Преобразование порождающей функции

Эта статья о преобразованиях производящих функций в математике. Информацию о производящих функциях (основная статья) см. в разделе « Производящая функция» . О производящих функциях в классической механике см. Производящая функция (физика) . Чтобы узнать о преобразованиях производящих функций в классической механике, см. каноническое преобразование .

В математике преобразование последовательности производящей функции представляет собой метод преобразования производящей функции для одной последовательности в производящую функцию, перечисляющую другую. Эти преобразования обычно включают в себя интегральные формулы, применяемые к производящей функции последовательности (см. Интегральные преобразования ) или взвешенные суммы по более высокого порядка производным этих функций (см. Преобразования производных ).

Учитывая последовательность, $\{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }$, обычная производящая функция (OGF) последовательности, обозначаемая $F(z)$и экспоненциальную производящую функцию (EGF) последовательности, обозначенную ${\widehat {F}}(z)$, определяются формальным степенным рядом

$F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots$

${\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .$

В этой статье мы используем соглашение, согласно которому обычная (экспоненциальная) производящая функция для последовательности $\{f_{n}\}$ обозначается функцией верхнего регистра $F(z)$ / ${\widehat {F}}(z)$ для какого-то фиксированного или формального $z$ когда контекст этой записи ясен. Кроме того, мы используем скобочные обозначения для извлечения коэффициентов из справочника по бетонной математике , который задается формулой $[z^{n}]F(z):=f_{n}$.В основной статье приведены примеры производящих функций для многих последовательностей. Другие примеры вариантов производящей функции включают производящие функции Дирихле (DGF), ряды Ламберта и ряды Ньютона . В этой статье мы сосредоточимся на преобразованиях производящих функций в математике и ведем постоянный список полезных преобразований и формул преобразования.

Извлечение арифметической прогрессии последовательности

Основная статья: Многосекционная серия

Многосекционный ряд предоставляет формулы для создания функций, перечисляющих последовательность. $\{f_{an+b}\}$ учитывая обычную производящую функцию $F(z)$ где $a,b\in \mathbb {N}$, $a\geq 2$, и $0\leq b<a$. В первых двух случаях, когда $(a,b):=(2,0),(2,1)$, мы можем расширить эти функции, генерирующие арифметическую прогрессию, непосредственно с точки зрения $F(z)$:

$\sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)$

$\sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).$

В более общем плане предположим, что $a\geq 3$ и это $\omega _{a}:=\exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)$ обозначает $a^{th}$ первоначальный корень единицы . Тогда мы имеем следующую формулу: часто известный как корень единичного фильтра:

$\sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).$

Для целых чисел $m\geq 1$, еще одна полезная формула, обеспечивающая несколько обратную минимальную арифметическую прогрессию, генерируется тождеством

$\sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).$

Полномочия ОГФ и состав с функциями

Экспоненциальные полиномы Белла , $B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)$, определяются экспоненциальной производящей функцией

$\Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.$

Следующие формулы для степеней, логарифмов и композиции формальных степенных рядов расширяются этими полиномами с переменными в коэффициентах исходных производящих функций. Формула для экспоненты производящей функции задается неявно через полиномы Белла с помощью EGF для этих полиномов, определенных в предыдущей формуле для некоторой последовательности $\{x_{i}\}$.

OGF (частный случай формулы степеней

Степенной ряд для обратной производящей функции: $F(z)$, расширяется на

${\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .$

Если мы позволим $b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)$ обозначим коэффициенты в разложении обратной производящей функции, то имеем следующее рекуррентное соотношение:

$b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.$

Полномочия OGF

Позволять $m\in \mathbb {C}$ быть исправлено, предположим, что $f_{0}=1$, и обозначим $b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}$. Тогда у нас есть разложение в ряд для $F(z)^{m}$ данный

$F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,$

и коэффициенты $b_{n}^{(m)}$ удовлетворять рекуррентному отношению вида

$n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.$

Другая формула для коэффициентов: $b_{n}^{(m)}$, расширяется полиномами Белла как

$F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},$

где $(r)_{n}$ обозначает символ Поххаммера .

