В математике преобразование последовательности производящей функции представляет собой метод преобразования производящей функции для одной последовательности в производящую функцию, перечисляющую другую. Эти преобразования обычно включают интегральные формулы, применяемые к производящей функции последовательности (см. Интегральные преобразования ) или взвешенные суммы по более высокого порядка производным этих функций (см. Преобразования производных ).
Учитывая последовательность,
{
f
n
}
n
=
0
∞
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
, обычная производящая функция (OGF) последовательности, обозначаемая
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
и экспоненциальную производящую функцию (EGF) последовательности, обозначенную
F
^
(
z
)
{\displaystyle {\widehat {F}}(z)}
, определяются формальным степенным рядом
F
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
f
n
z
n
=
f
0
+
f
1
z
+
f
2
z
2
+
⋯
{\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=f_{0}+f_{1}z+f_{2}z^{2}+\cdots }
F
^
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
f
n
n
!
z
n
=
f
0
0
!
+
f
1
1
!
z
+
f
2
2
!
z
2
+
⋯
.
{\displaystyle {\widehat {F}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {f_{0}}{0!}}+{\frac {f_{1}}{1!}}z+{\frac {f_{2}}{2!}}z^{2}+\cdots .}
В этой статье мы используем соглашение, согласно которому обычная (экспоненциальная) производящая функция для последовательности
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
обозначается функцией верхнего регистра
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
/
F
^
(
z
)
{\displaystyle {\widehat {F}}(z)}
для какого-то фиксированного или формального
z
{\displaystyle z}
когда контекст этой записи ясен. Кроме того, мы используем скобочные обозначения для извлечения коэффициентов из справочника по бетонной математике , который задается формулой
[
z
n
]
F
(
z
)
:=
f
n
{\displaystyle [z^{n}]F(z):=f_{n}}
.
В основной статье приведены примеры производящих функций для многих последовательностей. Другие примеры вариантов производящей функции включают производящие функции Дирихле (DGF), ряды Ламберта и ряды Ньютона . В этой статье мы сосредоточимся на преобразованиях производящих функций в математике и ведем постоянный список полезных преобразований и формул преобразования.
Многосекционный ряд предоставляет формулы для создания функций, перечисляющих последовательность.
{
f
a
n
+
b
}
{\displaystyle \{f_{an+b}\}}
учитывая обычную производящую функцию
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
где
a
,
b
∈
N
{\displaystyle a,b\in \mathbb {N} }
,
a
≥
2
{\displaystyle a\geq 2}
, и
0
≤
b
<
a
{\displaystyle 0\leq b<a}
. В первых двух случаях, когда
(
a
,
b
)
:=
(
2
,
0
)
,
(
2
,
1
)
{\displaystyle (a,b):=(2,0),(2,1)}
, мы можем расширить эти функции, генерирующие арифметическую прогрессию, непосредственно с точки зрения
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
:
∑
n
≥
0
f
2
n
z
2
n
=
1
2
(
F
(
z
)
+
F
(
−
z
)
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n}z^{2n}={\frac {1}{2}}\left(F(z)+F(-z)\right)}
∑
n
≥
0
f
2
n
+
1
z
2
n
+
1
=
1
2
(
F
(
z
)
−
F
(
−
z
)
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{2n+1}z^{2n+1}={\frac {1}{2}}\left(F(z)-F(-z)\right).}
В более общем плане предположим, что
a
≥
3
{\displaystyle a\geq 3}
и это
ω
a
:=
exp
(
2
π
ı
a
)
{\displaystyle \omega _{a}:=\exp \left({\frac {2\pi \imath }{a}}\right)}
обозначает
a
t
h
{\displaystyle a^{th}}
первоначальный корень единицы . Тогда мы имеем следующую формулу: [1] часто известный как корень единичного фильтра:
∑
n
≥
0
f
a
n
+
b
z
a
n
+
b
=
1
a
×
∑
m
=
0
a
−
1
ω
a
−
m
b
F
(
ω
a
m
z
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\times \sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).}
Для целых чисел
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
, еще одна полезная формула, обеспечивающая несколько обратную минимальную арифметическую прогрессию, генерируется тождеством [2]
∑
n
≥
0
f
⌊
n
m
⌋
z
n
=
1
−
z
m
1
−
z
F
(
z
m
)
=
(
1
+
z
+
⋯
+
z
m
−
2
+
z
m
−
1
)
F
(
z
m
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{\lfloor {\frac {n}{m}}\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).}
Полномочия ОГФ и состав с функциями [ править ]
Экспоненциальные полиномы Белла ,
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
n
!
⋅
[
t
n
u
k
]
Φ
(
t
,
u
)
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=n!\cdot [t^{n}u^{k}]\Phi (t,u)}
, определяются экспоненциальной производящей функцией [3]
Φ
(
t
,
u
)
=
exp
(
u
×
∑
m
≥
1
x
m
t
m
m
!
)
=
1
+
∑
n
≥
1
{
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
)
u
k
}
t
n
n
!
.
{\displaystyle \Phi (t,u)=\exp \left(u\times \sum _{m\geq 1}x_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}\right)=1+\sum _{n\geq 1}\left\{\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots )u^{k}\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}
Следующие формулы для степеней, логарифмов и композиции формальных степенных рядов расширяются этими полиномами с переменными в коэффициентах исходных производящих функций. [4] [5] Формула для экспоненты производящей функции задается неявно через полиномы Белла с помощью EGF для этих полиномов, определенных в предыдущей формуле для некоторой последовательности
{
x
i
}
{\displaystyle \{x_{i}\}}
.
Обратные значения OGF (частный случай формулы ) степеней
Степенной ряд для обратной производящей функции:
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
, расширяется на
1
F
(
z
)
=
1
f
0
−
f
1
f
0
2
z
+
(
f
1
2
−
f
0
f
2
)
f
0
3
z
2
−
f
1
3
−
2
f
0
f
1
f
2
+
f
0
2
f
3
f
0
4
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}+\cdots .}
Если мы позволим
b
n
:=
[
z
n
]
1
/
F
(
z
)
{\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}
обозначим коэффициенты в разложении обратной производящей функции, то имеем следующее рекуррентное соотношение:
b
n
=
−
1
f
0
(
f
1
b
n
−
1
+
f
2
b
n
−
2
+
⋯
+
f
n
b
0
)
,
n
≥
1.
{\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}
Полномочия OGF [ править ]
Позволять
m
∈
C
{\displaystyle m\in \mathbb {C} }
быть исправлено, предположим, что
f
0
=
1
{\displaystyle f_{0}=1}
, и обозначим
b
n
(
m
)
:=
[
z
n
]
F
(
z
)
m
{\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}
. Тогда у нас есть разложение в ряд для
F
(
z
)
m
{\displaystyle F(z)^{m}}
данный
F
(
z
)
m
=
1
+
m
f
1
z
+
m
(
(
m
−
1
)
f
1
2
+
2
f
2
)
z
2
2
+
(
m
(
m
−
1
)
(
m
−
2
)
f
1
3
+
6
m
(
m
−
1
)
f
2
+
6
m
f
3
)
z
3
6
+
⋯
,
{\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}
и коэффициенты
b
n
(
m
)
{\displaystyle b_{n}^{(m)}}
удовлетворять рекуррентному отношению вида
n
⋅
b
n
(
m
)
=
(
m
−
n
+
1
)
f
1
b
n
−
1
(
m
)
+
(
2
m
−
n
+
2
)
f
2
b
n
−
2
(
m
)
+
⋯
+
(
(
n
−
1
)
m
−
1
)
f
n
−
1
b
1
(
m
)
+
n
m
f
n
,
n
≥
1.
{\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}
Другая формула для коэффициентов:
b
n
(
m
)
{\displaystyle b_{n}^{(m)}}
, расширяется полиномами Белла как
F
(
z
)
m
=
f
0
m
+
∑
n
≥
1
(
∑
1
≤
k
≤
n
(
m
)
k
f
0
m
−
k
B
n
,
k
(
f
1
⋅
1
!
,
f
2
⋅
2
!
,
…
)
)
z
n
n
!
,
{\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}},}
где
(
r
)
n
{\displaystyle (r)_{n}}
обозначает символ Поххаммера .
Логарифмы OGF [ править ]
Если мы позволим
f
0
=
1
{\displaystyle f_{0}=1}
и определить
q
n
:=
[
z
n
]
log
F
(
z
)
{\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}
, то мы имеем разложение в степенной ряд для составной производящей функции, заданной выражением
log
F
(
z
)
=
f
1
+
(
2
f
2
−
f
1
2
)
z
2
+
(
3
f
3
−
3
f
1
f
2
+
f
1
3
)
z
2
3
+
⋯
,
{\displaystyle \log F(z)=f_{1}+\left(2f_{2}-f_{1}^{2}\right){\frac {z}{2}}+\left(3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}\right){\frac {z^{2}}{3}}+\cdots ,}
где коэффициенты,
q
n
{\displaystyle q_{n}}
, в предыдущем расширении удовлетворяют рекуррентному соотношению, заданному формулой
n
⋅
q
n
=
n
f
n
−
(
n
−
1
)
f
1
q
n
−
1
−
(
n
−
2
)
f
2
q
n
−
2
−
⋯
−
f
n
−
1
q
1
,
{\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}
и соответствующую формулу, расширенную полиномами Белла в виде коэффициентов степенного ряда следующей производящей функции:
log
F
(
z
)
=
∑
n
≥
1
(
∑
1
≤
k
≤
n
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
B
n
,
k
(
f
1
⋅
1
!
,
f
2
⋅
2
!
,
…
)
)
z
n
n
!
.
{\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}
Формула Фаа ди Бруно [ править ]
Позволять
F
^
(
z
)
{\displaystyle {\widehat {F}}(z)}
обозначают EGF последовательности,
{
f
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}
и предположим, что
G
^
(
z
)
{\displaystyle {\widehat {G}}(z)}
является EGF последовательности,
{
g
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}
. Формула Фаа ди Бруно подразумевает, что последовательность
{
h
n
}
n
≥
0
{\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}
, порожденный композицией
H
^
(
z
)
:=
F
^
(
G
^
(
z
)
)
{\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}
, можно выразить через экспоненциальные полиномы Белла следующим образом:
h
n
=
∑
1
≤
k
≤
n
f
k
⋅
B
n
,
k
(
g
1
,
g
2
,
⋯
,
g
n
−
k
+
1
)
+
f
0
⋅
δ
n
,
0
.
{\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}
Интегральные преобразования [ править ]
OGF ⟷ Формулы преобразования EGF [ править ]
Имеем следующие интегральные формулы для
a
,
b
∈
Z
+
{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}
который можно применять по срокам в отношении
z
{\displaystyle z}
когда
z
{\displaystyle z}
в качестве любой формальной переменной степенного ряда принимается: [6]
∑
n
≥
0
f
n
z
n
=
∫
0
∞
F
^
(
t
z
)
e
−
t
d
t
=
z
−
1
L
[
F
^
]
(
z
−
1
)
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}
∑
n
≥
0
Γ
(
a
n
+
b
)
⋅
f
n
z
n
=
∫
0
∞
t
b
−
1
e
−
t
F
(
t
a
z
)
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}
∑
n
≥
0
f
n
n
!
z
n
=
1
2
π
∫
−
π
π
F
(
z
e
−
ı
ϑ
)
e
e
ı
ϑ
d
ϑ
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}
Обратите внимание, что первая и последняя из этих интегральных формул используются для преобразования между EGF в OGF последовательности и из OGF в EGF последовательности всякий раз, когда эти интегралы сходятся.
