Серия многосекционная

В математике мультисекцией степенного ряда называется новый степенной ряд, состоящий из равноотстоящих друг от друга членов, извлеченных в неизмененном виде из исходного ряда. Формально, если задан степенной ряд

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}$

то его многосечение представляет собой степенной ряд вида

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}$

где p , q — целые числа, при этом 0 ≤ p < q . Многосечение ряда представляет собой одно из распространенных преобразований производящих функций .

Многосечение аналитических функций

Мультисечение ряда аналитической функции

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}$

имеет замкнутое выражение через функцию $f(x)$:

$\sum _{m=0}^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}\cdot f(\omega ^{k}\cdot z),$

где $\omega =e^{\frac {2\pi i}{q}}$ является примитивным корнем q-й степени из единицы . Это выражение часто называют корнем единичного фильтра. Это решение было впервые обнаружено Томасом Симпсоном . Это выражение особенно полезно тем, что оно может преобразовать бесконечную сумму в конечную сумму. Он используется, например, на ключевом этапе стандартного доказательства дигамм-теоремы Гаусса , которая дает решение в замкнутой форме дигамма-функции, оцененной при рациональных значениях p / q .

Примеры

деление пополам

Вообще, биссектрисы ряда — это четная и нечетная части ряда.

Геометрическая серия

Рассмотрим геометрическую серию

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}\quad {\text{ for }}|z|<1.$

Установив $z\rightarrow z^{q}$ в приведенной выше серии легко видеть, что ее мультисекции

$\sum _{m=0}^{\infty }z^{qm+p}={\frac {z^{p}}{1-z^{q}}}\quad {\text{ for }}|z|<1.$

Помня, что сумма мультисекций должна равняться исходному ряду, восстанавливаем знакомое тождество

$\sum _{p=0}^{q-1}z^{p}={\frac {1-z^{q}}{1-z}}.$

Экспоненциальная функция

Показательная функция

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}$

с помощью приведенной выше формулы для аналитических функций распадается на

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}e^{\omega ^{k}z}.$

Биссектрисы тривиально являются гиперболическими функциями :

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m} \over (2m)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right)=\cosh {z}$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m+1} \over (2m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)=\sinh {z}.$

Мультисекции более высокого порядка находятся, если отметить, что все такие ряды должны иметь действительные значения вдоль действительной линии. Взяв действительную часть и используя стандартные тригонометрические тождества, формулы можно записать в явно вещественной форме как

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}e^{z\cos(2\pi k/q)}\cos {\left(z\sin {\left({\frac {2\pi k}{q}}\right)}-{\frac {2\pi kp}{q}}\right)}.$

Их можно рассматривать как решения линейного дифференциального уравнения $f^{(q)}(z)=f(z)$ с граничными условиями $f^{(k)}(0)=\delta _{k,p}$, используя Кронекера дельта- нотацию . В частности, трисекции

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m} \over (3m)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}+2e^{-z/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+1} \over (3m+1)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-e^{-z/2}\left(\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}-{\sqrt {3}}\sin {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+2} \over (3m+2)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-e^{-z/2}\left(\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}+{\sqrt {3}}\sin {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)\right),$

и квадрисекции

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m} \over (4m)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}+\cos {z}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+1} \over (4m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}+\sin {z}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+2} \over (4m+2)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}-\cos {z}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+3} \over (4m+3)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}-\sin {z}\right).$

Биномиальный ряд

Многосечение биномиального разложения

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x+{n \choose 2}x^{2}+\cdots$

при x = 1 дает следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом q :

${n \choose p}+{n \choose p+q}+{n \choose p+2q}+\cdots ={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{q}}\right)^{n}\cdot \cos {\frac {\pi (n-2p)k}{q}}.$

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Многосекционный ряд» . Математический мир .
• Сомос, Майкл. Многосекционная серия q , 2006.
• Джон Риордан (1968). Комбинаторные тождества . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.