in S)$.

⊂

Обозначает включение множества . Однако распространены два несколько разных определения.

1.   $A\subset B$ может означать, что и , возможно , A является подмножеством B равно B ; то есть каждый элемент A принадлежит B ; в формуле, $\forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B$.

2.   $A\subset B$ может означать, что A является подмножеством B собственным , то есть эти два множества различны, и каждый элемент A принадлежит B ; в формуле, $A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B$.

⊆

$A\subseteq B$ означает, A является подмножеством B что . Используется, чтобы подчеркнуть, что равенство возможно или когда $A\subset B$ означает, что $A$ является правильным подмножеством $B.$

⊊

$A\subsetneq B$ означает, что A является подмножеством B собственным . Используется, чтобы подчеркнуть это $A\neq B$, или когда $A\subset B$ не подразумевает, что $A$ является правильным подмножеством $B.$

⊃, ⊇, ⊋

Обозначим обратное соотношение $\subset$, $\subseteq$, и $\subsetneq$ соответственно. Например, $B\supset A$ эквивалентно $A\subset B$.

∪

Обозначает теоретико-множественное объединение , то есть $A\cup B$ - это набор, образованный элементами A и B вместе. То есть, $A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}$.

∩

Обозначает теоретико-множественное пересечение , то есть $A\cap B$ - это набор, образованный элементами A и B . То есть, $A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}$.

∖     ( обратная косая черта )

Установить разницу ; то есть, $A\setminus B$ образованный элементами A , которых нет в B. — это набор , Иногда, $A-B$ вместо этого используется; см. – в § Арифметические операторы .

⊖ или $\triangle$

Симметричная разность : т.е. $A\ominus B$ или $A\operatorname {\triangle } B$ образованный элементами, принадлежащими ровно одному из двух наборов A и B. — это набор ,

$\complement$

1. С нижним индексом обозначает дополнение множества : то есть, если $B\subseteq A$, затем $\complement _{A}B=A\setminus B$.

2. Без нижнего индекса обозначает абсолютное дополнение ; то есть, $\complement A=\complement _{U}A$, где U — множество, неявно определенное контекстом, содержащее все рассматриваемые множества. Это множество U иногда называют вселенной дискурса .

×     ( знак умножения )

См. также × в § Арифметические операторы .

1. Обозначает декартово произведение двух множеств. То есть, $A\times B$ - это набор, образованный всеми парами элемента A и элемента B .

2. Обозначает прямое произведение двух математических структур одного типа, которое является декартовым произведением базовых множеств, снабженных структурой одного типа. Например, прямое произведение колец , прямое произведение топологических пространств .

3. В теории категорий обозначает прямое произведение (часто называемое просто произведением ) двух объектов, которое является обобщением предыдущих понятий произведения.

$\sqcup$

Обозначает непересекающийся союз . То есть, если A и B — множества, то $A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)$ — это набор пар , где i _A и i _B — различные индексы, различающие члены A и B в $A\sqcup B$.

$\bigsqcup {\text{ or }}\coprod$

1. Используется для непересекающегося объединения семейства множеств, например, в ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2. Обозначает совместное произведение математических структур или объектов в категории .

Базовая логика

Некоторые логические символы широко используются во всей математике и перечислены здесь. Информацию о символах, которые используются только в математической логике или используются редко, см. в разделе «Список логических символов» .

¬     ( не подписывать )

Обозначает логическое отрицание и читается как «нет». Если E — логический предикат , $\neg E$ — это предикат, который оценивается как true тогда и только тогда, когда E оценивается как false . Для ясности его часто заменяют словом «не». В языках программирования и некоторых математических текстах его иногда заменяют на « ~ » или « ! », которые легче набирать на некоторых клавиатурах.

∨     ( нисходящий клин )

1. Обозначает логическое «или » и читается как «или». Если E и F — логические предикаты , $E\lor F$ истинно, если либо E , F истинно , либо оба. Его часто заменяют словом «или».

2. В теории решеток обозначает операцию соединения или наименьшую верхнюю границу .

3. В топологии обозначает клиновую сумму двух точечных пространств .

∧     ( клин )

1. Обозначает логическое «и » и читается как «и». Если E и F — логические предикаты , $E\land F$ истинно, если E и F оба верны. Его часто заменяют словом «и» или символом « & ».

2. В теории решеток обозначает операцию пересечения или наибольшей нижней границы .

3. В полилинейной алгебре , геометрии и исчислении многих переменных обозначает клиновое произведение или внешнее произведение .

⊻

Исключающее или : если E и F — две логические переменные или предикаты , $E\veebar F$ обозначает исключающее или. Обозначения E XOR F и $E\oplus F$ также широко используются; см . ⊕ .