Первая интегральная формула соответствует преобразованию Лапласа (или иногда формальному преобразованию Лапласа–Бореля ) производящих функций, обозначаемого
L
[
F
]
(
z
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}
, определенный в. [7] Другие интегральные представления гамма -функции во второй из предыдущих формул, конечно, также можно использовать для построения аналогичных интегральных преобразований. Одна конкретная формула получается в случае примера функции двойного факториала, приведенного непосредственно ниже в этом разделе. Последняя интегральная формула сравнивается с петлевым интегралом Ханкеля для обратной гамма-функции, почленно применяемой к степенному ряду для
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
.
Единственная функция факториала ,
(
2
n
)
!
{\displaystyle (2n)!}
, выражается как произведение двух двойных факториальных функций вида
(
2
n
)
!
=
(
2
n
)
!
!
×
(
2
n
−
1
)
!
!
=
4
n
⋅
n
!
π
×
Γ
(
n
+
1
2
)
,
{\displaystyle (2n)!=(2n)!!\times (2n-1)!!={\frac {4^{n}\cdot n!}{\sqrt {\pi }}}\times \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right),}
где интеграл для двойной факториальной функции или рациональной гамма-функции определяется выражением
1
2
⋅
(
2
n
−
1
)
!
!
=
2
n
4
π
Γ
(
n
+
1
2
)
=
1
2
π
×
∫
0
∞
e
−
t
2
/
2
t
2
n
d
t
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (2n-1)!!={\frac {2^{n}}{\sqrt {4\pi }}}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times \int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}t^{2n}\,dt,}
для натуральных чисел
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
. Это интегральное представление
(
2
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle (2n-1)!!}
тогда подразумевается, что для фиксированного ненулевого
q
∈
C
{\displaystyle q\in \mathbb {C} }
и любые интегральные силы
k
≥
0
{\displaystyle k\geq 0}
, у нас есть формула
log
(
q
)
k
k
!
=
1
(
2
k
)
!
×
[
∫
0
∞
2
e
−
t
2
/
2
2
π
(
2
log
(
q
)
⋅
t
)
2
k
d
t
]
.
{\displaystyle {\frac {\log(q)^{k}}{k!}}={\frac {1}{(2k)!}}\times \left[\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-t^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left({\sqrt {2\log(q)}}\cdot t\right)^{2k}\,dt\right].}
Таким образом, для любого заданного целого числа
j
≥
0
{\displaystyle j\geq 0}
, мы можем использовать предыдущее интегральное представление вместе с формулой для извлечения арифметических прогрессий из последовательности OGF, приведенной выше, чтобы сформулировать следующее интегральное представление для так называемого модифицированного числа Стирлинга EGF как
∑
n
≥
0
{
2
n
j
}
log
(
q
)
n
n
!
=
∫
0
∞
e
−
t
2
/
2
2
π
⋅
j
!
[
∑
b
=
±
1
(
e
b
2
log
(
q
)
⋅
t
−
1
)
j
]
d
t
,
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {\log(q)^{n}}{n!}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}/2}}{{\sqrt {2\pi }}\cdot j!}}\left[\sum _{b=\pm 1}\left(e^{b{\sqrt {2\log(q)}}\cdot t}-1\right)^{j}\right]dt,}
которая сходится при подходящих условиях на параметр
0
<
|
q
|
<
1
{\displaystyle 0<|q|<1}
. [8]
Пример: формула EGF для производных геометрического ряда . высшего порядка
Для фиксированного ненулевого значения
c
,
z
∈
C
{\displaystyle c,z\in \mathbb {C} }
определено так, что
|
c
z
|
<
1
{\displaystyle |cz|<1}
, пусть геометрический ряд по неотрицательным целым степеням
(
c
z
)
n
{\displaystyle (cz)^{n}}
обозначаться
G
(
z
)
:=
1
/
(
1
−
c
z
)
{\displaystyle G(z):=1/(1-cz)}
. Соответствующий более высокий порядок
j
t
h
{\displaystyle j^{th}}
производные геометрической прогрессии по
z
{\displaystyle z}
обозначаются последовательностью функций
G
j
(
z
)
:=
(
c
z
)
j
1
−
c
z
×
(
d
d
z
)
(
j
)
[
G
(
z
)
]
,
{\displaystyle G_{j}(z):={\frac {(cz)^{j}}{1-cz}}\times \left({\frac {d}{dz}}\right)^{(j)}\left[G(z)\right],}
для неотрицательных целых чисел
j
≥
0
{\displaystyle j\geq 0}
. Эти
j
t
h
{\displaystyle j^{th}}
можно показать, например, по индукции, что производные обычной геометрической прогрессии удовлетворяют явной формуле в замкнутой форме, заданной формулой
G
j
(
z
)
=
(
c
z
)
j
⋅
j
!
(
1
−
c
z
)
j
+
2
,
{\displaystyle G_{j}(z)={\frac {(cz)^{j}\cdot j!}{(1-cz)^{j+2}}},}
для любого
j
≥
0
{\displaystyle j\geq 0}
в любое время
|
c
z
|
<
1
{\displaystyle |cz|<1}
. Как пример третьего OGF
⟼
{\displaystyle \longmapsto }
По формуле преобразования ЭФР, приведенной выше, мы можем вычислить следующие соответствующие экспоненциальные формы производящих функций
G
j
(
z
)
{\displaystyle G_{j}(z)}
:
G
^
j
(
z
)
=
1
2
π
∫
−
π
+
π
G
j
(
z
e
−
ı
t
)
e
e
ı
t
d
t
=
(
c
z
)
j
e
c
z
(
j
+
1
)
(
j
+
1
+
z
)
.
{\displaystyle {\widehat {G}}_{j}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }G_{j}\left(ze^{-\imath t}\right)e^{e^{\imath t}}dt={\frac {(cz)^{j}e^{cz}}{(j+1)}}\left(j+1+z\right).}
Дробные интегралы и производные [ править ]
Дробные интегралы и дробные производные (см. основную статью ) образуют еще один обобщенный класс операций интегрирования и дифференцирования, которые можно применять к OGF последовательности для формирования соответствующего OGF преобразованной последовательности. Для
ℜ
(
α
)
>
0
{\displaystyle \Re (\alpha )>0}
определим оператор дробного интеграла (порядка
α
{\displaystyle \alpha }
) интегральным преобразованием [9]
I
α
F
(
z
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
0
z
(
z
−
t
)
α
−
1
F
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}
что соответствует (формальному) степенному ряду, заданному формулой
I
α
F
(
z
)
=
∑
n
≥
0
n
!
Γ
(
n
+
α
+
1
)
f
n
z
n
+
α
.
{\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}
Для фиксированного
α
,
β
∈
C
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }
определено так, что
ℜ
(
α
)
,
ℜ
(
β
)
>
0
{\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}
, мы имеем, что операторы
I
α
I
β
=
I
α
+
β
{\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}
.
Более того, для фиксированного
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
и целые числа
n
{\displaystyle n}
удовлетворяющий
0
<
ℜ
(
α
)
<
n
{\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}
мы можем определить понятие дробной производной , удовлетворяющей свойствам, которые
D
α
F
(
z
)
=
d
(
n
)
d
z
(
n
)
I
n
−
α
F
(
z
)
,
{\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}
и
D
k
I
α
=
D
n
I
α
+
n
−
k
{\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}
для
k
=
1
,
2
,
…
,
n
,
{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}
где мы имеем свойство полугруппы, что
D
α
D
β
=
D
α
+
β
{\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}
только тогда, когда ни один из
α
,
β
,
α
+
β
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }
является целочисленным.
Для фиксированного
s
∈
Z
+
{\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}
, мы имеем это (сравните с частным случаем интегральной формулы для функции обобщенного полилогарифма Нильсена, определенной в [10] ) [11]
∑
n
≥
0
f
n
(
n
+
1
)
s
z
n
=
(
−
1
)
s
−
1
(
s
−
1
)
!
∫
0
1
log
s
−
1
(
t
)
F
(
t
z
)
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}
Обратите внимание: если мы установим
g
n
≡
f
n
+
1
{\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}
, интеграл по производящей функции,
G
(
z
)
{\displaystyle G(z)}
, в последнем уравнении, когда
z
≡
1
{\displaystyle z\equiv 1}
соответствует производящей функции Дирихле , или ДГФ,
F
~
(
s
)
{\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}
, последовательности
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
при условии, что интеграл сходится. Этот класс интегральных преобразований , связанных с полилогарифмами, связан с преобразованиями дзета-ряда на основе производной, определенными в следующих разделах.
Преобразования производящих функций квадратного ряда [ править ]
Для фиксированного ненулевого значения
q
,
c
,
z
∈
C
{\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }
такой, что
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
и
|
c
z
|
<
1
{\displaystyle |cz|<1}
, мы имеем следующие интегральные представления для так называемой производящей функции квадратного ряда, связанной с последовательностью
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
, который можно почленно проинтегрировать по
z
{\displaystyle z}
: [12]
∑
n
≥
0
q
n
2
f
n
⋅
(
c
z
)
n
=
1
2
π
∫
0
∞
e
−
t
2
/
2
[
F
(
e
t
2
log
(
q
)
⋅
c
z
)
+
F
(
e
−
t
2
log
(
q
)
⋅
c
z
)
]
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}
Этот результат, доказанный в ссылке, следует из варианта интеграла преобразования двойной факториальной функции для чисел Стирлинга второго рода, приведенного в качестве примера выше. В частности, поскольку
q
n
2
=
exp
(
n
2
⋅
log
(
q
)
)
=
1
+
n
2
log
(
q
)
+
n
4
log
(
q
)
2
2
!
+
n
6
log
(
q
)
3
3
!
+
⋯
,
{\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}
мы можем использовать вариант преобразований OGF на основе производной положительного порядка, определенных в следующих разделах, с использованием чисел Стирлинга второго рода, чтобы получить интегральную формулу для производящей функции последовательности,
{
S
(
2
n
,
j
)
/
n
!
}
{\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}
, а затем выполнить суммирование по
j
t
h
{\displaystyle j^{th}}
производные формального OGF,
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
чтобы получить результат в предыдущем уравнении, где рассматриваемая производящая функция арифметической прогрессии обозначается как
∑
n
≥
0
{
2
n
j
}
z
2
n
(
2
n
)
!
=
1
2
j
!
(
(
e
z
−
1
)
j
+
(
e
−
z
−
1
)
j
)
,
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}
за каждое фиксированное
j
∈
N
{\displaystyle j\in \mathbb {N} }
.
Произведения Адамара и функции диагональные производящие
У нас есть интегральное представление для произведения Адамара двух производящих функций:
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
и
G
(
z
)
{\displaystyle G(z)}
, сформулированный в следующем виде:
(
F
⊙
G
)
(
z
)
:=
∑
n
≥
0
f
n
g
n
z
n
=
1
2
π
∫
0
2
π
F
(
z
e
i
t
)
G
(
z
e
−
i
t
)
d
t
,
{\displaystyle (F\odot G)(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}g_{n}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }F\left({\sqrt {z}}e^{it}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-it}\right)dt,}
где я — мнимая единица .