Логарифмы OGF

Если мы позволим $f_{0}=1$ и определить $q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)$, то мы имеем разложение в степенной ряд для составной производящей функции, заданной выражением

$\log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,$

где коэффициенты, $q_{n}$, в предыдущем расширении удовлетворяют рекуррентному соотношению, заданному формулой

$n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},$

и соответствующую формулу, расширенную полиномами Белла в виде коэффициентов степенного ряда следующей производящей функции:

$\log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.$

Формула Фаа ди Бруно

Основная статья: формула Фаа ди Бруно

Позволять ${\widehat {F}}(z)$ обозначают EGF последовательности, $\{f_{n}\}_{n\geq 0}$и предположим, что ${\widehat {G}}(z)$ является EGF последовательности, $\{g_{n}\}_{n\geq 0}$. Формула Фаа ди Бруно подразумевает, что последовательность $\{h_{n}\}_{n\geq 0}$, порожденный композицией ${\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))$, можно выразить через экспоненциальные полиномы Белла следующим образом:

$h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.$

Интегральные преобразования

OGF ⟷ Формулы преобразования EGF

Имеем следующие интегральные формулы для $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$ который можно применять по срокам в отношении $z$ когда $z$ в качестве любой формальной переменной степенного ряда принимается:

$\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})$

$\sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.$

$\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .$

Обратите внимание, что первая и последняя из этих интегральных формул используются для преобразования между EGF в OGF последовательности и из OGF в EGF последовательности всякий раз, когда эти интегралы сходятся.

Первая интегральная формула соответствует преобразованию Лапласа (или иногда формальному преобразованию Лапласа–Бореля ) производящих функций, обозначаемому ${\mathcal {L}}[F](z)$, определенный в. Другие интегральные представления гамма-функции во второй из предыдущих формул, конечно, также можно использовать для построения аналогичных интегральных преобразований. Одна конкретная формула получается в случае примера функции двойного факториала, приведенного непосредственно ниже в этом разделе. Последняя интегральная формула сравнивается с петлевым интегралом Ханкеля для обратной гамма-функции, почленно применяемой к степенному ряду для $F(z)$.

: двойной факториал для ЭФР чисел Стирлинга второго

Единственная функция факториала , $(2n)!$, выражается как произведение двух двойных факториалов вида

$(2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),$

где интеграл для двойной факториальной функции или рациональной гамма-функции определяется выражением

${\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,$

для натуральных чисел $n\geq 0$. Это интегральное представление $(2n-1)!!$ тогда подразумевается, что для фиксированного ненулевого $q\in \mathbb {C}$ и любые интегральные силы $k\geq 0$, у нас есть формула

${\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].$

Таким образом, для любого заданного целого числа $j\geq 0$, мы можем использовать предыдущее интегральное представление вместе с формулой для извлечения арифметических прогрессий из последовательности OGF, приведенной выше, чтобы сформулировать следующее интегральное представление для так называемого модифицированного числа Стирлинга EGF как

$\sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,$

которая сходится при подходящих условиях на параметр $0<|q|<1$.

: формула EGF для производных геометрического ряда высшего

Для фиксированного ненулевого значения $c,z\in \mathbb {C}$ определено так, что $|cz|<1$, пусть геометрический ряд по неотрицательным целым степеням $(cz)^{n}$ обозначаться $G(z):=1/(1-cz)$. Соответствующий более высокий порядок $j^{th}$ производные геометрической прогрессии по $z$ обозначаются последовательностью функций

$G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],$

для неотрицательных целых чисел $j\geq 0$. Эти $j^{th}$ можно показать, например, по индукции, что производные обычной геометрической прогрессии удовлетворяют явной формуле в замкнутой форме, заданной формулой

$G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},$

для любого $j\geq 0$ в любое время $|cz|<1$. Как пример третьего OGF $\longmapsto$ По формуле преобразования ЭФР, приведенной выше, мы можем вычислить следующие соответствующие экспоненциальные формы производящих функций $G_{j}(z)$:

${\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).$

Дробные интегралы и производные

Дробные интегралы и дробные производные (см. основную статью ) образуют еще один обобщенный класс операций интегрирования и дифференцирования, которые можно применять к OGF последовательности для формирования соответствующего OGF преобразованной последовательности. Для $\Re (\alpha )>0$ определим оператор дробного интеграла (порядка $\alpha$) интегральным преобразованием

$I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,$

что соответствует (формальному) степенному ряду, заданному формулой

$I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.$

Для фиксированного $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ определено так, что $\Re (\alpha ),\Re (\beta )>0$, мы имеем, что операторы $I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }$. Более того, для фиксированного $\alpha \in \mathbb {C}$ и целые числа $n$ удовлетворяющий $0<\Re (\alpha )<n$ мы можем определить понятие дробной производной, удовлетворяющей свойствам, которые

$D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),$

и

$D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}$ для $k=1,2,\ldots ,n,$

где мы имеем свойство полугруппы, что $D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }$ только тогда, когда ни один из $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta$ является целочисленным.

ряда

Для фиксированного $s\in \mathbb {Z} ^{+}$, мы имеем это (сравните с частным случаем интегральной формулы для функции обобщенного полилогарифма Нильсена, определенной в )

$\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.$

Обратите внимание: если мы установим $g_{n}\equiv f_{n+1}$, интеграл по производящей функции, $G(z)$, в последнем уравнении, когда $z\equiv 1$ соответствует производящей функции Дирихле , или ДГФ, ${\widetilde {F}}(s)$, последовательности $\{f_{n}\}$ при условии, что интеграл сходится. Этот класс интегральных преобразований, связанных с полилогарифмами, связан с преобразованиями дзета-ряда на основе производной, определенными в следующих разделах.