∀     ( повернулось А )

1. Обозначает универсальную количественную оценку и читается как «для всех». Если E — логический предикат , $\forall xE$ означает, что E истинно для всех возможных значений переменной x .

2. Часто используется неправильно открытым текстом как аббревиатура «для всех» или «для каждого».

∃

1. Обозначает экзистенциальную квантификацию и читается «существует... такое, что». Если E — логический предикат , $\exists xE$ означает, что существует хотя бы одно значение x, для которого E истинно.

2. Часто используется неправильно открытым текстом как сокращение от «существует».

∃!

Обозначает количественную оценку уникальности , т.е. $\exists !xP$ означает «существует ровно один x такой, что P (истинно)». Другими словами, $\exists !xP(x)$ это аббревиатура от $\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))$.

⇒

1. Обозначает материальное условное выражение и читается как «подразумевается». Если P и Q — логические предикаты , $P\Rightarrow Q$ означает, что если P истинно, то Q также истинно. Таким образом, $P\Rightarrow Q$ логически эквивалентен $Q\lor \neg P$.

2. Часто используется неправильно открытым текстом как сокращение от «подразумевается».

⇔

1. Обозначает логическую эквивалентность и читается «эквивалентно» или « тогда и только тогда, когда ». Если P и Q — логические предикаты , $P\Leftrightarrow Q$ таким образом, является аббревиатурой $(P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)$или из $(P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)$.

2. Часто используется неправильно в виде обычного текста как сокращение от « тогда и только тогда, когда ».

⊤     ( Тройник )

1.   $\top$ обозначает логический предикат, всегда истинный .

2. Обозначает также истинностное значение true .

3. Иногда обозначает верхний элемент ограниченной решетки (предыдущие значения являются конкретными примерами).

4. Информацию об использовании верхнего индекса см. □ ^⊤ .

⊥     ( Вверх )

1.   $\bot$ обозначает логический предикат, всегда ложный .

2. Обозначает также истинностное значение false .

3. Иногда обозначает нижний элемент ограниченной решетки (предыдущие значения являются конкретными примерами).

4. В криптографии часто обозначает ошибку вместо обычного значения.

5. Информацию об использовании верхнего индекса см. □ ^⊥ .

6. Аналогичный символ см. $\perp$.

Доска жирным шрифтом

Школьный жирный шрифт широко используется для обозначения основных систем счисления . Эти системы часто также обозначаются соответствующей заглавной жирной буквой. Явным преимуществом жирного шрифта на доске является то, что эти символы невозможно спутать ни с чем другим. Это позволяет использовать их в любой области математики, не вспоминая их определение. Например, если человек сталкивается $\mathbb {R}$ в комбинаторике следует сразу знать, что этим обозначаются действительные числа , хотя комбинаторика не изучает действительные числа (но использует их для многих доказательств).

$\mathbb {N}$

Обозначает набор натуральных чисел $\{1,2,\ldots \},$ или иногда $\{0,1,2,\ldots \}.$ Когда различие важно и читатели могут принять любое определение, $\mathbb {N} _{1}$ и $\mathbb {N} _{0}$ используются соответственно для однозначного обозначения одного из них. Обозначения $\mathbf {N}$ также широко используется.

$\mathbb {Z}$

Обозначает набор целых чисел $\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.$ Его часто обозначают также $\mathbf {Z} .$

$\mathbb {Z} _{p}$

1. Обозначает множество p -адических целых чисел , где p — простое число .

2. Иногда, $\mathbb {Z} _{n}$ обозначает целые числа по модулю n , где n — целое число, большее 0. Обозначение $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ также используется и является менее двусмысленным.

$\mathbb {Q}$

Обозначает множество рациональных чисел (дробей двух целых чисел). Его часто обозначают также $\mathbf {Q} .$

$\mathbb {Q} _{p}$

Обозначает множество p -адических чисел , где p — простое число .

$\mathbb {R}$

Обозначает набор действительных чисел . Его часто обозначают также $\mathbf {R} .$

$\mathbb {C}$

Обозначает набор комплексных чисел . Его часто обозначают также $\mathbf {C} .$

$\mathbb {H}$

Обозначает набор кватернионов . Его часто обозначают также $\mathbf {H} .$

$\mathbb {F} _{q}$

Обозначает конечное поле с q элементами, где q — степень простого числа (включая простые числа ). Его также обозначают GF( q ) .

$\mathbb {O}$

Используется в редких случаях для обозначения набора октонионов . Его часто обозначают также $\mathbf {O} .$

Исчисление

□ '

Обозначение Лагранжа для производной : Если f является функцией одной переменной, $f'$, читается как «f prime », является производной f по этой переменной. Вторая производная является производной $f'$, и обозначается $f''$.