Дополнительную информацию о произведениях Адамара как диагональных производящих функциях многомерных последовательностей и/или производящих функциях, а также о классах производящих функций, к которым принадлежат эти диагональные OGF, можно найти в книге Стэнли. [13] В справочнике также представлены формулы извлечения вложенных коэффициентов вида
diag
(
F
1
⋯
F
k
)
:=
∑
n
≥
0
f
1
,
n
⋯
f
k
,
n
z
n
=
[
x
k
−
1
0
⋯
x
2
0
x
1
0
]
F
k
(
z
x
k
−
1
)
F
k
−
1
(
x
k
−
1
x
k
−
2
)
⋯
F
2
(
x
2
x
1
)
F
1
(
x
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {diag} \left(F_{1}\cdots F_{k}\right):=\sum _{n\geq 0}f_{1,n}\cdots f_{k,n}z^{n}=[x_{k-1}^{0}\cdots x_{2}^{0}x_{1}^{0}]F_{k}\left({\frac {z}{x_{k-1}}}\right)F_{k-1}\left({\frac {x_{k-1}}{x_{k-2}}}\right)\cdots F_{2}\left({\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)F_{1}(x_{1}),}
которые особенно полезны в тех случаях, когда функции, генерирующие последовательность компонентов,
F
i
(
z
)
{\displaystyle F_{i}(z)}
, можно разложить в ряд Лорана или дробный ряд, в
z
{\displaystyle z}
, например, в частном случае, когда все составляющие производящие функции рациональны, что приводит к алгебраической форме соответствующей диагональной производящей функции.
Пример: произведения Адамара рациональных производящих функций [ править ]
В общем, произведение Адамара двух рациональных производящих функций само по себе рационально. [14] В этом можно убедиться, заметив, что коэффициенты рациональной производящей функции образуют квазиполиномиальные члены вида
f
n
=
p
1
(
n
)
ρ
1
n
+
⋯
+
p
ℓ
(
n
)
ρ
ℓ
n
,
{\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}
где обратные корни,
ρ
i
∈
C
{\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }
, — фиксированные скаляры и где
p
i
(
n
)
{\displaystyle p_{i}(n)}
является полиномом по
n
{\displaystyle n}
для всех
1
≤
i
≤
ℓ
{\displaystyle 1\leq i\leq \ell }
.
Например, произведение Адамара двух производящих функций
F
(
z
)
:=
1
1
+
a
1
z
+
a
2
z
2
{\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}
и
G
(
z
)
:=
1
1
+
b
1
z
+
b
2
z
2
{\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}
задается формулой рациональной производящей функции [15]
(
F
⊙
G
)
(
z
)
=
1
−
a
2
b
2
z
2
1
−
a
1
b
1
z
+
(
a
2
b
1
2
+
a
1
2
b
2
−
a
2
b
2
)
z
2
−
a
1
a
2
b
1
b
2
z
3
+
a
2
2
b
2
2
z
4
.
{\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}
Пример: Факториальные (приблизительные преобразования Лапласа) [ править ]
Обычные производящие функции для обобщенных факториальных функций, образованных как частные случаи обобщенных возрастающих факториальных функций произведения , или k-символа Поххаммера , определяемого формулой
p
n
(
α
,
R
)
:=
R
(
R
+
α
)
⋯
(
R
+
(
n
−
1
)
α
)
=
α
n
⋅
(
R
α
)
n
,
{\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}
где
R
{\displaystyle R}
фиксированный,
α
≠
0
{\displaystyle \alpha \neq 0}
, и
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
обозначает символ Поххаммера , порождаются (по крайней мере формально) J-дробями типа Якоби (или специальными формами цепных дробей ), установленными в ссылке. [16] Если мы позволим
Conv
h
(
α
,
R
;
z
)
:=
FP
h
(
α
,
R
;
z
)
/
FQ
h
(
α
,
R
;
z
)
{\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}
обозначают
h
th
{\displaystyle h^{\text{th}}}
сходящиеся к этим бесконечным цепным дробям, где сходящиеся функции компонентов определены для всех целых чисел
h
≥
2
{\displaystyle h\geq 2}
к
FP
h
(
α
,
R
;
z
)
=
∑
n
=
0
h
−
1
[
∑
k
=
0
n
(
h
k
)
(
1
−
h
−
R
α
)
k
(
R
α
)
n
−
k
]
(
α
z
)
n
,
{\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}
и
FQ
h
(
α
,
R
;
z
)
=
(
−
α
z
)
h
⋅
h
!
×
L
h
(
R
/
α
−
1
)
(
(
α
z
)
−
1
)
=
∑
k
=
0
h
(
h
k
)
[
∏
j
=
0
k
−
1
(
R
+
(
j
−
1
−
j
)
α
)
]
(
−
z
)
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}
где
L
n
(
β
)
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}
обозначает ассоциированный полином Лагерра , то мы имеем, что
h
t
h
{\displaystyle h^{th}}
сходящаяся функция,
Conv
h
(
α
,
R
;
z
)
{\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}
, точно перечисляет последовательности продуктов,
p
n
(
α
,
R
)
{\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}
, для всех
0
≤
n
<
2
h
{\displaystyle 0\leq n<2h}
. Для каждого
h
≥
2
{\displaystyle h\geq 2}
,
h
t
h
{\displaystyle h^{th}}
сходящаяся функция разлагается как конечная сумма, включающая только парные обратные значения полиномов Лагерра в виде
Conv
h
(
α
,
R
;
z
)
=
∑
i
=
0
h
−
1
(
R
α
+
i
−
1
i
)
×
(
−
α
z
)
−
1
(
i
+
1
)
⋅
L
i
(
R
/
α
−
1
)
(
(
α
z
)
−
1
)
L
i
+
1
(
R
/
α
−
1
)
(
(
α
z
)
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}
Более того, поскольку единственная функция факториала задается обеими
n
!
=
p
n
(
1
,
1
)
{\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}
и
n
!
=
p
n
(
−
1
,
n
)
{\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}
, мы можем генерировать члены одиночной факториальной функции, используя приближенные рациональные сходящиеся производящие функции до порядка
2
h
{\displaystyle 2h}
. Это наблюдение предлагает подход к аппроксимации точного (формального) преобразования Лапласа – Бореля, обычно даваемого в терминах интегрального представления из предыдущего раздела, производящей функцией произведения Адамара или диагонального коэффициента. В частности, при любом OGF
G
(
z
)
{\displaystyle G(z)}
мы можем сформировать приближенное преобразование Лапласа, которое
2
h
{\displaystyle 2h}
-с точностью до порядка, по приведенной выше формуле извлечения диагональных коэффициентов, заданной формулой
L
~
h
[
G
]
(
z
)
:=
[
x
0
]
Conv
h
(
1
,
1
;
z
x
)
G
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
Conv
h
(
1
,
1
;
z
e
I
t
)
G
(
z
e
−
I
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}
Примеры последовательностей, перечисляемых с помощью этих производящих диагональных коэффициентов функций, возникающих в результате множителя функции факториала последовательности, обеспечиваемого рациональными сходящимися функциями, включают:
n
!
2
=
[
z
n
]
[
x
0
]
Conv
h
(
−
1
,
n
;
z
x
)
Conv
h
(
−
1
,
n
;
x
)
,
h
≥
n
(
2
n
n
)
=
[
x
1
0
x
2
0
z
n
]
Conv
h
(
−
2
,
2
n
;
z
x
2
)
Conv
h
(
−
2
,
2
n
−
1
;
x
2
x
1
)
I
0
(
2
x
1
)
(
3
n
n
)
(
2
n
n
)
=
[
x
1
0
x
2
0
z
n
]
Conv
h
(
−
3
,
3
n
−
1
;
3
z
x
2
)
Conv
h
(
−
3
,
3
n
−
2
;
x
2
x
1
)
I
0
(
2
x
1
)
!
n
=
n
!
×
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
i
!
=
[
z
n
x
0
]
(
e
−
x
(
1
−
x
)
Conv
n
(
−
1
,
n
;
z
x
)
)
af
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
n
−
k
k
!
=
[
z
n
]
(
Conv
n
(
1
,
1
;
z
)
−
1
1
+
z
)
(
t
−
1
)
n
P
n
(
t
+
1
t
−
1
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
t
k
=
[
x
1
0
x
2
0
]
[
z
n
]
(
Conv
n
(
1
,
1
;
z
x
1
)
Conv
n
(
1
,
1
;
x
1
x
2
)
I
0
(
2
t
⋅
x
2
)
I
0
(
2
x
2
)
)
,
n
≥
1
(
2
n
−
1
)
!
!
=
∑
k
=
1
n
(
n
−
1
)
!
(
k
−
1
)
!
k
⋅
(
2
k
−
3
)
!
!
=
[
x
1
0
x
2
0
x
3
n
−
1
]
(
Conv
n
(
1
,
1
;
x
3
x
2
)
Conv
n
(
2
,
1
;
x
2
x
1
)
(
x
1
+
1
)
e
x
1
(
1
−
x
2
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}
где
I
0
(
z
)
{\displaystyle I_{0}(z)}
обозначает модифицированную функцию Бесселя ,
!
n
{\displaystyle !n}
обозначает субфакториальную функцию ,
af
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {af} (n)}
обозначает знакопеременную факториальную функцию, а
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
является полиномом Лежандра . Другие примеры последовательностей, перечисляемых посредством применения этих производящих функций рационального произведения Адамара, приведенных в статье, включают G-функцию Барнса , комбинаторные суммы, включающие функцию двойного факториала , суммы последовательностей степеней и последовательности биномов.
Производные преобразования
отрицательного порядка Преобразования дзета-рядов положительного и
Для фиксированного
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
, мы имеем это, если последовательность OGF
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
имеет
j
t
h
{\displaystyle j^{th}}
производные всех необходимых порядков для
1
≤
j
≤
k
{\displaystyle 1\leq j\leq k}
, что преобразование дзета-ряда положительного порядка определяется выражением [17]
∑
n
≥
0
n
k
f
n
z
n
=
∑
j
=
0
k
{
k
j
}
z
j
F
(
j
)
(
z
)
,
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}
где
{
n
k
}
{\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}
обозначает число Стирлинга второго рода .
В частности, мы имеем следующее тождество частного случая, когда
f
n
≡
1
∀
n
{\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}
когда
⟨
n
m
⟩
{\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}
обозначает треугольник эйлеровых чисел первого порядка : [18]
∑
n
≥
0
n
k
z
n
=
∑
j
=
0
k
{
k
j
}
z
j
⋅
j
!
(
1
−
z
)
j
+
1
=
1
(
1
−
z
)
k
+
1
×
∑
0
≤
m
<
k
⟨
k
m
⟩
z
m
+
1
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}
Мы также можем разложить преобразования дзета-ряда отрицательного порядка с помощью процедуры, аналогичной приведенным выше разложениям, заданным в терминах
j
t
h
{\displaystyle j^{th}}
-порядковые производные некоторых
F
(
z
)
∈
C
∞
{\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}
и бесконечный нетреугольный набор обобщенных чисел Стирлинга в обратном порядке или обобщенных чисел Стирлинга второго рода, определенных в этом контексте.
В частности, для целых чисел
k
,
j
≥
0
{\displaystyle k,j\geq 0}
, определим эти обобщенные классы чисел Стирлинга второго рода по формуле
{
k
+
2
j
}
∗
:=
1
j
!
×
∑
m
=
1
j
(
j
m
)
(
−
1
)
j
−
m
m
k
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}
Тогда для
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
и некоторые прописали OGF,
F
(
z
)
∈
C
∞
{\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}
, т. е. так, чтобы высший порядок
j
t
h
{\displaystyle j^{th}}
производные от
F
(
z
)
{\displaystyle F(z)}
существовать для всех
j
≥
0
{\displaystyle j\geq 0}
, у нас это есть
∑
n
≥
1
f
n
n
k
z
n
=
∑
j
≥
1
{
k
+
2
j
}
∗
z
j
F
(
j
)
(
z
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}
Таблица первых коэффициентов преобразования дзета-ряда,
{
k
j
}
∗
{\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}
, отображается ниже. Эти разложения по числам взвешенных гармоник практически идентичны известным формулам для чисел Стирлинга первого рода с точностью до старшего знака членов взвешенных чисел гармоник в разложениях.