Преобразования производящих функций квадратного ряда

Для фиксированного ненулевого значения $q,c,z\in \mathbb {C}$ такой, что $|q|<1$ и $|cz|<1$, мы имеем следующие интегральные представления для так называемой производящей функции квадратного ряда , связанной с последовательностью $\{f_{n}\}$, который можно почленно проинтегрировать по $z$:

$\sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.$

Этот результат, доказанный в ссылке, следует из варианта интеграла преобразования двойной факториальной функции для чисел Стирлинга второго рода, приведенного в качестве примера выше. В частности, поскольку

$q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,$

мы можем использовать вариант преобразований OGF на основе производной положительного порядка, определенных в следующих разделах, с использованием чисел Стирлинга второго рода , чтобы получить интегральную формулу для производящей функции последовательности: $\left\{S(2n,j)/n!\right\}$, а затем выполнить суммирование по $j^{th}$ производные формального OGF, $F(z)$ чтобы получить результат в предыдущем уравнении, где рассматриваемая производящая функция арифметической прогрессии обозначается как

$\sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),$

за каждое фиксированное $j\in \mathbb {N}$.

производящие

У нас есть интегральное представление для произведения Адамара двух производящих функций: $F(z)$ и $G(z)$, сформулированный в следующем виде:

$(F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{it}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-it}\right)dt,$

где я — мнимая единица .

Дополнительную информацию о произведениях Адамара как диагональных производящих функциях многомерных последовательностей и/или производящих функциях, а также о классах производящих функций, к которым принадлежат эти диагональные OGF, можно найти в книге Стэнли. В справочнике также представлены формулы извлечения вложенных коэффициентов вида

$\operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),$

которые особенно полезны в тех случаях, когда функции, генерирующие последовательность компонентов, $F_{i}(z)$, можно разложить в ряд Лорана или дробный ряд, в $z$, например, в частном случае, когда все составляющие производящие функции рациональны, что приводит к алгебраической форме соответствующей диагональной производящей функции.

Пример: произведения Адамара рациональных производящих функций

В общем, произведение Адамара двух рациональных производящих функций само по себе рационально. В этом можно убедиться, заметив, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазиполиномиальные члены вида

$f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},$

где обратные корни, $\rho _{i}\in \mathbb {C}$, — фиксированные скаляры и где $p_{i}(n)$ является полиномом по $n$ для всех $1\leq i\leq \ell$. Например, произведение Адамара двух производящих функций

$F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}$

и

$G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}$

задается формулой рациональной производящей функции

$(F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.$

Пример: Факториальные (приблизительные преобразования Лапласа)

Обычные производящие функции для обобщенных факториальных функций, образованных как частные случаи обобщенных возрастающих факториальных функций произведения , или k-символа Поххаммера , определяемого формулой

$p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},$

где $R$ фиксировано, $\alpha \neq 0$, и $(x)_{n}$ обозначает символ Поххаммера , порождены (по крайней мере формально) J-дробями типа Якоби (или специальными формами цепных дробей ), установленными в ссылке. Если мы позволим $\operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)$ обозначают $h^{\text{th}}$ сходящиеся к этим бесконечным цепным дробям, где сходящиеся функции компонентов определены для всех целых чисел $h\geq 2$ к

$\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},$

и

${\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}$

где $L_{n}^{(\beta )}(x)$ обозначает ассоциированный полином Лагерра , то мы имеем, что $h^{th}$ сходящаяся функция, $\operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)$, точно перечисляет последовательности продуктов, $p_{n}(\alpha ,R)$, для всех $0\leq n<2h$. Для каждого $h\geq 2$, $h^{th}$ сходящаяся функция разлагается как конечная сумма, включающая только парные обратные значения полиномов Лагерра в виде

$\operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}$

Более того, поскольку единственная функция факториала задается обеими $n!=p_{n}(1,1)$ и $n!=p_{n}(-1,n)$, мы можем генерировать члены одиночной факториальной функции, используя приближенные рациональные сходящиеся производящие функции до порядка $2h$. Это наблюдение предполагает подход к аппроксимации точного (формального) преобразования Лапласа – Бореля, обычно даваемого в терминах интегрального представления из предыдущего раздела, с помощью произведения Адамара или производящей функции с диагональными коэффициентами. В частности, при любом OGF $G(z)$ мы можем сформировать приближенное преобразование Лапласа, которое $2h$-с точностью до порядка, по приведенной выше формуле извлечения диагональных коэффициентов, заданной формулой