${\dot {\Box }}$

Обозначение Ньютона , чаще всего используемое для производной по времени: Если x — переменная, зависящая от времени, то ${\dot {x}}$ является его производной по времени. В частности, если x представляет собой движущуюся точку, то ${\dot {x}}$ это его скорость .

${\ddot {\Box }}$

Обозначение Ньютона для второй производной : Если x — переменная, представляющая движущуюся точку, то ${\ddot {x}}$ это его ускорение .

д □ / д □

Обозначение Лейбница для производной , которое используется несколькими несколько разными способами.

1. Если y — переменная, зависящая от x , то $\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$, читается как «dy по d x», является производной y по x .

2. Если f — функция одной переменной x , то $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ является производной f , и $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(a)$ — значение производной при a .

3. Полная производная : Если $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ является функцией нескольких переменных, зависящих от x , то $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ является производной f, рассматриваемой как функция x . То есть, $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f}{dx}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x}}$.

∂ □ / ∂ □

Частная производная : Если $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ является функцией нескольких переменных, $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ — производная по i-й переменной, рассматриваемой как независимая переменная , остальные переменные считаются константами.

𝛿 □ / 𝛿 □

Функциональная производная : Если $f(y_{1},\ldots ,y_{n})$ является функционалом нескольких функций , $\textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}$ — функциональная производная по n- й функции, рассматриваемой как независимая переменная , остальные функции считаются постоянными.

${\overline {\Box }}$

1. Комплексно-сопряженное : если z — комплексное число , то ${\overline {z}}$ является его комплексно-сопряженным. Например, ${\overline {a+bi}}=a-bi$.

2. Топологическое замыкание . Если S — подмножество топологического пространства T , то ${\overline {S}}$ является его топологическим замыканием, то есть наименьшим замкнутым подмножеством T , содержащим S .

3. Алгебраическое замыкание . Если F — поле , то ${\overline {F}}$ является его алгебраическим замыканием, то есть наименьшим алгебраически замкнутым полем , содержащим F . Например, ${\overline {\mathbb {Q} }}$ является полем всех алгебраических чисел .

4. Среднее значение . Если x — переменная , принимающая значения в некоторой последовательности чисел S , то ${\overline {x}}$ может обозначать среднее значение элементов S .

→

1.   $A\to B$ обозначает функцию с областью определения A и областью определения B . Для обозначения такой функции пишут $f:A\to B$, что читается как « f от A до B ».

2. В более общем плане $A\to B$ обозначает гомоморфизм или морфизм из A в B .

3. Может обозначать логическое следствие . Что касается материального импликации , которое широко используется в математических рассуждениях, в настоящее время его обычно заменяют на ⇒ . В математической логике оно по-прежнему используется для обозначения импликации, но его точное значение зависит от конкретной изучаемой теории.

4. Над именем переменной означает, что переменная представляет вектор в контексте, где обычные переменные представляют скаляры ; например, ${\overrightarrow {v}}$. Жирный шрифт ( $\mathbf {v}$) или циркумфлекс ( ${\hat {v}}$) часто используются для той же цели.

5. В евклидовой геометрии и, шире, в аффинной геометрии , ${\overrightarrow {PQ}}$ обозначает вектор, двумя точками P и Q , который можно идентифицировать с помощью перевода , который отображает P в Q. определяемый Тот же вектор можно обозначить и $Q-P$; см . Аффинное пространство .

↦

Используется для определения функции без ее имени. Например, $x\mapsto x^{2}$ – квадратичная функция .

○

1. Композиция функций . Если f и g — две функции, то $g\circ f$ это функция такая, что $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ для каждого значения x .

2. Произведение матриц Адамара : если A и B — две матрицы одинакового размера, то $A\circ B$ матрица такая, что $(A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}$. Возможно, $\circ$ также используется вместо ⊙ для произведения Адамара степенного ряда .

∂

1. Граница топологического подпространства . Если S — подпространство топологического пространства, то его граница обозначается $\partial S$, является установленной разностью между замыканием и внутренней частью S .

2. Частная производная : см. ∂□ / ∂□ .

∫

1. Без нижнего индекса обозначает первообразную . Например, $\textstyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C$.

2. С нижним и верхним индексом или выражениями, расположенными под ним и над ним, обозначается определенный интеграл . Например, $\textstyle \int _{a}^{b}x^{2}dx={\frac {b^{3}-a^{3}}{3}}$.

3. С нижним индексом, обозначающим кривую, обозначается линейный интеграл . Например, $\textstyle \int _{C}f=\int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)\operatorname {d} t$, если r является параметризацией кривой C , от a до b .

∮

Часто используется, обычно в физике, вместо $\textstyle \int$ для линейных интегралов по замкнутой кривой .