к
{
k
j
}
∗
×
(
−
1
)
j
−
1
j
!
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }\times (-1)^{j-1}j!}
2
1
{\displaystyle 1}
3
H
j
{\displaystyle H_{j}}
4
1
2
(
H
j
2
+
H
j
(
2
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}
5
1
6
(
H
j
3
+
3
H
j
H
j
(
2
)
+
2
H
j
(
3
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}
6
1
24
(
H
j
4
+
6
H
j
2
H
j
(
2
)
+
3
(
H
j
(
2
)
)
2
+
8
H
j
H
j
(
3
)
+
6
H
j
(
4
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{24}}\left(H_{j}^{4}+6H_{j}^{2}H_{j}^{(2)}+3\left(H_{j}^{(2)}\right)^{2}+8H_{j}H_{j}^{(3)}+6H_{j}^{(4)}\right)}
порядка Примеры преобразований дзета-ряда отрицательного
Следующий ряд, связанный с полилогарифмическими функциями ( дилогарифмическими и трилогарифмическими функциями соответственно), знакопеременной дзета-функцией и дзета-функцией Римана, сформулирован на основе результатов предыдущих рядов отрицательного порядка, найденных в ссылках. В частности, когда
s
:=
2
{\displaystyle s:=2}
(или, что то же самое, когда
k
:=
4
{\displaystyle k:=4}
в таблице выше) мы имеем следующий ряд особых случаев для дилогарифма и соответствующее постоянное значение знакопеременной дзета-функции:
Li
2
(
z
)
=
∑
j
≥
1
(
−
1
)
j
−
1
2
(
H
j
2
+
H
j
(
2
)
)
z
j
(
1
−
z
)
j
+
1
ζ
∗
(
2
)
=
π
2
12
=
∑
j
≥
1
(
H
j
2
+
H
j
(
2
)
)
4
⋅
2
j
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(2)&={\frac {\pi ^{2}}{12}}=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right)}{4\cdot 2^{j}}}.\end{aligned}}}
Когда
s
:=
3
{\displaystyle s:=3}
(или когда
k
:=
5
{\displaystyle k:=5}
в обозначениях, использованных в предыдущем подразделе), аналогично получаем ряды частных случаев для этих функций, заданные формулами
Li
3
(
z
)
=
∑
j
≥
1
(
−
1
)
j
−
1
6
(
H
j
3
+
3
H
j
H
j
(
2
)
+
2
H
j
(
3
)
)
z
j
(
1
−
z
)
j
+
1
ζ
∗
(
3
)
=
3
4
ζ
(
3
)
=
∑
j
≥
1
(
H
j
3
+
3
H
j
H
j
(
2
)
+
2
H
j
(
3
)
)
12
⋅
2
j
=
1
6
log
(
2
)
3
+
∑
j
≥
0
H
j
H
j
(
2
)
2
j
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\zeta ^{\ast }(3)&={\frac {3}{4}}\zeta (3)=\sum _{j\geq 1}{\frac {\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right)}{12\cdot 2^{j}}}\\&={\frac {1}{6}}\log(2)^{3}+\sum _{j\geq 0}{\frac {H_{j}H_{j}^{(2)}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}
Известно, что гармонические числа первого порядка имеют экспоненциальную производящую функцию замкнутой формы, расширенную с помощью натурального логарифма , неполной гамма-функции и экспоненциального интеграла , определяемого выражением
∑
n
≥
0
H
n
n
!
z
n
=
e
z
(
E
1
(
z
)
+
γ
+
log
z
)
=
e
z
(
Γ
(
0
,
z
)
+
γ
+
log
z
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}}{n!}}z^{n}=e^{z}\left({\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z\right)=e^{z}\left(\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\right).}
Дополнительные представления серий для числа гармоник r для целых чисел экспоненциальных производящих функций
r
≥
2
{\displaystyle r\geq 2}
формируются как частные случаи результатов преобразования рядов отрицательного порядка на основе производной. Например, номера гармоник второго порядка имеют соответствующую экспоненциальную производящую функцию, расширенную в ряд
∑
n
≥
0
H
n
(
2
)
n
!
z
n
=
∑
j
≥
1
H
j
2
+
H
j
(
2
)
2
⋅
(
j
+
1
)
!
z
j
e
z
(
j
+
1
+
z
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {H_{n}^{(2)}}{n!}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}{\frac {H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}}{2\cdot (j+1)!}}z^{j}e^{z}\left(j+1+z\right).}
Дальнейшее обобщение преобразований рядов отрицательного порядка, определенных выше, связано с более похожими на дзета-Гурвица или трансцендентными по Лерху производящими функциями, . В частности, если мы определим еще более общие параметризованные числа Стирлинга второго рода как
{
k
+
2
j
}
(
α
,
β
)
∗
:=
1
j
!
×
∑
0
≤
m
≤
j
(
j
m
)
(
−
1
)
j
−
m
(
α
m
+
β
)
k
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}
,
для ненулевого
α
,
β
∈
C
{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }
такой, что
−
β
α
∉
Z
+
{\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}
и некоторые фиксированные
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
, у нас это есть
∑
n
≥
1
f
n
(
α
n
+
β
)
k
z
n
=
∑
j
≥
1
{
k
+
2
j
}
(
α
,
β
)
∗
z
j
F
(
j
)
(
z
)
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}
Более того, для любых целых чисел
u
,
u
0
≥
0
{\displaystyle u,u_{0}\geq 0}
, у нас есть приближения частичных рядов к полному бесконечному ряду в предыдущем уравнении, заданном выражением
∑
n
=
1
u
f
n
(
α
n
+
β
)
k
z
n
=
[
w
u
]
(
∑
j
=
1
u
+
u
0
{
k
+
2
j
}
(
α
,
β
)
∗
(
w
z
)
j
F
(
j
)
(
w
z
)
1
−
w
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}
обобщенного дзета-ряда отрицательного порядка преобразований Примеры
Ряды для специальных констант и дзета-функций , возникающие в результате этих преобразований обобщенных рядов на основе производной, обычно включают в себя обобщенные гармонические числа r-порядка , определяемые формулой
H
n
(
r
)
(
α
,
β
)
:=
∑
1
≤
k
≤
n
(
α
k
+
β
)
−
r
{\displaystyle H_{n}^{(r)}(\alpha ,\beta ):=\sum _{1\leq k\leq n}(\alpha k+\beta )^{-r}}
для целых чисел
r
≥
1
{\displaystyle r\geq 1}
. Пара конкретных разложений в ряд для следующих констант, когда
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
фиксировано, следует из особых случаев тождеств типа BBP , как
4
3
π
9
=
∑
j
≥
0
8
9
j
+
1
(
2
(
j
+
1
3
1
3
)
−
1
+
1
2
(
j
+
2
3
2
3
)
−
1
)
log
(
n
2
−
n
+
1
n
2
)
=
∑
j
≥
0
1
(
n
2
+
1
)
j
+
1
(
2
3
⋅
(
j
+
1
)
−
n
2
(
j
+
1
3
1
3
)
−
1
+
n
2
(
j
+
2
3
2
3
)
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4{\sqrt {3}}\pi }{9}}&=\sum _{j\geq 0}{\frac {8}{9^{j+1}}}\left(2{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {1}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right)\\\log \left({\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}}}\right)&=\sum _{j\geq 0}{\frac {1}{(n^{2}+1)^{j+1}}}\left({\frac {2}{3\cdot (j+1)}}-n^{2}{\binom {j+{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}^{-1}+{\frac {n}{2}}{\binom {j+{\frac {2}{3}}}{\frac {2}{3}}}^{-1}\right).\end{aligned}}}
Несколько других серий для связанных с дзета-функцией случаев хи-функции Лежандра , полигамма-функции и дзета-функции Римана включают
χ
1
(
z
)
=
∑
j
≥
0
(
j
+
1
2
1
2
)
−
1
z
⋅
(
−
z
2
)
j
(
1
−
z
2
)
j
+
1
χ
2
(
z
)
=
∑
j
≥
0
(
j
+
1
2
1
2
)
−
1
(
1
+
H
j
(
1
)
(
2
,
1
)
)
z
⋅
(
−
z
2
)
j
(
1
−
z
2
)
j
+
1
∑
k
≥
0
(
−
1
)
k
(
z
+
k
)
2
=
∑
j
≥
0
(
j
+
z
z
)
−
1
(
1
z
2
+
1
z
H
j
(
1
)
(
2
,
z
)
)
1
2
j
+
1
13
18
ζ
(
3
)
=
∑
i
=
1
,
2
∑
j
≥
0
(
j
+
i
3
i
3
)
−
1
(
1
i
3
+
1
i
2
H
j
(
1
)
(
3
,
i
)
+
1
2
i
(
H
j
(
1
)
(
3
,
i
)
2
+
H
j
(
2
)
(
3
,
i
)
)
)
(
−
1
)
i
+
1
2
j
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}{\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\chi _{2}(z)&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}^{-1}\left(1+H_{j}^{(1)}(2,1)\right){\frac {z\cdot (-z^{2})^{j}}{(1-z^{2})^{j+1}}}\\\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{2}}}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {j+z}{z}}^{-1}\left({\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z}}H_{j}^{(1)}(2,z)\right){\frac {1}{2^{j+1}}}\\{\frac {13}{18}}\zeta (3)&=\sum _{i=1,2}\sum _{j\geq 0}{\binom {j+{\frac {i}{3}}}{\frac {i}{3}}}^{-1}\left({\frac {1}{i^{3}}}+{\frac {1}{i^{2}}}H_{j}^{(1)}(3,i)+{\frac {1}{2i}}\left(H_{j}^{(1)}(3,i)^{2}+H_{j}^{(2)}(3,i)\right)\right){\frac {(-1)^{i+1}}{2^{j+1}}}.\end{aligned}}}
Кроме того, мы можем дать еще одно новое явное представление в виде ряда функции обратного тангенса через ее связь с числами Фибоначчи. [19] расширено, как в ссылках
tan
−
1
(
x
)
=
5
2
ı
×
∑
b
=
±
1
∑
j
≥
0
b
5
(
j
+
1
2
j
)
−
1
[
(
b
ı
φ
t
/
5
)
j
(
1
−
b
ı
φ
t
5
)
j
+
1
−
(
b
ı
Φ
t
/
5
)
j
(
1
+
b
ı
Φ
t
5
)
j
+
1
]
,
{\displaystyle \tan ^{-1}(x)={\frac {\sqrt {5}}{2\imath }}\times \sum _{b=\pm 1}\sum _{j\geq 0}{\frac {b}{\sqrt {5}}}{\binom {j+{\frac {1}{2}}}{j}}^{-1}\left[{\frac {\left(b\imath \varphi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1-{\frac {b\imath \varphi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}-{\frac {\left(b\imath \Phi t/{\sqrt {5}}\right)^{j}}{\left(1+{\frac {b\imath \Phi t}{\sqrt {5}}}\right)^{j+1}}}\right],}
для
t
≡
2
x
/
(
1
+
1
+
4
5
x
2
)
{\displaystyle t\equiv 2x/\left(1+{\sqrt {1+{\frac {4}{5}}x^{2}}}\right)}
и где золотое сечение (и обратное ему значение) соответственно определяются формулой
φ
,
Φ
:=
1
2
(
1
±
5
)
{\displaystyle \varphi ,\Phi :={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)}
.