${\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}$

Примеры последовательностей, перечисляемых с помощью этих производящих диагональных коэффициентов функций, возникающих в результате множителя функции факториала последовательности, обеспечиваемого рациональными сходящимися функциями, включают:

${\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}$

где $I_{0}(z)$ обозначает модифицированную функцию Бесселя , $!n$ обозначает субфакториальную функцию , $\operatorname {af} (n)$ обозначает знакопеременную факториальную функцию, а $P_{n}(x)$ является полиномом Лежандра . Другие примеры последовательностей, перечисляемых посредством применения этих производящих функций рационального произведения Адамара, приведенных в статье, включают G-функцию Барнса , комбинаторные суммы, включающие функцию двойного факториала , суммы последовательностей степеней и последовательности биномов.

преобразования

рядов положительного и отрицательного

Для фиксированного $k\in \mathbb {Z} ^{+}$, мы имеем это, если последовательность OGF $F(z)$ имеет $j^{th}$ производные всех необходимых порядков для $1\leq j\leq k$, что преобразование дзета-ряда положительного порядка определяется выражением

$\sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),$

где $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$ обозначает число Стирлинга второго рода . В частности, мы имеем следующее тождество частного случая, когда $f_{n}\equiv 1\forall n$ когда $\scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }$ обозначает треугольник эйлеровых чисел первого порядка :

$\sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.$

Мы также можем разложить преобразования дзета-ряда отрицательного порядка с помощью процедуры, аналогичной приведенным выше разложениям, заданным в терминах $j^{th}$-порядковые производные некоторых $F(z)\in C^{\infty }$ и бесконечный нетреугольный набор обобщенных чисел Стирлинга в обратном порядке или обобщенных чисел Стирлинга второго рода, определенных в этом контексте.

В частности, для целых чисел $k,j\geq 0$, определим эти обобщенные классы чисел Стирлинга второго рода по формуле

$\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.$

Тогда для $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ и некоторые прописали OGF, $F(z)\in C^{\infty }$, т. е. так, чтобы высший порядок $j^{th}$ производные от $F(z)$ существовать для всех $j\geq 0$, у нас это есть

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).$

Таблица первых коэффициентов преобразования дзета-ряда, $\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}$, отображается ниже. Эти разложения по числам взвешенных гармоник практически идентичны известным формулам для чисел Стирлинга первого рода с точностью до старшего знака членов взвешенных чисел гармоник в разложениях.

к	$\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }\times (-1)^{j-1}j!$
2	$1$
3	$H_{j}$
4	${\frac {1}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)$
5	${\frac {1}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)$
6	${\frac {1}{24}}\left(H_{j}^{4}+6H_{j}^{2}H_{j}^{(2)}+3\left(H_{j}^{(2)}\right)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\right)$

ряда отрицательного порядка

Следующий ряд, связанный с полилогарифмическими функциями ( дилогарифмическими и трилогарифмическими функциями соответственно), знакопеременной дзета-функцией и дзета-функцией Римана, сформулирован на основе результатов предыдущих рядов отрицательного порядка, найденных в ссылках. В частности, когда $s:=2$ (или, что то же самое, когда $k:=4$ в таблице выше) мы имеем следующий ряд особых случаев для дилогарифма и соответствующее постоянное значение знакопеременной дзета-функции:

${\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}$

Когда $s:=3$ (или когда $k:=5$ в обозначениях, использованных в предыдущем пункте), аналогично получаем ряды частных случаев для этих функций, заданные формулами

${\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}$

Известно, что гармонические числа первого порядка имеют экспоненциальную производящую функцию замкнутой формы, расширенную с помощью натурального логарифма , неполной гамма-функции и экспоненциального интеграла , определяемого выражением

$\sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).$

Дополнительные представления в виде рядов для экспоненциальных производящих функций числа гармоник r для целых чисел $r\geq 2$ формируются как частные случаи результатов преобразования рядов отрицательного порядка на основе производной. Например, номера гармоник второго порядка имеют соответствующую экспоненциальную производящую функцию, расширенную в ряд

$\sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).$

дзета-ряда отрицательного

Дальнейшее обобщение преобразований рядов отрицательного порядка, определенных выше, связано с производящими функциями, более похожими на дзета-Гурвица или трансцендентными по Лерху . В частности, если мы определим еще более общие параметризованные числа Стирлинга второго рода как

$\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}$,

для ненулевого $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ такой, что $-{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}$и некоторые фиксированные $k\geq 1$, у нас это есть

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).$

Более того, для любых целых чисел $u,u_{0}\geq 0$, у нас есть приближения частичных серий к полной бесконечной серии в предыдущем уравнении, заданном формулой