∬, ∯

Похоже на: $\textstyle \int$ и $\textstyle \oint$ для поверхностных интегралов .

${\boldsymbol {\nabla }}$ или ${\vec {\nabla }}$

Набла , оператор градиента или векторной производной $\textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$, также называемый del или grad .

∇ ² или ∇⋅∇

Оператор Лапласа или лапласиан : $\textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$. Формы $\nabla ^{2}$ и ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}$ представляют собой скалярное произведение градиента ( ${\boldsymbol {\nabla }}$ или ${\vec {\nabla }}$) с собой. Также обозначено Δ (следующий пункт).

Д

(Заглавная греческая буква дельта — не путать с $\triangle$, что может обозначать геометрический треугольник или, альтернативно, симметричную разность двух множеств.)

1. Другое обозначение лапласиана ( см. выше).

2. Оператор конечной разности .

${\boldsymbol {\partial }}$ или $\partial _{\mu }$

(Примечание: обозначения $\Box$ не рекомендуется для четырехградиентной схемы, поскольку оба $\Box$ и ${\Box }^{2}$ используются для обозначения даламбериана ; см. ниже.)

Quad , 4-векторный оператор градиента или четырехградиент , $\textstyle \left({\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$.

$\Box$ или ${\Box }^{2}$

(здесь фактическое поле, а не заполнитель)

Обозначает даламбериан или квадратичный четырехградиент , который является обобщением лапласиана на четырехмерное пространство-время. В плоском пространстве-времени с евклидовыми координатами это может означать либо $~\textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;$ или $\;~\textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}~\;$; соглашение о знаках должно быть указано. В искривленном пространстве-времени (или плоском пространстве-времени с неевклидовыми координатами) определение более сложное. Также называется коробкой или кваблой .

Линейная и полилинейная алгебра

∑     ( обозначение сигмы )

1. Обозначает сумму конечного числа слагаемых, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут располагаться внизу и вверху), например в $\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}$ или $\textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i$.

2. Обозначает ряд и, если ряд сходится , сумму ряда . Например, $\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}$.

∏     ( обозначение заглавной буквы «пи» )

1. Обозначает произведение конечного числа слагаемых, которые определяются нижними и верхними индексами (которые также могут располагаться внизу и вверху), например в $\textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}$ или $\textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i$.

2. Обозначает бесконечное произведение . Например, формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана имеет вид $\textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}$.

3. Также используется для декартова произведения любого количества множеств и прямого произведения любого количества математических структур .

$\oplus$    ( обведенный плюс )

1. Внутренняя прямая сумма : если E и F — абелевы подгруппы V абелевой группы , обозначения $V=E\oplus F$ означает, что V — прямая сумма E и F ; то есть каждый элемент V может быть записан уникальным образом как сумма элемента E и элемента F . Это применимо также тогда, когда E и F являются линейными подпространствами или подмодулями векторного пространства или модуля V .

2. Прямая сумма : если E и F — две абелевы группы , векторные пространства или модули , то их прямая сумма, обозначаемая $E\oplus F$ — абелева группа, векторное пространство или модуль (соответственно), наделенные двумя мономорфизмами $f:E\to E\oplus F$ и $g:F\to E\oplus F$ такой, что $E\oplus F$ является внутренней прямой суммой $f(E)$ и $g(F)$. Это определение имеет смысл, поскольку эта прямая сумма уникальна с точностью до единственного изоморфизма .

3. Исключающее или : если E и F — две логические переменные или предикаты , $E\oplus F$ может обозначать исключительное или. Обозначения E XOR F и $E\veebar F$ также широко используются; см . ⊻ .

⊗

1. Обозначает тензорное произведение абелевых групп , векторных пространств , модулей или других математических структур, таких как в $E\otimes F,$ или $E\otimes _{K}F.$

2. Обозначает тензорное произведение элементов: если $x\in E$ и $y\in F,$ затем $x\otimes y\in E\otimes F.$

□ ^⊤

1. Транспонирование : если A — матрица, $A^{\top }$ обозначает транспонирование A и , то есть матрицу, полученную путем замены строк A. столбцов Обозначения $^{\top }\!\!A$ также используется. Символ $\top$ часто заменяется буквой T или t .

2. Информацию о встроенном использовании этого символа см. в ⊤ .

□ ^⊥

1. Ортогональное дополнение : если W — линейное подпространство пространства внутреннего произведения V , то $W^{\bot }$ обозначает его ортогональное дополнение , то есть линейное пространство элементов V , все скалярные произведения которого с элементами W равны нулю.