Соотношения инверсии и порождающие тождества функций [ править ]
Инверсионные отношения [ править ]
Отношение инверсии представляет собой пару уравнений вида
g
n
=
∑
k
=
0
n
A
n
,
k
⋅
f
k
⟷
f
n
=
∑
k
=
0
n
B
n
,
k
⋅
g
k
,
{\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}A_{n,k}\cdot f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{n,k}\cdot g_{k},}
что эквивалентно отношению ортогональности
∑
k
=
j
n
A
n
,
k
⋅
B
k
,
j
=
δ
n
,
j
.
{\displaystyle \sum _{k=j}^{n}A_{n,k}\cdot B_{k,j}=\delta _{n,j}.}
Учитывая две последовательности,
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
и
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
, связанные обратным соотношением предыдущей формы, мы иногда пытаемся связать OGF и EGF пары последовательностей функциональными уравнениями, подразумеваемыми соотношением инверсии. Эта цель в некоторых отношениях отражает более теоретико-числовое ( ряд Ламберта ) соотношение производящих функций, гарантированное формулой обращения Мёбиуса , которая обеспечивает, что всякий раз, когда
a
n
=
∑
d
|
n
b
d
⟷
b
n
=
∑
d
|
n
μ
(
n
d
)
a
d
,
{\displaystyle a_{n}=\sum _{d|n}b_{d}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d},}
производящие функции для последовательностей,
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
и
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
, связаны преобразованием Мёбиуса, определяемым формулой
∑
n
≥
1
a
n
z
n
=
∑
n
≥
1
b
n
z
n
1
−
z
n
.
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}=\sum _{n\geq 1}{\frac {b_{n}z^{n}}{1-z^{n}}}.}
Аналогично, преобразование Эйлера производящих функций для двух последовательностей:
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
и
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
, удовлетворяющее соотношению [20]
1
+
∑
n
≥
1
b
n
z
n
=
∏
i
≥
1
1
(
1
−
z
i
)
a
i
,
{\displaystyle 1+\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}=\prod _{i\geq 1}{\frac {1}{(1-z^{i})^{a_{i}}}},}
дается в виде
1
+
B
(
z
)
=
exp
(
∑
k
≥
1
A
(
z
k
)
k
)
,
{\displaystyle 1+B(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 1}{\frac {A(z^{k})}{k}}\right),}
где соответствующие формулы обращения между двумя последовательностями приведены в ссылке.
Оставшаяся часть результатов и примеров, приведенных в этом разделе, описывает некоторые из наиболее известных преобразований производящей функции, обеспечиваемых последовательностями, связанными формулами обращения ( биномиальное преобразование и преобразование Стирлинга ), и предоставляет несколько таблиц известных отношений обращения различных типов. цитируется в книге Риордана « Комбинаторные тождества» . Во многих случаях мы опускаем соответствующие функциональные уравнения, подразумеваемые соотношениями инверсии между двумя последовательностями ( эта часть статьи требует дополнительной доработки ).
Этот раздел
нуждается в расширении : Необходимо добавить функциональные уравнения между производящими функциями, связанными парами инверсий в следующих подразделах. Например, по упражнению 5.71 «
Конкретной математики» , если
s
n
=
∑
k
≥
0
(
n
+
k
m
+
2
k
)
a
k
{\displaystyle s_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}}
, затем
S
(
z
)
=
z
m
(
1
−
z
)
m
+
1
A
(
z
(
1
−
z
)
2
)
{\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}
. Вы можете помочь,
дополнив это .
( март 2017 г. )
Биномиальное преобразование [ править ]
Первое соотношение инверсии, представленное ниже, неявно связанное с биномиальным преобразованием, возможно, является самым простым из всех отношений инверсии, которые мы рассмотрим в этом разделе. Для любых двух последовательностей
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
и
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
, связанные формулами обращения
g
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
f
k
⟷
f
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
k
g
k
,
{\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}g_{k},}
у нас есть функциональные уравнения между OGF и EGF этих последовательностей, полученные биномиальным преобразованием в формах
G
(
z
)
=
1
1
−
z
F
(
−
z
1
−
z
)
{\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}F\left({\frac {-z}{1-z}}\right)}
и
G
^
(
z
)
=
e
z
F
^
(
−
z
)
.
{\displaystyle {\widehat {G}}(z)=e^{z}{\widehat {F}}(-z).}
Преобразование Стирлинга [ править ]
Для любой пары последовательностей
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
и
{
g
n
}
{\displaystyle \{g_{n}\}}
, связанная числа Стирлинга формулой обращения
g
n
=
∑
k
=
1
n
{
n
k
}
f
k
⟷
f
n
=
∑
k
=
1
n
[
n
k
]
(
−
1
)
n
−
k
g
k
,
{\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k}\quad \longleftrightarrow \quad f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k},}
эти отношения инверсии между двумя последовательностями переводятся в функциональные уравнения между EGF последовательностей, заданные преобразованием Стирлинга как
G
^
(
z
)
=
F
^
(
e
z
−
1
)
{\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}
и
F
^
(
z
)
=
G
^
(
log
(
1
+
z
)
)
.
{\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}
Таблицы инверсионных пар из книги Риордана [ править ]
Эти таблицы появляются в главах 2 и 3 книги Риордана, давая введение в обратные отношения со многими примерами, хотя и не подчеркивая функциональные уравнения между производящими функциями последовательностей, связанных этими отношениями инверсии. Заинтересованному читателю рекомендуется приобрести копию оригинальной книги для получения более подробной информации.
Несколько форм простейших обратных отношений [ править ]
Связь
Формула
Обратная формула
Производящие функции (OGF)
Производящие функции (EGF)
Примечания/ссылки
1
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}a_{k}}
B
(
z
)
=
1
1
−
z
A
(
−
z
1
−
z
)
{\displaystyle B(z)={\frac {1}{1-z}}A\left(-{\frac {z}{1-z}}\right)}
B
^
(
z
)
=
e
z
A
^
(
−
z
)
{\displaystyle {\widehat {B}}(z)=e^{z}{\widehat {A}}(-z)}
См. Биномиальное преобразование
2
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
p
−
k
p
−
n
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
p
−
k
p
−
n
)
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p-k}{p-n}}(-1)^{n-k}a_{k}}
∗
{\displaystyle \ast }
∗
{\displaystyle \ast }
3
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
p
k
+
p
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
p
k
+
p
)
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+p}{k+p}}(-1)^{n-k}a_{k}}
B
(
z
)
=
1
(
1
+
z
)
p
+
1
A
(
z
1
+
z
)
{\displaystyle B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A\left({\frac {z}{1+z}}\right)}
∗
{\displaystyle \ast }
4
a
n
=
∑
k
≥
n
(
k
+
p
n
+
p
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {k+p}{n+p}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
≥
n
(
k
+
p
n
+
p
)
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {k+p}{n+p}}(-1)^{n-k}a_{k}}
∗
{\displaystyle \ast }
∗
{\displaystyle \ast }
5
a
n
=
∑
k
=
1
n
n
!
k
!
(
n
−
1
k
−
1
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
=
1
n
n
!
k
!
(
n
−
1
k
−
1
)
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{k!}}{\binom {n-1}{k-1}}(-1)^{n-k}a_{k}}
∗
{\displaystyle \ast }
B
^
(
z
)
=
A
^
(
z
1
+
z
)
{\displaystyle {\widehat {B}}(z)={\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}}\right)}
6
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
k
!
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}k!b_{n-k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
2
(
−
1
)
k
k
!
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(-1)^{k}k!a_{n-k}}
∗
{\displaystyle \ast }
B
^
(
z
)
=
1
1
+
z
A
^
(
z
1
+
z
)
{\displaystyle {\widehat {B}}(z)={\frac {1}{1+z}}{\widehat {A}}\left({\frac {z}{1+z}}\right)}
7
n
!
a
n
(
n
+
p
)
!
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
k
!
b
k
(
k
+
p
)
!
{\displaystyle {\frac {n!a_{n}}{(n+p)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {k!b_{k}}{(k+p)!}}}
n
!
b
n
(
n
+
p
)
!
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
−
1
)
n
−
k
k
!
a
k
(
k
+
p
)
!
{\displaystyle {\frac {n!b_{n}}{(n+p)!}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{n-k}k!a_{k}}{(k+p)!}}}
B
(
z
)
=
1
(
1
+
z
)
p
+
1
A
(
z
1
+
z
)
{\displaystyle B(z)={\frac {1}{(1+z)^{p+1}}}A\left({\frac {z}{1+z}}\right)}
∗
{\displaystyle \ast }
8
s
n
=
∑
k
≥
0
(
n
+
k
m
+
2
k
)
a
k
{\displaystyle s_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}}
∗
{\displaystyle \ast }
S
(
z
)
=
z
m
(
1
−
z
)
m
+
1
A
(
z
(
1
−
z
)
2
)
{\displaystyle S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)}
∗
{\displaystyle \ast }
Видеть. [21]
9
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
(
−
c
)
n
−
k
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}(-c)^{n-k}b_{k}}
∗
{\displaystyle \ast }
A
(
z
)
=
1
1
+
c
x
B
(
a
x
1
+
c
x
)
{\displaystyle A(z)={\frac {1}{1+cx}}B\left({\frac {ax}{1+cx}}\right)}
∗
{\displaystyle \ast }
Обобщение биномиального преобразования для
a
,
b
,
c
∈
C
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} }
такой, что
|
a
x
1
+
c
x
|
<
σ
B
{\displaystyle \left|{\frac {ax}{1+cx}}\right|<\sigma _{B}}
.
10
w
n
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
k
n
a
i
,
k
≠
0
{\displaystyle w_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{n}a_{i},\ k\neq 0}
∗
{\displaystyle \ast }
∗
{\displaystyle \ast }
W
^
(
A
,
k
;
z
)
=
e
k
z
A
^
(
k
z
)
{\displaystyle {\widehat {W}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(kz)}
The
k
{\displaystyle k}
-биномиальное преобразование (см. [22] )
11
f
n
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
k
n
−
i
a
i
,
k
≠
0
{\displaystyle f_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{n-i}a_{i},\ k\neq 0}
∗
{\displaystyle \ast }
∗
{\displaystyle \ast }
F
^
(
A
,
k
;
z
)
=
e
k
z
A
^
(
z
)
{\displaystyle {\widehat {F}}(A,k;z)=e^{kz}{\widehat {A}}(z)}
Падение
k
{\displaystyle k}
-биномиальное преобразование (см. статью Спайви в [22] )
12
r
n
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
k
i
a
i
,
k
≠
0
{\displaystyle r_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}k^{i}a_{i},\ k\neq 0}
∗
{\displaystyle \ast }
∗
{\displaystyle \ast }
R
^
(
A
,
k
;
z
)
=
e
z
A
^
(
k
z
)
{\displaystyle {\widehat {R}}(A,k;z)=e^{z}{\widehat {A}}(kz)}
Восхождение
k
{\displaystyle k}
-биномиальное преобразование (см. статью Спайви в [22] )
обратных Гулда Классы отношений
Условия,
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
и
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
, в формулах обращения вида
a
n
=
∑
k
A
n
,
k
⋅
b
k
⟷
b
n
=
∑
k
B
n
,
k
⋅
(
−
1
)
n
−
k
a
k
,
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}
образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Гулда, приведены в следующей таблице.