$\sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).$

обобщенного дзета-ряда отрицательного

Ряды для специальных констант и дзета-функций, возникающих в результате этих преобразований обобщенных рядов на основе производной, обычно включают в себя обобщенные гармонические числа r-порядка, определяемые формулой $H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}$ для целых чисел $r\geq 1$. Пара конкретных разложений в ряд для следующих констант, когда $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ фиксировано, следует из особых случаев тождеств типа BBP, как

${\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}$

Несколько других рядов для связанных с дзета-функцией случаев хи-функции Лежандра , полигамма-функции и дзета-функции Римана включают

${\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}$

Кроме того, мы можем дать еще одно новое явное представление в виде ряда функции обратного тангенса через ее связь с числами Фибоначчи. расширено, как в ссылках

$\tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],$

для $t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)$ и где золотое сечение (и обратное ему значение) соответственно определяются формулой $\varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)$.

Соотношения инверсии и порождающие тождества функций

Инверсионные отношения

Отношение инверсии представляет собой пару уравнений вида

$g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},$

что эквивалентно отношению ортогональности

$\sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.$

Учитывая две последовательности, $\{f_{n}\}$ и $\{g_{n}\}$, связанные обратным соотношением предыдущей формы, мы иногда пытаемся связать OGF и EGF пары последовательностей функциональными уравнениями, подразумеваемыми соотношением инверсии. Эта цель в некоторых отношениях отражает более теоретико-числовое ( ряд Ламберта ) отношение производящей функции, гарантированное формулой обращения Мёбиуса , которая обеспечивает, что всякий раз, когда

$a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},$

производящие функции для последовательностей, $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$, связаны преобразованием Мёбиуса , определяемым формулой

$\sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.$

Аналогично, преобразование Эйлера производящих функций для двух последовательностей: $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$, удовлетворяющее соотношению

$1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},$

дается в виде

$1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),$

где соответствующие формулы обращения между двумя последовательностями приведены в ссылке.

Оставшаяся часть результатов и примеров, приведенных в этом разделе, описывает некоторые из наиболее известных преобразований производящей функции, обеспечиваемых последовательностями, связанными формулами обращения ( биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга ), и предоставляет несколько таблиц известных отношений обращения различных типов. цитируется в книге Риордана «Комбинаторные тождества» . Во многих случаях мы опускаем соответствующие функциональные уравнения, подразумеваемые соотношениями инверсии между двумя последовательностями ( эта часть статьи требует дополнительной доработки ).

Биномиальное преобразование

Первое соотношение инверсии, представленное ниже, неявно связанное с биномиальным преобразованием , возможно, является самым простым из всех отношений инверсии, которые мы будем рассматривать в этом разделе. Для любых двух последовательностей $\{f_{n}\}$ и $\{g_{n}\}$, связанные формулами обращения

$g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},$

у нас есть функциональные уравнения между OGF и EGF этих последовательностей, полученные биномиальным преобразованием в формах

$G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)$

и

${\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).$

Преобразование Стирлинга

Для любой пары последовательностей $\{f_{n}\}$ и $\{g_{n}\}$, связанная числа Стирлинга формулой обращения

$g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},$

эти отношения инверсии между двумя последовательностями переводятся в функциональные уравнения между EGF последовательностей, заданные преобразованием Стирлинга как

${\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)$

и

${\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).$

Таблицы инверсионных пар из книги Риордана

Эти таблицы появляются в главах 2 и 3 книги Риордана, давая введение в обратные отношения со многими примерами, хотя и не подчеркивая функциональные уравнения между производящими функциями последовательностей, связанных этими отношениями инверсии. Заинтересованному читателю рекомендуется приобрести копию оригинальной книги для получения более подробной информации.