2. Ортогональное подпространство в двойственном пространстве . Если W — линейное подпространство (или подмодуль ) векторного пространства (или модуля ) V , то $W^{\bot }$ может обозначать ортогональное подпространство W , , то есть набор всех линейных форм которые отображают W в ноль.

3. Информацию о встроенном использовании этого символа см. в разделе ⊥ .

теория

⋉
⋊

1. Внутреннее полупрямое произведение : если N и H — подгруппы группы G , такие, что N — нормальная подгруппа группы G , то $G=N\rtimes H$ и $G=H\ltimes N$ означают, что является полупрямым произведением N и H , то есть каждый элемент G можно однозначно разложить как произведение элемента N и элемента H. G (В отличие от прямого произведения групп , элемент H может измениться, если изменить порядок множителей.)

2. Внешнее полупрямое произведение : если N и H — две группы и $\varphi$ является групповым гомоморфизмом из N в группу автоморфизмов H , то $N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N$ обозначает группу G , единственную с точностью до изоморфизма группы , которая является полупрямым произведением N и H , с коммутацией элементов N и H, определенной формулой $\varphi$.

≀

В теории групп , $G\wr H$ обозначает сплетение групп ​ G и H . Он также обозначается как $G\operatorname {wr} H$ или $G\operatorname {Wr} H$; см. Сплетенное произведение § Обозначения и соглашения для нескольких вариантов обозначений.

Бесконечные числа

$\infty$    ( символ бесконечности )

1. Символ читается как бесконечность . В качестве верхней границы суммирования бесконечное произведение , интеграл и т. д. означает, что вычисление неограничено. Сходным образом, $-\infty$ в нижней границе означает, что вычисление не ограничивается отрицательными значениями.

2.   $-\infty$ и $+\infty$ — это обобщенные числа, которые добавляются к действительной линии, чтобы сформировать расширенную действительную линию .

3.   $\infty$ — это обобщенное число, которое добавляется к действительной прямой, чтобы сформировать проективно расширенную действительную линию .

${\mathfrak {c}}$   ( перелом 𝔠)

${\mathfrak {c}}$ обозначает мощность континуума , которая является мощностью множества действительных чисел .

$\aleph$   ( алеф )

С порядковым номером i в нижнем индексе обозначает i -й номер алефа , то есть i- й бесконечный кардинал . Например, $\aleph _{0}$ — наименьший бесконечный кардинал, то есть кардинал натуральных чисел.

$\beth$   ( ставка (письмо) )

С порядковым номером i в нижнем индексе обозначает i -е число . Например, $\beth _{0}$ является кардиналом натуральных чисел, а $\beth _{1}$ является кардиналом континуума .

$\omega$   ( омега )

1. Обозначает первый предельный порядковый номер . Он также обозначается $\omega _{0}$ и может быть отождествлен с упорядоченным набором натуральных чисел .

2. С порядковым номером i в нижнем индексе обозначает i- й предельный порядковый номер которого , мощность превышает мощность всех предыдущих порядковых номеров.

3. В информатике обозначает (неизвестную) наибольшую нижнюю границу показателя вычислительной сложности умножения матриц .

4. Записанный как функция другой функции, он используется для сравнения асимптотического роста двух функций. См. обозначение Big O § Связанные асимптотические обозначения .

5. В теории чисел может обозначать простую омега-функцию . То есть, $\omega (n)$ — количество различных простых делителей целого числа n .

Скобки

В математике используются различные виды скобок. Их значения зависят не только от их формы, но также от природы и устройства того, что ими разграничено, а иногда и того, что появляется между ними или перед ними. По этой причине в заголовках статей символ □ используется в качестве заполнителя для схематизации синтаксиса, лежащего в основе значения.

Круглые скобки

(□)

Используется в выражении , чтобы указать, что подвыражение в круглых скобках следует рассматривать как единый объект; обычно используется для указания порядка операций .

□(□)
□(□, □)
□(□, ..., □)

1. Функциональные обозначения : если первое $\Box$ — имя (символ) функции , обозначает значение функции, примененное к выражению в круглых скобках; например, $f(x)$, $\sin(x+y)$. В случае многомерной функции в скобках содержится несколько выражений, разделенных запятыми, например: $f(x,y)$.

2. Может также обозначать продукт, например, в $a(b+c)$. Когда возможна путаница, контекст должен различать, какие символы обозначают функции, а какие обозначают переменные .

(□, □)

1. Обозначает упорядоченную пару , математических объектов например, $(\pi ,0)$.

2. Если a и b — действительные числа , $-\infty$, или $+\infty$, и a < b , тогда $(a,b)$ обозначает открытый интервал, ограниченный a и b . См ]□, □[ . . альтернативные обозначения в

3. Если a и b — целые числа , $(a,b)$ может обозначать наибольший общий a b и . делитель Обозначения $\gcd(a,b)$ вместо этого часто используется.