Сорт
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
1
(
p
+
q
k
−
k
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}}
(
p
+
q
n
−
k
n
−
k
)
−
q
(
p
+
q
n
−
k
−
1
n
−
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q{\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}}
2
(
p
+
q
k
−
k
n
−
k
)
+
q
(
p
+
q
k
−
k
n
−
1
−
k
)
{\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q{\binom {p+qk-k}{n-1-k}}}
(
p
+
q
n
−
k
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}}
3
(
p
+
q
n
−
n
k
−
n
)
{\displaystyle {\binom {p+qn-n}{k-n}}}
(
p
+
q
k
−
n
k
−
n
)
−
q
(
p
+
q
k
−
n
−
1
k
−
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {p+qk-n}{k-n}}-q{\binom {p+qk-n-1}{k-n-1}}}
4
(
p
+
q
n
−
n
k
−
n
)
+
q
(
p
+
q
n
−
n
k
−
1
−
n
)
{\displaystyle {\binom {p+qn-n}{k-n}}+q{\binom {p+qn-n}{k-1-n}}}
(
p
+
q
k
−
n
k
−
n
)
{\displaystyle {\binom {p+qk-n}{k-n}}}
Для классов 1 и 2 диапазон суммы удовлетворяет
k
∈
[
0
,
n
]
{\displaystyle k\in [0,n]}
, а для классов 3 и 4 оценки суммирования имеют вид
k
=
n
,
n
+
1
,
…
{\displaystyle k=n,n+1,\ldots }
. Эти термины также несколько упрощены по сравнению с их исходными формами в таблице тождествами
(
p
+
q
n
−
k
n
−
k
)
−
q
×
(
p
+
q
n
−
k
−
1
n
−
k
−
1
)
=
p
+
q
k
−
k
p
+
q
n
−
k
(
p
+
q
n
−
k
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {p+qn-k}{n-k}}-q\times {\binom {p+qn-k-1}{n-k-1}}={\frac {p+qk-k}{p+qn-k}}{\binom {p+qn-k}{n-k}}}
(
p
+
q
k
−
k
n
−
k
)
+
q
×
(
p
+
q
k
−
k
n
−
1
−
k
)
=
p
+
q
n
−
n
+
1
p
+
q
k
−
n
+
1
(
p
+
q
k
−
k
n
−
k
)
.
{\displaystyle {\binom {p+qk-k}{n-k}}+q\times {\binom {p+qk-k}{n-1-k}}={\frac {p+qn-n+1}{p+qk-n+1}}{\binom {p+qk-k}{n-k}}.}
Простейшие Чебышева отношения обратные
Так называемые более простые случаи классов обратных отношений Чебышева из нижеприведенного подраздела приведены в следующей таблице.
Связь
Формула для
a
n
{\displaystyle a_{n}}
Обратная формула для
b
n
{\displaystyle b_{n}}
1
a
n
=
∑
k
(
n
k
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{k}}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
[
(
n
−
k
k
)
+
(
n
−
k
−
1
k
−
1
)
]
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}
2
a
n
=
∑
k
[
(
n
k
)
−
(
n
k
−
1
)
]
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
(
n
−
k
k
)
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}}(-1)^{k}a_{n-2k}}
3
a
n
=
∑
k
(
n
+
2
k
k
)
b
n
+
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}}b_{n+2k}}
b
n
=
∑
k
[
(
n
+
k
k
)
+
(
n
+
k
−
1
k
−
1
)
]
(
−
1
)
k
a
n
+
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k}{k}}+{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n+2k}}
4
a
n
=
∑
k
[
(
n
+
2
k
k
)
−
(
n
+
2
k
k
−
1
)
]
b
n
+
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}\right]b_{n+2k}}
b
n
=
∑
k
(
n
+
2
k
k
)
(
−
1
)
k
a
n
+
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{k}}(-1)^{k}a_{n+2k}}
5
a
n
=
∑
k
(
n
−
k
k
)
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n-k}{k}}b_{n-k}}
b
n
=
∑
k
[
(
n
+
k
−
1
k
)
−
(
n
+
k
−
1
k
−
1
)
]
(
−
1
)
k
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-k}}
6
a
n
=
∑
k
[
(
n
+
1
−
k
k
)
+
(
n
−
k
k
−
1
)
]
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+1-k}{k}}+{\binom {n-k}{k-1}}\right]b_{n-k}}
b
n
=
∑
k
(
n
+
k
k
)
(
−
1
)
k
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}(-1)^{k}a_{n-k}}
7
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
b
n
+
c
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}b_{n+ck}}
b
n
=
∑
k
(
n
+
c
k
+
k
k
)
n
(
−
1
)
k
n
+
c
k
+
k
a
n
+
c
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+ck+k}{k}}{\frac {n(-1)^{k}}{n+ck+k}}a_{n+ck}}
Формулы в таблице несколько упрощены следующими тождествами:
(
n
−
k
k
)
+
(
n
−
k
−
1
k
−
1
)
=
n
n
−
k
(
n
−
k
k
)
(
n
k
)
−
(
n
k
−
1
)
=
n
+
1
−
k
n
+
1
−
2
k
(
n
k
)
(
n
+
2
k
k
)
−
(
n
+
2
k
k
−
1
)
=
n
+
1
n
+
1
+
k
(
n
+
2
k
k
)
(
n
+
k
−
1
k
)
−
(
n
+
k
−
1
k
−
1
)
=
n
−
k
n
+
k
(
n
+
k
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-k}{k}}+{\binom {n-k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}\\{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1-k}{n+1-2k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n+2k}{k}}-{\binom {n+2k}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+k}}{\binom {n+2k}{k}}\\{\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-1}{k-1}}&={\frac {n-k}{n+k}}{\binom {n+k}{k}}.\end{aligned}}}
Кроме того, соотношения инверсии, приведенные в таблице, выполняются и при
n
⟼
n
+
p
{\displaystyle n\longmapsto n+p}
в любом данном отношении.
Классы обратных отношений Чебышева [ править ]
Условия,
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
и
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
, в формулах обращения вида
a
n
=
∑
k
A
n
,
k
⋅
b
n
+
c
k
⟷
b
n
=
∑
k
B
n
,
k
⋅
(
−
1
)
k
a
n
+
c
k
,
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n+ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n+ck},}
для ненулевых целых чисел
c
{\displaystyle c}
образующие несколько частных случаев классов обратных отношений Чебышева, приведены в следующей таблице.
Сорт
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
1
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
(
n
+
c
k
+
k
k
)
−
(
c
+
1
)
(
n
+
c
k
+
k
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}}
2
(
n
k
)
+
(
c
+
1
)
(
n
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}}
(
n
+
c
k
+
k
k
)
{\displaystyle {\binom {n+ck+k}{k}}}
3
(
n
+
c
k
k
)
{\displaystyle {\binom {n+ck}{k}}}
(
n
−
1
+
k
k
)
+
c
(
n
−
1
+
k
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}}
4
(
n
+
c
k
k
)
−
(
c
−
1
)
(
n
+
c
k
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}}
(
n
+
k
k
)
{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}
Кроме того, эти соотношения инверсии выполняются и тогда, когда
n
⟼
n
+
p
{\displaystyle n\longmapsto n+p}
для некоторых
p
=
0
,
1
,
2
,
…
,
{\displaystyle p=0,1,2,\ldots ,}
или когда знаковый коэффициент
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{k}}
отодвинуто от условий
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
к условиям
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
. Формулы, приведенные в предыдущей таблице, несколько упрощены тождествами
(
n
+
c
k
+
k
k
)
−
(
c
+
1
)
(
n
+
c
k
+
k
−
1
k
−
1
)
=
n
n
+
c
k
+
k
(
n
+
c
k
+
k
k
)
(
n
k
)
+
(
c
+
1
)
(
n
k
−
1
)
=
n
+
1
+
c
k
n
+
1
−
k
(
n
k
)
(
n
−
1
+
k
k
)
+
c
(
n
−
1
+
k
k
−
1
)
=
n
+
c
k
n
(
n
−
1
+
k
k
)
(
n
+
c
k
k
)
−
(
c
−
1
)
(
n
+
c
k
k
−
1
)
=
n
+
1
n
+
1
+
c
k
−
k
(
n
+
c
k
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n+ck+k}{k}}-(c+1){\binom {n+ck+k-1}{k-1}}&={\frac {n}{n+ck+k}}{\binom {n+ck+k}{k}}\\{\binom {n}{k}}+(c+1){\binom {n}{k-1}}&={\frac {n+1+ck}{n+1-k}}{\binom {n}{k}}\\{\binom {n-1+k}{k}}+c{\binom {n-1+k}{k-1}}&={\frac {n+ck}{n}}{\binom {n-1+k}{k}}\\{\binom {n+ck}{k}}-(c-1){\binom {n+ck}{k-1}}&={\frac {n+1}{n+1+ck-k}}{\binom {n+ck}{k}}.\end{aligned}}}
Более простые Лежандра отношения обратные
Связь
Формула для
a
n
{\displaystyle a_{n}}
Обратная формула для
b
n
{\displaystyle b_{n}}
1
a
n
=
∑
k
(
n
+
p
+
k
n
−
k
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+p+k}{n-k}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
[
(
2
n
+
p
n
−
k
)
−
(
2
n
+
p
n
−
k
−
1
)
]
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{n-k}}-{\binom {2n+p}{n-k-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}
2
a
n
=
∑
k
(
2
n
+
p
n
−
k
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p}{n-k}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
[
(
n
+
p
+
k
n
−
k
)
−
(
n
+
p
+
k
−
1
n
−
k
−
1
)
]
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {n+p+k}{n-k}}-{\binom {n+p+k-1}{n-k-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}
3
a
n
=
∑
k
≥
n
(
n
+
p
+
k
k
−
n
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {n+p+k}{k-n}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
≥
n
[
(
2
k
+
p
k
−
n
)
−
(
2
k
+
p
k
−
n
−
1
)
]
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geq n}\left[{\binom {2k+p}{k-n}}-{\binom {2k+p}{k-n-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}
4
a
n
=
∑
k
≥
n
(
2
k
+
p
k
−
n
)
b
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq n}{\binom {2k+p}{k-n}}b_{k}}
b
n
=
∑
k
≥
n
[
(
n
+
p
+
k
k
−
n
)
−
(
n
+
p
+
k
−
1
k
−
n
−
1
)
]
(
−
1
)
n
−
k
a
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k\geq n}\left[{\binom {n+p+k}{k-n}}-{\binom {n+p+k-1}{k-n-1}}\right](-1)^{n-k}a_{k}}
5
a
n
=
∑
k
(
2
n
+
p
k
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p}{k}}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
[
(
2
n
+
p
−
3
k
k
)
+
3
(
2
n
+
p
−
3
k
−
1
k
−
1
)
]
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p-3k}{k}}+3{\binom {2n+p-3k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}
6
a
n
=
∑
k
[
(
2
n
+
p
k
)
−
3
(
2
n
+
p
k
−
1
)
]
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}\left[{\binom {2n+p}{k}}-3{\binom {2n+p}{k-1}}\right]b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
(
2
n
+
p
−
3
k
k
)
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {2n+p-3k}{k}}(-1)^{k}a_{n-2k}}
7
a
n
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
3
n
k
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\binom {3n}{k}}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
[
(
3
n
−
5
k
k
)
+
5
(
3
n
−
5
k
−
1
k
−
1
)
]
(
−
1
)
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}\left[{\binom {3n-5k}{k}}+5{\binom {3n-5k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-2k}}
8
a
n
=
∑
k
=
0
[
n
/
3
]
(
2
n
k
)
b
n
−
3
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}{\binom {2n}{k}}b_{n-3k}}
b
n
=
∑
k
=
0
[
n
/
3
]
[
(
2
n
−
5
k
k
)
+
5
(
2
n
−
5
k
−
1
k
−
1
)
]
(
−
1
)
k
a
n
−
3
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{[n/3]}\left[{\binom {2n-5k}{k}}+5{\binom {2n-5k-1}{k-1}}\right](-1)^{k}a_{n-3k}}
Классы обратных отношений Лежандра – Чебышева
соответствуют Классам обратных отношений Лежандра–Чебышева отношениям обращения вида
a
n
=
∑
k
A
n
,
k
⋅
b
k
⟷
b
n
=
∑
k
B
n
,
k
⋅
(
−
1
)
n
−
k
a
k
,
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{n-k}a_{k},}
где условия,
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
и
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
, неявно зависят от некоторого фиксированного ненулевого значения
c
∈
Z
{\displaystyle c\in \mathbb {Z} }
. Вообще говоря, дан класс обратных пар Чебышёва вида
a
n
=
∑
k
A
n
,
k
⋅
b
n
−
c
k
⟷
b
n
=
∑
k
B
n
,
k
⋅
(
−
1
)
k
a
n
−
c
k
,
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}A_{n,k}\cdot b_{n-ck}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k}B_{n,k}\cdot (-1)^{k}a_{n-ck},}
если
c
{\displaystyle c}
простое число, замена
n
⟼
c
n
+
p
{\displaystyle n\longmapsto cn+p}
,
a
c
n
+
p
⟼
A
n
{\displaystyle a_{cn+p}\longmapsto A_{n}}
, и
b
c
n
+
p
⟼
B
n
{\displaystyle b_{cn+p}\longmapsto B_{n}}
(возможно замена
k
⟼
n
−
k
{\displaystyle k\longmapsto n-k}
) приводит к паре Лежандра–Чебышева вида [23]
A
n
=
∑
k
A
c
n
+
p
,
k
B
n
−
k
⟷
B
n
=
∑
k
B
c
n
+
p
,
k
(
−
1
)
k
A
n
−
k
.