Несколько форм простейших обратных отношений

Связь	Формула	Обратная формула	Производящие функции (OGF)	Производящие функции (EGF)	Примечания/ссылки
1	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}a_{k}$	$B(z)={\frac {1}{1-z}}A\left(-{\frac {z}{1-z}}\right)$	${\widehat {B}}(z)=e^{z}{\widehat {A}}(-z)$	См. Биномиальное преобразование
2	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}}(-1)^{n-k}a_{k}$	$\ast$	$\ast$
3	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}}(-1)^{n-k}a_{k}$	$B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A\left({\frac {z}{1+z}}\right)$	$\ast$
4	$a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {k+p}{n+p}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {k+p}{n+p}}(-1)^{n-k}a_{k}$	$\ast$	$\ast$
5	$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}}(-1)^{n-k}a_{k}$	$\ast$	${\widehat {B}}(z)={\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}}\right)$
6	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}k!b_{n-k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(-1)^{k}k!a_{n-k}$	$\ast$	${\widehat {B}}(z)={\frac {1}{1+z}}{\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}}\right)$
7	${\frac {n!a_{n}}{(n+p)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {k!b_{k}}{(k+p)!}}$	${\frac {n!b_{n}}{(n+p)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{n-k}k!a_{k}}{(k+p)!}}$	$B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A\left({\frac {z}{1+z}}\right)$	$\ast$
8	$s_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}$	$\ast$	$S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)$	$\ast$	Видеть.
9	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}$	$\ast$	$A(z)={\frac {1}{1+cx}}B\left({\frac {ax}{1+cx}}\right)$	$\ast$	Обобщение биномиального преобразования для $a,b,c\in \mathbb {C}$ такой, что $\left|{\frac {ax}{1+cx}}\right|<\sigma _{B}$.
10	$w_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{n}a_{i},\ k\neq 0$	$\ast$	$\ast$	${\widehat {W}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(kz)$	The $k$-биномиальное преобразование (см. )
11	$f_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{n-i}a_{i},\ k\neq 0$	$\ast$	$\ast$	${\widehat {F}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(z)$	Падение ​ $k$-биномиальное преобразование (см. статью Спайви в )
12	$r_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{i}a_{i},\ k\neq 0$	$\ast$	$\ast$	${\widehat {R}}(A,k;z)=e^{z}{\widehat {A}}(kz)$	Восходящий ​ $k$-биномиальное преобразование (см. статью Спайви в )

Классы

Условия, $A_{n,k}$ и $B_{n,k}$, в формулах обращения вида

$a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},$

образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Гулда, приведены в следующей таблице.

Сорт	$A_{n,k}$	$B_{n,k}$
1	${\binom {p+qk-k}{n-k}}$	${\binom {p+qn-k}{n-k}}-q{\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}$
2	${\binom {p+qk-k}{n-k}}+q{\binom {p+qk-k}{n-1-k}}$	${\binom {p+qn-k}{n-k}}$
3	${\binom {p+qn-n}{k-n}}$	${\binom {p+qk-n}{k-n}}-q{\binom {p+qk-n-1}{k-n-1}}$
4	${\binom {p+qn-n}{k-n}}+q{\binom {p+qn-n}{k-1-n}}$	${\binom {p+qk-n}{k-n}}$

Для классов 1 и 2 диапазон суммы удовлетворяет $k\in [0,n]$, а для классов 3 и 4 оценки суммирования имеют вид $k=n,n+1,\ldots$. Эти термины также несколько упрощены по сравнению с их исходными формами в таблице тождествами

${\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}$

${\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.$

Простейшие

Так называемые более простые случаи классов обратных отношений Чебышева из нижеприведенного подраздела приведены в следующей таблице.

Связь	Формула для $a_{n}$	Обратная формула для $b_{n}$
1	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}$
2	$a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}}(-1)^{k}a_{n-2k}$
3	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}}b_{n+2k}$	$b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k}{k}}+{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n+2k}$
4	$a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}\right]b_{n+2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}}(-1)^{k}a_{n+2k}$
5	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}}b_{n-k}$	$b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-k}$
6	$a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+1-k}{k}}+{\binom {n-k}{k-1}}\right]b_{n-k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}(-1)^{k}a_{n-k}$
7	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n+ck}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+ck+k}{k}}{\frac {n(-1)^{k}}{n+ck+k}}a_{n+ck}$

Формулы в таблице несколько упрощены следующими тождествами:

${\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}$

Кроме того, соотношения инверсии, приведенные в таблице, выполняются и при $n\longmapsto n+p$ в любом данном отношении.

Классы обратных отношений Чебышева

Условия, $A_{n,k}$ и $B_{n,k}$, в формулах обращения вида

$a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},$

для ненулевых целых чисел $c$образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Чебышева, приведены в следующей таблице.

Сорт	$A_{n,k}$	$B_{n,k}$
1	${\binom {n}{k}}$	${\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}$
2	${\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}$	${\binom {n+ck+k}{k}}$
3	${\binom {n+ck}{k}}$	${\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}$
4	${\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}$	${\binom {n+k}{k}}$

Кроме того, эти соотношения инверсии выполняются и тогда, когда $n\longmapsto n+p$ для некоторых $p=0,1,2,\ldots ,$ или когда знаковый коэффициент $(-1)^{k}$ отодвинуто от условий $B_{n,k}$ к условиям $A_{n,k}$. Формулы, приведенные в предыдущей таблице, несколько упрощены тождествами