(□, □, □)

Если x , y , z — векторы в $\mathbb {R} ^{3}$, затем $(x,y,z)$ может обозначать скалярное тройное произведение . См. также [□,□,□] в § Квадратные скобки .

(□, ..., □)

Обозначает кортеж . Если существует n объектов, разделенных запятыми, это n -кортеж.

(□, □, ...)
(□, ..., □, ...)

Обозначает бесконечную последовательность .

${\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}$

Обозначает матрицу . Часто обозначается квадратными скобками .

${\binom {\Box }{\Box }}$

Обозначает биномиальный коэффициент : Учитывая два неотрицательных целых числа , ${\binom {n}{k}}$ читается как « n select k » и определяется как целое число ${\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$ (если k = 0 , его значение условно равно 1 ). Используя выражение слева, оно обозначает полином от n и, таким образом, определяется и используется для любого действительного или комплексного значения n .

$\left({\frac {\Box }{\Box }}\right)$

Символ Лежандра : если p — нечетное простое число , а a — целое число , значение $\left({\frac {a}{p}}\right)$ равен 1, если a — квадратичный вычет по модулю p ; это –1, если a — квадратичный невычет по модулю p ; это 0, если p делит a . Те же обозначения используются для символа Якоби и символа Кронекера , которые являются обобщениями, где p — соответственно любое нечетное положительное целое число или любое целое число.

Квадратные скобки

[□]

1. Иногда используется как синоним (□) , чтобы избежать вложенных круглых скобок.

2. Класс эквивалентности : учитывая отношение эквивалентности , $[x]$ часто обозначает класс эквивалентности элемента x .

3. Целая часть : если х — действительное число , $[x]$ часто обозначает целую часть или усечение x , то есть целое число , полученное удалением всех цифр после десятичной точки . Это обозначение также использовалось для других вариантов функций пола и потолка .

4. Скобка Айверсона : если P — предикат , $[P]$ может обозначать скобку Айверсона, то есть функцию , которая принимает значение 1 для значений свободных переменных в P , для которых P истинно, и принимает значение 0 в противном случае. Например, $[x=y]$ — дельта-функция Кронекера , равная единице, если $x=y$, и ноль в противном случае.

5. В комбинаторике или информатике иногда $[n]$ с $n\in \mathbb {N}$ обозначает множество $\{1,2,3,\ldots ,n\}$ положительных целых чисел до n , с $[0]=\emptyset$.

□[□]

Изображение подмножества : если S является подмножеством области определения функции f , то $f[S]$ образа S. иногда используется для обозначения Когда путаница невозможна, обозначение f ( S ) . обычно используется

[□, □]

1. Замкнутый интервал : если a и b — действительные числа такие, что $a\leq b$, затем $[a,b]$ обозначает определяемый ими замкнутый интервал.

2. Коммутатор (теория групп) : если a и b принадлежат группе , то $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$.

3. Коммутатор (теория колец) : если a и b принадлежат кольцу , то $[a,b]=ab-ba$.

4. Обозначает скобку Ли — операцию алгебры Ли .

[□ : □]

1. Степень расширения поля если F — расширение поля E : , то $[F:E]$ обозначает степень расширения поля $F/E$. Например, $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$.

2. Индекс подгруппы если H — подгруппа группы E : , то $[G:H]$ обозначает индекс H в G . Обозначение | Г:Ч | также используется

[□, □, □]

Если x , y , z — векторы в $\mathbb {R} ^{3}$, затем $[x,y,z]$ может обозначать скалярное тройное произведение . См. также (□,□,□) в § Круглые скобки .

${\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}$

Обозначает матрицу . Часто обозначается круглыми скобками .

Брекеты

{ }

Обозначение построителя множеств для пустого множества , также обозначаемое $\emptyset$ или ∅ .

{□}

1. Иногда используется как синоним (□) и [□], чтобы избежать вложенных круглых скобок.

2. Обозначение построителя множеств для одноэлементного набора : $\{x\}$ обозначает набор , в котором x является одним элементом.

{□, ..., □}

Обозначение построителя множеств : обозначает набор , элементы которого перечислены в фигурных скобках, разделенных запятыми.

{□ : □}
{□ | □}

Обозначение построителя множеств : if $P(x)$ является предикатом, зависящим от переменной x , то оба $\{x:P(x)\}$ и $\{x\mid P(x)\}$ обозначим множество , образованное значениями x, для которых $P(x)$ это правда.

Одиночная скобка

1. Используется, чтобы подчеркнуть, что несколько уравнений следует рассматривать как одновременные ; например, $\textstyle {\begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}}$.