{\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{cn+p,k}B_{n-k}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{cn+p,k}(-1)^{k}A_{n-k}.}
Аналогично, если целое положительное число
c
:=
d
e
{\displaystyle c:=de}
является составным, мы можем вывести пары инверсий вида
A
n
=
∑
k
A
d
n
+
p
,
k
B
n
−
e
k
⟷
B
n
=
∑
k
B
d
n
+
p
,
k
(
−
1
)
k
A
n
−
e
k
.
{\displaystyle A_{n}=\sum _{k}A_{dn+p,k}B_{n-ek}\quad \longleftrightarrow \quad B_{n}=\sum _{k}B_{dn+p,k}(-1)^{k}A_{n-ek}.}
В следующей таблице суммированы несколько обобщенных классов обратных отношений Лежандра – Чебышева для некоторых ненулевых целых чисел.
c
{\displaystyle c}
.
Сорт
A
n
,
k
{\displaystyle A_{n,k}}
B
n
,
k
{\displaystyle B_{n,k}}
1
(
c
n
+
p
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {cn+p}{n-k}}}
(
n
+
p
−
1
+
c
k
−
k
n
−
k
)
+
c
(
n
+
p
−
1
+
c
k
−
k
n
−
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n+p-1+ck-k}{n-k}}+c{\binom {n+p-1+ck-k}{n-k-1}}}
2
(
c
n
+
p
k
−
n
)
{\displaystyle {\binom {cn+p}{k-n}}}
(
c
k
+
k
+
p
−
n
−
1
k
−
n
)
−
c
(
c
k
+
k
+
p
−
n
−
1
k
−
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {ck+k+p-n-1}{k-n}}-c{\binom {ck+k+p-n-1}{k-n-1}}}
3
(
c
k
+
p
n
−
p
)
{\displaystyle {\binom {ck+p}{n-p}}}
(
c
n
+
n
+
p
−
k
−
1
n
−
k
)
−
c
(
c
n
+
n
+
p
−
k
−
1
n
−
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {cn+n+p-k-1}{n-k}}-c{\binom {cn+n+p-k-1}{n-k-1}}}
4
(
c
k
+
p
k
−
n
)
{\displaystyle {\binom {ck+p}{k-n}}}
(
c
n
−
n
+
p
+
k
−
1
k
−
n
)
+
c
(
c
n
−
n
+
p
+
k
−
1
k
−
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {cn-n+p+k-1}{k-n}}+c{\binom {cn-n+p+k-1}{k-n-1}}}
5
(
c
n
+
p
n
−
k
)
−
(
c
−
1
)
(
c
n
+
p
n
−
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {cn+p}{n-k}}-(c-1){\binom {cn+p}{n-k-1}}}
(
n
+
p
+
c
k
−
k
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {n+p+ck-k}{n-k}}}
6
(
c
n
+
p
k
−
n
)
+
(
c
+
1
)
(
c
n
+
p
k
−
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {cn+p}{k-n}}+(c+1){\binom {cn+p}{k-n-1}}}
(
c
k
+
k
+
p
−
n
k
−
n
)
{\displaystyle {\binom {ck+k+p-n}{k-n}}}
7
(
c
k
+
p
n
−
k
)
+
(
c
+
1
)
(
c
k
+
p
n
−
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {ck+p}{n-k}}+(c+1){\binom {ck+p}{n-k-1}}}
(
c
n
+
n
+
p
−
k
n
−
k
)
{\displaystyle {\binom {cn+n+p-k}{n-k}}}
8
(
c
k
+
p
k
−
n
)
−
(
c
−
1
)
(
c
k
+
p
k
−
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {ck+p}{k-n}}-(c-1){\binom {ck+p}{k-n-1}}}
(
c
n
−
n
+
p
+
k
k
−
n
)
{\displaystyle {\binom {cn-n+p+k}{k-n}}}
Обратные отношения Абеля [ править ]
Обратные отношения Абеля соответствуют обратным парам Абеля вида
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
A
n
k
b
k
⟷
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
B
n
k
(
−
1
)
n
−
k
a
k
,
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}A_{nk}b_{k}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{nk}(-1)^{n-k}a_{k},}
где условия,
A
n
k
{\displaystyle A_{nk}}
и
B
n
k
{\displaystyle B_{nk}}
, может неявно изменяться с некоторым неопределенным параметром суммирования
x
{\displaystyle x}
.
Эти соотношения сохраняются и в том случае, если замена биномиальных коэффициентов
(
n
k
)
⟼
(
n
+
p
k
+
p
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}\longmapsto {\binom {n+p}{k+p}}}
выполняется для некоторого неотрицательного целого числа
p
{\displaystyle p}
.
В следующей таблице суммированы несколько известных форм этих обратных отношений Абеля.
Число
A
n
k
{\displaystyle A_{nk}}
B
n
k
{\displaystyle B_{nk}}
Генерация идентификатора функции
1
x
(
x
+
n
−
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle x(x+n-k)^{n-k-1}}
x
(
x
−
n
+
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle x(x-n+k)^{n-k-1}}
∗
{\displaystyle \ast }
2
(
x
+
n
−
k
)
n
−
k
{\displaystyle (x+n-k)^{n-k}}
(
x
2
−
n
+
k
)
(
x
−
n
+
k
)
n
−
k
−
2
{\displaystyle (x^{2}-n+k)(x-n+k)^{n-k-2}}
∗
{\displaystyle \ast }
3
(
x
+
k
)
n
−
k
{\displaystyle (x+k)^{n-k}}
(
x
+
k
)
(
x
+
n
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle (x+k)(x+n)^{n-k-1}}
∗
{\displaystyle \ast }
3а
(
x
+
n
)
(
x
+
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle (x+n)(x+k)^{n-k-1}}
(
x
+
n
)
n
−
k
{\displaystyle (x+n)^{n-k}}
∗
{\displaystyle \ast }
4
(
x
+
2
n
)
(
x
+
n
+
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle (x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}}
(
x
+
2
n
)
(
x
+
n
+
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle (x+2n)(x+n+k)^{n-k-1}}
∗
{\displaystyle \ast }
4а
(
x
+
2
k
)
(
x
+
n
+
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle (x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}}
(
x
+
2
k
)
(
x
+
n
+
k
)
n
−
k
−
1
{\displaystyle (x+2k)(x+n+k)^{n-k-1}}
∗
{\displaystyle \ast }
5
(
n
+
k
)
n
−
k
{\displaystyle (n+k)^{n-k}}
[
n
+
k
(
4
n
−
1
)
]
(
n
+
k
)
n
−
k
−
2
{\displaystyle \left[n+k(4n-1)\right](n+k)^{n-k-2}}
∗
{\displaystyle \ast }
обычных производящих функций Обратные отношения , полученные из
Если мы позволим свёрнутым числам Фибоначчи
f
k
(
±
p
)
{\displaystyle f_{k}^{(\pm p)}}
, определяться
f
n
(
p
)
=
∑
j
≥
0
(
p
+
n
−
j
−
1
n
−
j
)
(
n
−
j
j
)
f
n
(
−
p
)
=
∑
j
≥
0
(
p
n
+
j
)
(
n
−
j
j
)
(
−
1
)
n
−
j
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}^{(p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p+n-j-1}{n-j}}{\binom {n-j}{j}}\\f_{n}^{(-p)}&=\sum _{j\geq 0}{\binom {p}{n+j}}{\binom {n-j}{j}}(-1)^{n-j},\end{aligned}}}
у нас есть следующая таблица обратных отношений, которые получены из свойств обычных производящих функций, доказанных как в разделе 3.3 книги Риордана.
Связь
Формула для
a
n
{\displaystyle a_{n}}
Обратная формула для
b
n
{\displaystyle b_{n}}
1
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
p
+
k
k
)
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+k}{k}}b_{n-k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
p
+
1
k
)
(
−
1
)
k
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}a_{n-k}}
2
a
n
=
∑
k
≥
0
(
p
+
k
k
)
b
n
−
q
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {p+k}{k}}b_{n-qk}}
b
n
=
∑
k
(
p
+
1
k
)
(
−
1
)
k
a
n
−
q
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {p+1}{k}}(-1)^{k}a_{n-qk}}
3
a
n
=
∑
k
=
0
n
f
k
(
p
)
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(p)}b_{n-k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
f
k
(
−
p
)
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}f_{k}^{(-p)}a_{n-k}}
4
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
2
k
k
)
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}b_{n-k}}
∑
k
=
0
n
(
2
k
k
)
a
n
−
k
(
1
−
2
k
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{(1-2k)}}}
5
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
2
k
k
)
b
n
−
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {b_{n-k}}{(k+1)}}}
b
n
=
a
n
−
∑
k
=
1
n
(
2
k
k
)
a
n
−
k
k
{\displaystyle b_{n}=a_{n}-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2k}{k}}{\frac {a_{n-k}}{k}}}
6
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
2
p
+
2
k
p
+
k
)
(
p
+
k
k
)
(
2
p
p
)
−
1
b
n
−
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2p+2k}{p+k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {2p}{p}}^{-1}b_{n-k}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
(
2
p
+
1
2
k
)
(
p
+
k
k
)
(
p
+
k
2
k
)
−
1
(
−
1
)
k
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2p+1}{2k}}{\binom {p+k}{k}}{\binom {p+k}{2k}}^{-1}(-1)^{k}a_{n-k}}
7
a
n
=
∑
k
(
4
k
2
k
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
(
4
k
2
k
)
(
8
k
+
1
)
a
n
−
2
k
(
2
k
+
1
)
(
k
+
1
)
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {(8k+1)a_{n-2k}}{(2k+1)(k+1)}}}
8
a
n
=
∑
k
(
4
k
+
2
2
k
+
1
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {4k+2}{2k+1}}b_{n-2k}}
b
n
=
a
n
2
−
∑
k
≥
1
(
4
k
−
2
2
k
−
1
)
(
8
k
−
3
)
a
n
−
2
k
2
k
(
4
k
−
3
)
{\displaystyle b_{n}={\frac {a_{n}}{2}}-\sum _{k\geq 1}{\binom {4k-2}{2k-1}}{\frac {(8k-3)a_{n-2k}}{2k(4k-3)}}}
9
a
n
=
(
4
k
2
k
)
b
n
−
2
k
(
1
−
4
k
)
{\displaystyle a_{n}={\binom {4k}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(1-4k)}}}
b
n
=
∑
k
(
4
k
2
k
)
a
n
−
2
k
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {4k}{2k}}{\frac {a_{n-2k}}{(2k+1)}}}
Заметим, что отношения 3, 4, 5 и 6 в таблице можно преобразовать в соответствии с подстановками
a
n
−
k
⟼
a
n
−
q
k
{\displaystyle a_{n-k}\longmapsto a_{n-qk}}
и
b
n
−
k
⟼
b
n
−
q
k
{\displaystyle b_{n-k}\longmapsto b_{n-qk}}
для некоторого фиксированного ненулевого целого числа
q
≥
1
{\displaystyle q\geq 1}
.