${\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}$

Лежандра

Связь	Формула для $a_{n}$	Обратная формула для $b_{n}$
1	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+p+k}{n-k}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{n-k}}-{\binom {2n+p}{n-k-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}$
2	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p}{n-k}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+p+k}{n-k}}-{\binom {n+p+k-1}{n-k-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}$
3	$a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {n+p+k}{k-n}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k\geq n}\left[{\binom {2k+p}{k-n}}-{\binom {2k+p}{k-n-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}$
4	$a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {2k+p}{k-n}}b_{k}$	$b_{n}=\sum _{k\geq n}\left[{\binom {n+p+k}{k-n}}-{\binom {n+p+k-1}{k-n-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}$
5	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p}{k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p-3k}{k}}+3{\binom {2n+p-3k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}$
6	$a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{k}}-3{\binom {2n+p}{k-1}}\right]b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p-3k}{k}}(-1)^{k}a_{n-2k}$
7	$a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\binom {3n}{k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}\left[{\binom {3n-5k}{k}}+5{\binom {3n-5k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}$
8	$a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}{\binom {2n}{k}}b_{n-3k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}\left[{\binom {2n-5k}{k}}+5{\binom {2n-5k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-3k}$

Классы обратных отношений

соответствуют Классам обратных отношений Лежандра–Чебышева отношениям обращения вида

$a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},$

где условия, $A_{n,k}$ и $B_{n,k}$, неявно зависят от некоторого фиксированного ненулевого значения $c\in \mathbb {Z}$. Вообще говоря, задан класс обратных пар Чебышёва вида

$a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},$

если $c$ простое число, замена $n\longmapsto cn+p$, $a_{cn+p}\longmapsto A_{n}$, и $b_{cn+p}\longmapsto B_{n}$ (возможно замена $k\longmapsto n-k$) приводит к паре Лежандра–Чебышева вида

$A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.$

Аналогично, если целое положительное число $c:=de$ является составным, мы можем вывести пары инверсий вида

$A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.$

В следующей таблице суммированы несколько обобщенных классов обратных отношений Лежандра – Чебышева для некоторых ненулевых целых чисел. $c$.

Сорт	$A_{n,k}$	$B_{n,k}$
1	${\binom {cn+p}{n-k}}$	${\binom {n+p-1+ck-k}{n-k}}+c{\binom {n+p-1+ck-k}{n-k-1}}$
2	${\binom {cn+p}{k-n}}$	${\binom {ck+k+p-n-1}{k-n}}-c{\binom {ck+k+p-n-1}{k-n-1}}$
3	${\binom {ck+p}{n-p}}$	${\binom {cn+n+p-k-1}{n-k}}-c{\binom {cn+n+p-k-1}{n-k-1}}$
4	${\binom {ck+p}{k-n}}$	${\binom {cn-n+p+k-1}{k-n}}+c{\binom {cn-n+p+k-1}{k-n-1}}$
5	${\binom {cn+p}{n-k}}-(c-1){\binom {cn+p}{n-k-1}}$	${\binom {n+p+ck-k}{n-k}}$
6	${\binom {cn+p}{k-n}}+(c+1){\binom {cn+p}{k-n-1}}$	${\binom {ck+k+p-n}{k-n}}$
7	${\binom {ck+p}{n-k}}+(c+1){\binom {ck+p}{n-k-1}}$	${\binom {cn+n+p-k}{n-k}}$
8	${\binom {ck+p}{k-n}}-(c-1){\binom {ck+p}{k-n-1}}$	${\binom {cn-n+p+k}{k-n}}$

Обратные отношения Абеля

Обратные отношения Абеля соответствуют обратным парам Абеля вида

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},$

где условия, $A_{nk}$ и $B_{nk}$, может неявно изменяться с некоторым неопределенным параметром суммирования $x$. Эти соотношения сохраняются и в том случае, если замена биномиальных коэффициентов ${\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}$ выполняется для некоторого неотрицательного целого числа $p$. В следующей таблице суммированы несколько известных форм этих обратных отношений Абеля.

Число	$A_{nk}$	$B_{nk}$	Генерация идентификатора функции
1	$x(x+n-k)^{n-k-1}$	$x(x-n+k)^{n-k-1}$	$\ast$
2	$(x+n-k)^{n-k}$	$(x^{2}-n+k)(x-n+k)^{n-k-2}$	$\ast$
3	$(x+k)^{n-k}$	$(x+k)(x+n)^{n-k-1}$	$\ast$
3а	$(x+n)(x+k)^{n-k-1}$	$(x+n)^{n-k}$	$\ast$
4	$(x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}$	$(x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}$	$\ast$
4а	$(x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}$	$(x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}$	$\ast$
5	$(n+k)^{n-k}$	$\left[n+k(4n-1)\right](n+k)^{n-k-2}$	$\ast$

полученные из обычных производящих

Если мы позволим числам Фибоначчи свёрнутым $f_{k}^{(\pm p)}$, определяться

${\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}$

мы имеем следующую таблицу обратных отношений, которые получены из свойств обычных производящих функций, доказанных как в разделе 3.3 книги Риордана.