2. Кусочное определение; например, $\textstyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x\geq 0\\-x&{\text{if }}x<0\end{cases}}$.

3. Используется для группового аннотирования элементов формулы; например, $\textstyle \underbrace {(a,b,\ldots ,z)} _{26}$, $\textstyle \overbrace {1+2+\cdots +100} ^{=5050}$, $\textstyle \left.{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}\right\}m+n{\text{ rows}}$

Другие скобки

|□|

1. Абсолютное значение : если x — действительное или комплексное число, $|x|$ обозначает его абсолютное значение.

2. Количество элементов: если S — множество , $|S|$ может обозначать его мощность , то есть количество его элементов. $\#S$ также часто используется, см. # .

3. Длина отрезка : если P и Q — две точки в евклидовом пространстве , то $|PQ|$ часто обозначает длину отрезка линии, который они определяют, который представляет собой расстояние от P до Q и часто обозначается $d(P,Q)$.

4. О похожем операторе см . | .

| □:□ |

Индекс подгруппы если H — подгруппа группы G : , то $|G:H|$ обозначает индекс H в G . обозначение [G:H]. Также используется

$\textstyle {\begin{vmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}$ обозначает определитель квадратной матрицы ${\begin{bmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{bmatrix}}$.

||□||

1. Обозначает норму элемента нормированного векторного пространства .

2. О похожем операторе с именем Parallel см. ∥ .

⌊□⌋

Функция пола : если x — действительное число, $\lfloor x\rfloor$ — наибольшее целое число , не превышающее x .

⌈□⌉

Функция потолка : если x — действительное число, $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число , не меньшее x .

⌊□⌉

Функция ближайшего целого числа : если x — действительное число, $\lfloor x\rceil$ — целое число , ближайшее к x .

]□, □[

Открытый интервал : если a и b — действительные числа, $-\infty$, или $+\infty$, и $a<b$, затем $]a,b[$ обозначает открытый интервал, ограниченный буквами a и b. См. (□, □) альтернативные обозначения.

(□, □]
]□, □]

Оба обозначения используются для левого открытого интервала .

[□, □)
[□, □[

Оба обозначения используются для интервала, открытого справа .

⟨□⟩

1. Сгенерированный объект : если S — набор элементов алгебраической структуры, $\langle S\rangle$ часто обозначает объект, сгенерированный S . Если $S=\{s_{1},\ldots ,s_{n}\}$, пишет один $\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle$ (то есть фигурные скобки опущены). В частности, это может обозначать

• линейный интервал в векторном пространстве (также часто обозначаемый Span( S ) ),
• сгенерированная подгруппа в группе ,
• порожденный идеал в кольце ,
• сгенерированный подмодуль в модуле .

2. Часто используется, в основном в физике, для обозначения ожидаемого значения . В теории вероятностей $E(X)$ обычно используется вместо $\langle S\rangle$.

⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩

Оба $\langle x,y\rangle$ и $\langle x\mid y\rangle$ обычно используются для обозначения внутреннего продукта в пространстве внутреннего продукта .

$\langle \Box |{\text{ and }}|\Box \rangle$

Обозначение Бракета или обозначение Дирака : если x и y являются элементами пространства внутреннего продукта , $|x\rangle$ вектор, определенный x , и $\langle y|$ — ковектор, определяемый y ; их внутренний продукт $\langle y\mid x\rangle$.

Символы, не принадлежащие формулам

В этом разделе перечисленные символы используются как своего рода знаки препинания в математических рассуждениях или как сокращения фраз естественного языка. Обычно они не используются внутри формул. Некоторые из них использовались в классической логике для обозначения логической зависимости между предложениями, написанными простым языком. За исключением первых двух, они обычно не используются в печатных математических текстах, поскольку для удобства чтения обычно рекомендуется иметь хотя бы одно слово между двумя формулами. Однако их по-прежнему используют на черной доске для обозначения связей между формулами.

■ , □

Используется для обозначения конца корректуры и отделения ее от текущего текста. Инициализм . Q.ED или QED ( лат . quod Erat DemonStrandum , «как должно было быть показано») часто используется с той же целью, либо в прописной, либо в строчной форме

☡

Символ опасного изгиба Бурбаки : иногда используется на полях, чтобы предостеречь читателей от серьезных ошибок, из-за которых они рискуют упасть, или для обозначения отрывка, который сложен при первом чтении из-за особенно тонкого аргумента.

∴

Сокращение от «поэтому». Помещенное между двумя утверждениями, оно означает, что первое подразумевает второе. Например: «Все люди смертны, а Сократ — человек. ∴ Сократ смертен».

∵

Аббревиатура «потому что» или «поскольку». Помещенное между двумя утверждениями, оно означает, что первое вытекает из второго. Например: « 11 — простое число ∵ у него нет целых положительных множителей, кроме самого себя и единицы».