Обратные отношения, полученные из функций экспоненциальных производящих
Позволять
B
n
{\displaystyle B_{n}}
и
E
n
{\displaystyle E_{n}}
обозначим числа Бернулли и числа Эйлера соответственно и предположим, что последовательности
{
d
2
n
}
{\displaystyle \{d_{2n}\}}
,
{
e
2
n
}
{\displaystyle \{e_{2n}\}}
, и
{
f
2
n
}
{\displaystyle \{f_{2n}\}}
определяются следующими экспоненциальными производящими функциями: [24]
∑
n
≥
0
d
2
n
z
2
n
(
2
n
)
!
=
2
z
e
z
−
e
−
z
∑
n
≥
0
e
2
n
z
2
n
(
2
n
)
!
=
z
2
e
z
+
e
−
z
−
2
∑
n
≥
0
f
2
n
z
2
n
(
2
n
)
!
=
z
3
3
(
e
z
−
e
−
z
−
2
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 0}{\frac {d_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {2z}{e^{z}-e^{-z}}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {e_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{2}}{e^{z}+e^{-z}-2}}\\\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{2n}z^{2n}}{(2n)!}}&={\frac {z^{3}}{3(e^{z}-e^{-z}-2z)}}.\end{aligned}}}
В следующей таблице суммированы несколько примечательных случаев отношений инверсии, полученных из экспоненциальных производящих функций в разделе 3.4 книги Риордана. [25]
Связь
Формула для
a
n
{\displaystyle a_{n}}
Обратная формула для
b
n
{\displaystyle b_{n}}
1
a
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
b
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {b_{k}}{(k+1)}}}
b
n
=
∑
k
=
0
n
B
k
a
n
−
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}a_{n-k}}
2
a
n
=
∑
k
(
n
+
k
k
)
b
n
+
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}{\frac {b_{n+k}}{(k+1)}}}
b
n
=
∑
k
(
n
+
k
k
)
B
k
a
n
+
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+k}{k}}B_{k}a_{n+k}}
3
a
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
E
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}E_{2k}a_{n-2k}}
4
a
n
=
∑
k
(
n
+
2
k
2
k
)
b
n
+
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}b_{n+2k}}
b
n
=
∑
k
(
n
+
2
k
2
k
)
E
2
k
a
n
+
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2k}{2k}}E_{2k}a_{n+2k}}
5
a
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
b
n
−
2
k
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\frac {b_{n-2k}}{(2k+1)}}}
b
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
d
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}}
6
a
n
=
∑
k
(
n
+
1
2
k
+
1
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k+1}}b_{n-2k}}
(
n
+
1
)
⋅
b
n
=
∑
k
(
n
+
1
2
k
)
d
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle (n+1)\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+1}{2k}}d_{2k}a_{n-2k}}
7
a
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
(
2
k
+
2
2
)
−
1
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\binom {2k+2}{2}}^{-1}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
e
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}}
8
a
n
=
∑
k
(
n
+
2
2
k
+
2
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k+2}}b_{n-2k}}
(
n
+
2
2
)
⋅
b
n
=
∑
k
(
n
+
2
2
k
)
e
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle {\binom {n+2}{2}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+2}{2k}}e_{2k}a_{n-2k}}
9
a
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
(
2
k
+
3
3
)
−
1
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}{\binom {2k+3}{3}}^{-1}b_{n-2k}}
b
n
=
∑
k
(
n
2
k
)
f
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle b_{n}=\sum _{k}{\binom {n}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}}
10
a
n
=
∑
k
(
n
+
3
2
k
+
3
)
b
n
−
2
k
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k+3}}b_{n-2k}}
(
n
+
3
3
)
⋅
b
n
=
∑
k
(
n
+
3
2
k
)
f
2
k
a
n
−
2
k
{\displaystyle {\binom {n+3}{3}}\cdot b_{n}=\sum _{k}{\binom {n+3}{2k}}f_{2k}a_{n-2k}}
Полиномиальные обратные [ править ]
Обратные соотношения, использованные при формулировке биномиального преобразования , приведенного в предыдущем подразделе, обобщаются на соответствующие двухиндексные обратные соотношения для последовательностей двух индексов и на формулы полиномиального обращения для последовательностей
j
≥
3
{\displaystyle j\geq 3}
индексы, включающие биномиальные коэффициенты Риордана. [26]
В частности, мы имеем форму двухиндексного обратного отношения, заданного формулой
a
m
n
=
∑
j
=
0
m
∑
k
=
0
n
(
m
j
)
(
n
k
)
(
−
1
)
j
+
k
b
j
k
⟷
b
m
n
=
∑
j
=
0
m
∑
k
=
0
n
(
m
j
)
(
n
k
)
(
−
1
)
j
+
k
a
j
k
,
{\displaystyle a_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}b_{jk}\quad \longleftrightarrow \quad b_{mn}=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k}}(-1)^{j+k}a_{jk},}
и более общая форма полиномиальной пары формул обращения, заданная формулой
a
n
1
n
2
⋯
n
j
=
∑
k
1
,
…
,
k
j
(
n
1
k
1
)
⋯
(
n
j
k
j
)
(
−
1
)
k
1
+
⋯
+
k
j
b
k
1
k
2
⋯
k
j
⟷
b
n
1
n
2
⋯
n
j
=
∑
k
1
,
…
,
k
j
(
n
1
k
1
)
⋯
(
n
j
k
j
)
(
−
1
)
k
1
+
⋯
+
k
j
a
k
1
k
2
⋯
k
j
.
{\displaystyle a_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}b_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}\quad \longleftrightarrow \quad b_{n_{1}n_{2}\cdots n_{j}}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{j}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\cdots {\binom {n_{j}}{k_{j}}}(-1)^{k_{1}+\cdots +k_{j}}a_{k_{1}k_{2}\cdots k_{j}}.}
Примечания [ править ]
^ См. раздел 1.2.9 в книге Кнута « Искусство компьютерного программирования» (том 1).
↑ Решение к упражнению 7.36 на стр. 569 в книге Грэма, Кнута и Патшника.
^ См. раздел 3.3 в Comtet.
^ См. разделы 3.3–3.4 в Comtet.
^ См. раздел 1.9(vi) в Справочнике NIST.
^ См. стр. 566 Грэма, Кнута и Паташника, где приведена формулировка последней формулы преобразования.
^ См. Приложение B.13 Флажоле и Седжвика.
^ См. доказательство теоремы 2.3 в Math.NT/1609.02803 .
^ См. раздел 1.15(vi)–(vii) в Справочнике NIST .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный полилогарифм Нильсена» . Математический мир .
^ См. уравнение (4) в разделе 2 статьи Борвейна, Борвейна и Гиргенсона «Явное вычисление сумм Эйлера» (1994).
^ См. статью Math.NT/1609.02803 .
↑ См. раздел 6.3 в книге Стэнли.
↑ См. раздел 2.4 в книге Лэндо.
^ Потехина, Е.А. (2017). «Применение произведения Адамара к некоторым комбинаторным и вероятностным задачам». Дискр. Математика. Приложение . 27 (3): 177–186. дои : 10.1515/dma-2017-0020 . S2CID 125969602 .
^ Шмидт, доктор медицины (2017). «Цепные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториалов» . Дж. Межд. Сек . 20 :17.3.4. arXiv : 1610.09691 .
^ См. индуктивное доказательство, приведенное в разделе 2 Math.NT/1609.02803 .
^ См. таблицу в разделе 7.4 Грэма, Кнута и Паташника.
^ См. уравнение (30) на странице MathWorld для функции обратного тангенса.
^ Вайсштейн, Э. «Преобразование Эйлера» . Математический мир .
^ Решение упражнения 5.71 по конкретной математике .
^ Перейти обратно: а б с Спиви, МЗ (2006). «К-биномиальные преобразования и преобразование Ханкеля» . Журнал целочисленных последовательностей . 9 (Статья 06.1.1): 11. Бибкод : 2006JIntS...9...11S .
^ См. раздел 2.5 Риордана.
^ См. раздел 3.4 в Риордане.
^ Сравните с формулами инверсии, приведенными в разделе 24.5(iii) Справочника NIST .
↑ См. раздел 3.5 в книге Риордана.
Конте, Л. (1974). Продвинутая комбинаторика (PDF) . Издательство Д. Рейделя. ISBN 9027703809 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 июня 2017 г. Проверено 10 февраля 2017 г.
Флажоле и Седжвик (2010). Аналитическая комбинаторика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89806-5 .
Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: фонд информатики (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0201558025 .
Кнут, DE (1997). Искусство компьютерного программирования: фундаментальные алгоритмы . Том. 1. Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-89683-4 .
Ландо, СК (2002). Лекции по производящим функциям . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3481-9 .
Оливер, Лозье, Буасверт и Кларк (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-14063-8 . {{cite book }}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Риордан, Дж. (1968). Комбинаторные тождества . Уайли и сыновья.
Роман, С. (1984). Умбральное исчисление . Дуврские публикации. ISBN 0-486-44139-3 .
Шмидт, доктор медицинских наук (3 ноября 2016 г.). «Преобразования производящей функции дзета-ряда, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv : 1611.00957 [ math.CO ].
Шмидт, доктор медицинских наук (30 октября 2016 г.). «Преобразования производящих функций дзета-ряда, связанные с полилогарифмическими функциями и гармоническими числами k -порядка». arXiv : 1610.09666 [ math.CO ].
Шмидт, доктор медицины (2017). «Цепные дроби типа Якоби для обычных производящих функций обобщенных факториалов» . Журнал целочисленных последовательностей . 20 . arXiv : 1610.09691 .
Шмидт, доктор медицинских наук (9 сентября 2016 г.). «Преобразования производящих функций квадратного ряда». arXiv : 1609.02803 [ math.NT ].
Стэнли, Р.П. (1999). Перечислительная комбинаторика . Том. 2. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78987-5 .
Внешние ссылки [ править ]