Связь	Формула для $a_{n}$	Обратная формула для $b_{n}$
1	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+k}{k}}b_{n-k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}a_{n-k}$
2	$a_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {p+k}{k}}b_{n-qk}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}a_{n-qk}$
3	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(p)}b_{n-k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(-p)}a_{n-k}$
4	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}b_{n-k}$	$\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{(1-2k)}}$
5	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {b_{n-k}}{(k+1)}}$	$b_{n}=a_{n}-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{k}}$
6	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2p+2k}{p+k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {2p}{p}}^{-1}b_{n-k}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2p+1}{2k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {p+k}{2k}}^{-1}(-1)^{k}a_{n-k}$
7	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {(8k+1)a_{n-2k}}{(2k+1)(k+1)}}$
8	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k+2}{2k+1}}b_{n-2k}$	$b_{n}={\frac {a_{n}}{2}}-\sum _{k\geq 1}{\binom {4k-2}{2k-1}}{\frac {(8k-3)a_{n-2k}}{2k(4k-3)}}$
9	$a_{n}={\binom {4k}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(1-4k)}}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {a_{n-2k}}{(2k+1)}}$

Заметим, что отношения 3, 4, 5 и 6 в таблице можно преобразовать в соответствии с подстановками $a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}$ и $b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}$ для некоторого фиксированного ненулевого целого числа $q\geq 1$.

полученные из экспоненциальных производящих

Позволять $B_{n}$ и $E_{n}$ обозначим числа Бернулли и числа Эйлера соответственно и предположим, что последовательности $\{d_{2n}\}$, $\{e_{2n}\}$, и $\{f_{2n}\}$ определяются следующими экспоненциальными производящими функциями:

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}$

В следующей таблице суммированы несколько примечательных случаев отношений инверсии, полученных из экспоненциальных производящих функций в разделе 3.4 книги Риордана.

Связь	Формула для $a_{n}$	Обратная формула для $b_{n}$
1	$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {b_{k}}{(k+1)}}$	$b_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}a_{n-k}$
2	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}{\frac {b_{n+k}}{(k+1)}}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}B_{k}a_{n+k}$
3	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}E_{2k}a_{n-2k}$
4	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}b_{n+2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}E_{2k}a_{n+2k}$
5	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(2k+1)}}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}$
6	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k+1}}b_{n-2k}$	$(n+1)\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}$
7	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\binom {2k+2}{2}}^{-1}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}$
8	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k+2}}b_{n-2k}$	${\binom {n+2}{2}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}$
9	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\binom {2k+3}{3}}^{-1}b_{n-2k}$	$b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}$
10	$a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k+3}}b_{n-2k}$	${\binom {n+3}{3}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}$

Полиномиальные обратные

Обратные соотношения, использованные при формулировке биномиального преобразования , приведенного в предыдущем подразделе, обобщаются на соответствующие двухиндексные обратные соотношения для последовательностей двух индексов и на формулы полиномиального обращения для последовательностей $j\geq 3$ индексы, включающие биномиальные коэффициенты Риордана. В частности, мы имеем форму двухиндексного обратного отношения, заданного формулой

$a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},$

и более общая форма полиномиальной пары формул обращения, заданная формулой

$a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.$

Ссылки

• Конте, Л. (1974). Продвинутая комбинаторика (PDF) . Издательство Д. Рейделя. ISBN  9027703809 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 июня 2017 г. Проверено 10 февраля 2017 г.
• Флажоле и Седжвик (2010). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89806-5 .
• Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: Фонд информатики (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  0201558025 .
• Кнут, DE (1997). Искусство компьютерного программирования: фундаментальные алгоритмы . Том. 1. Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-89683-4 .
• Ландо, СК (2002). Лекции по производящим функциям . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3481-9 .
• Оливер, Лозье, Буасверт и Кларк (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-14063-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Риордан, Дж. (1968). Комбинаторные тождества . Уайли и сыновья.
• Роман, С. (1984). Умбральное исчисление . Дуврские публикации. ISBN  0-486-44139-3 .
• Шмидт, доктор медицинских наук (3 ноября 2016 г.). «Преобразования производящей функции дзета-ряда, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv : 1611.00957 [ math.CO ].
• Шмидт, доктор медицинских наук (30 октября 2016 г.). «Преобразования производящих функций дзета-ряда, связанные с полилогарифмическими функциями и гармоническими числами k -порядка». arXiv : 1610.09666 [ math.CO ].
• Шмидт, доктор медицины (2017). «Цепные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториалов» . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . arXiv : 1610.09691 .
• Шмидт, доктор медицинских наук (9 сентября 2016 г.). «Преобразования производящих функций квадратного ряда». arXiv : 1609.02803 [ math.NT ].
• Стэнли, Р.П. (1999). Перечислительная комбинаторика . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78987-5 .

Внешние ссылки

• Почему они не учат исчислению Ньютона на тему «Что будет дальше?» - Матолог