∋

1. Аббревиатура «такой то». Например, $x\ni x>3$ обычно печатается " x так, что $x>3$".

2. Иногда используется для обращения операндов $\in$; то есть, $S\ni x$ имеет то же значение, что и $x\in S$. См. » раздел «Теория множеств .

∝

Сокращение от «пропорционально».

Разное

!

1. Факториал : если n — целое положительное число , n ! является произведением первых n положительных целых чисел и читается как «n факториал».

2. Субфакториал : если n — целое положительное число, ! n — это количество нарушений набора из n элементов, которое читается как «субфакториал n».

*

Множество различных применений в математике; см. Asterisk § Математика .

|

1. Делимость : если m и n — два целых числа, $m\mid n$ означает, что m делит n поровну.

2. В нотации построителя множеств он используется как разделитель, означающий «такой, что»; см . {□ | □} .

3. Ограничение функции : если f — функция , а S — подмножество ее области определения , то $f|_{S}$ — это функция с S равная f на S. в качестве области определения ,

4. Условная вероятность : $P(X\mid E)$ обозначает вероятность X при условии, что событие E произойдет. Также обозначается $P(X/E)$; видеть " / ".

5. Несколько вариантов использования в качестве скобок (парами или с ⟨ и ⟩ ) см. в § Другие скобки .

∤

Неделимость : $n\nmid m$ означает, что n не является делителем m .

∥

1. Обозначает параллелизм в элементарной геометрии : если PQ и RS — две прямые , $PQ\parallel RS$ означает, что они параллельны.

2. Параллельность — арифметическая операция, используемая в электротехнике для моделирования параллельных резисторов : $x\parallel y={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$.

3. Используется парами в скобках, обозначает норму ; см . ||□|| .

4.   ${\displaystyle D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}$, обозначает статистическое расстояние или меру того, насколько одно распределение вероятностей P отличается от второго, эталонного распределения вероятностей Q.

∦

Иногда используется для обозначения того, что две линии не параллельны; например, $PQ\not \parallel RS$.

$\perp$

1. Обозначает перпендикулярность и ортогональность . Например, если A, B, C — три точки евклидова пространства , то $AB\perp AC$ означает, что AB и AC перпендикулярны и отрезки образуют прямой угол .

2. Аналогичный символ см. $\bot$.

⊙

Произведение Адамара степенного ряда : если $\textstyle S=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}x^{i}$ и $\textstyle T=\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}x^{i}$, затем $\textstyle S\odot T=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}t_{i}x^{i}$. Возможно, $\odot$ также используется вместо ○ для произведения Адамара матриц .

См. также

Статьи по теме

• Язык математики
• Математические обозначения
• Обозначения вероятности и статистики
• Физические константы

Связанные списки

• Список логических символов
• Список математических констант
• Таблица математических символов по дате введения
• Доска жирный шрифт
• Греческие буквы, используемые в математике, науке и технике
• Список математического использования латинских букв
• Список общих физических обозначений
• Список букв, используемых в математике и естественных науках
• Список математических сокращений
• Список типографских символов и знаков препинания
• ISO 31-11 (Математические знаки и символы для использования в физических науках и технологиях)
• Список функций APL

Юникода Символы

• блок Юникода
• Математические буквенно-цифровые символы (блок Юникода)
• Список символов Юникода
• Буквальные символы
• Математические операторы и символы в Юникоде
• Разные математические символы: A , B , технические.
• Стрелка (символ) и разные символы и стрелки
• Числовые формы
• Геометрические фигуры

Внешние ссылки

• Джефф Миллер: самое раннее использование различных математических символов
• Numericana: научные символы и значки
• Изображения GIF и PNG для математических символов
• Математические символы в Юникоде
• Detexify: инструмент распознавания рукописного ввода LaTeX

Некоторые диаграммы математических операторов и символов в Юникоде:

• Указатель символов Юникода
• Диапазон 2100–214F: буквоподобные символы Юникода.
• Диапазон 2190–21FF: стрелки Юникода.
• Диапазон 2200–22FF: математические операторы Юникода.
• Диапазон 27C0–27EF: различные математические символы Юникода – A.
• Диапазон 2980–29FF: разные математические символы Юникода – B.
• Диапазон 2A00–2AFF: дополнительные математические операторы Юникода.

Некоторые перекрестные ссылки в Юникоде:

• Краткий список часто используемых символов LaTeX и полный список символов LaTeX
• Символы MathML — сортирует имена Unicode, HTML и MathML/TeX на одной странице.
• Значения Юникода и имена MathML
• Значения Unicode и имена Postscript из исходного кода Ghostscript.