Линейное дифференциальное уравнение

Эта статья о линейных дифференциальных уравнениях с одной независимой переменной. О подобных уравнениях с двумя и более независимыми переменными см. Уравнение в частных производных § Линейные уравнения второго порядка .

В математике линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение , которое определяется линейным многочленом от неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида

$$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$$

где a ₀ ( x ) , ..., a _n ( x ) и b ( x ) — произвольные дифференцируемые функции , которые не обязательно должны быть линейными, а y ′, ..., y ^{( н )} являются последовательными производными неизвестной функции y переменной x .

Такое уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Линейное дифференциальное уравнение также может быть линейным дифференциальным уравнением в частных производных (ЧДУ), если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, а производные, входящие в уравнение, являются частными производными .

Виды решения

Линейное дифференциальное уравнение или система линейных уравнений, в которой соответствующие однородные уравнения имеют постоянные коэффициенты, могут быть решены в квадратурах , что означает, что решения могут быть выражены через интегралы . Это справедливо и для линейного уравнения первого порядка с непостоянными коэффициентами. Уравнение второго порядка и выше с непостоянными коэффициентами, как правило, не может быть решено в квадратурах. Для второго порядка алгоритм Ковачича позволяет определить, существуют ли решения в виде интегралов, и вычислить их, если таковые имеются.

Решения однородных линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами называются голономными функциями . Этот класс функций стабилен относительно сумм, произведений, дифференцирования , интегрирования и содержит множество обычных функций и специальных функций, таких как показательная функция , логарифм , синус , косинус , обратные тригонометрические функции , функция ошибки , функции Бесселя и гипергеометрические функции . Их представление с помощью определяющего дифференциального уравнения и начальных условий позволяет алгоритмизировать (над этими функциями) большинство операций исчисления , таких как вычисление первообразных , пределов , асимптотического разложения и числовых оценок с любой точностью и сертифицированной границей ошибки.

Основная терминология

Высший порядок вывода , который появляется в (линейном) дифференциальном уравнении, - это порядок уравнения. Член b ( x ) , не зависящий от неизвестной функции и ее производных, иногда называют постоянным членом уравнения (по аналогии с алгебраическими уравнениями ), даже если этот член является непостоянной функцией. Если постоянный член является нулевой функцией , то дифференциальное уравнение называется однородным , так как оно представляет собой однородный многочлен от неизвестной функции и ее производных. Уравнение, полученное заменой в линейном дифференциальном уравнении постоянного члена нулевой функцией, представляет собой связанное однородное уравнение . Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты только постоянные функции , если в качестве коэффициентов в соответствующем однородном уравнении фигурируют .

А Решением дифференциального уравнения является функция, удовлетворяющая уравнению.Решения однородного линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство . В обычном случае это векторное пространство имеет конечную размерность, равную порядку уравнения. Все решения линейного дифференциального уравнения находятся добавлением к конкретному решению любого решения соответствующего однородного уравнения.

Линейный дифференциальный оператор

Основная статья: Дифференциальный оператор

Базовый дифференциальный оператор порядка i — это отображение, которое отображает любую дифференцируемую функцию в ее i -ю производную или, в случае нескольких переменных, в одну из ее частных производных порядка i . Обычно его обозначают

$${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}$$

в случае одномерных функций и

$${\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}$$

в случае функций n переменных. Основные дифференциальные операторы включают производную порядка 0, которая является тождественным отображением.

Линейный дифференциальный оператор (сокращенно в этой статье как линейный оператор или просто оператор ) представляет собой линейную комбинацию основных дифференциальных операторов с дифференцируемыми функциями в качестве коэффициентов. Таким образом, в одномерном случае линейный оператор имеет вид

$$a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$$

где a ₀ ( x ), ..., a _n ( x ) — дифференцируемые функции, а целое неотрицательное число n — это порядок оператора (если a _n ( x ) не является нулевой функцией ).

Пусть L — линейный дифференциальный оператор. Применение L к функции f обычно обозначается Lf или Lf ( X ) , если необходимо указать переменную (это не следует путать с умножением). Линейный дифференциальный оператор является линейным оператором , поскольку он отображает суммы в суммы, а произведение по скаляру в произведение по тому же скаляру.

Поскольку сумма двух линейных операторов является линейным оператором, а также произведением (слева) линейного оператора на дифференцируемую функцию, линейные дифференциальные операторы образуют векторное пространство над действительными или комплексными числами (в зависимости от характер рассматриваемых функций). Они также образуют свободный модуль над кольцом дифференцируемых функций.

Язык операторов позволяет компактно записать дифференцируемые уравнения: если

$$L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$$

является линейным дифференциальным оператором, то уравнение

$$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$$

может быть переписан

$$Ly=b(x).$$

У этого обозначения может быть несколько вариантов; в частности, переменная дифференцирования может появляться явно или нет в y и правой части уравнения, например Ly ( x ) = b ( x ) или Ly = b .

Ядром ядро линейного дифференциального оператора является его векторное ​​как линейное отображение, то есть пространство решений (однородного) дифференциального уравнения Ly = 0 .

В случае обыкновенного дифференциального оператора порядка n из теоремы существования Каратеодори следует, что при очень мягких условиях ядро ​​L является векторным пространством размерности n и что решения уравнения Ly ( x ) = b ( x ) имеют вид

$$S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),$$

где c ₁ , ..., c _n — произвольные числа. Обычно условия теоремы Каратеодори выполняются на интервале I , если функции b , a ₀ , ..., непрерывны _an в I и существует положительное действительное число k такое, что | а _п ( Икс ) | > k каждого x в I. для

Однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Однородное линейное дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, если оно имеет вид

$$a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$$

где a ₁ , ..., a _n — числа (действительные или комплексные). Другими словами, он имеет постоянные коэффициенты, если он определяется линейным оператором с постоянными коэффициентами.

Изучение этих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами восходит к Леонарду Эйлеру , который ввел показательную функцию e ^х , которое является единственным решением уравнения f ′ = f такого, что f (0) = 1 . Отсюда следует, что n- я производная e ^сх это с ^н и ^сх , что позволяет довольно легко решать однородные линейные дифференциальные уравнения.

Позволять

$$a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$$

быть однородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (то есть a ₀ , ..., a _n — действительные или комплексные числа).

Поиск решений этого уравнения, имеющих вид e ^αx эквивалентно поиску констант α таких, что

$$a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.$$

Выделение e ^αx (который никогда не равен нулю), показывает, что α должно быть корнем характеристического многочлена

$$a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}$$

дифференциального уравнения, которое является левой частью характеристического уравнения

$$a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.$$

Когда все эти корни различны , имеется n различных решений, которые не обязательно вещественны, даже если коэффициенты уравнения вещественны. Можно показать, что эти решения линейно независимы , рассматривая определитель Вандермонда значений этих решений при x = 0,..., n – 1 . Вместе они образуют базис векторного пространства решений дифференциального уравнения (т. е. ядро ​​дифференциального оператора).

Пример
$$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$$ имеет характеристическое уравнение $$z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.$$ Он имеет нули i , − i и 1 (кратность 2). Таким образом, основой решения является $$e^{ix},\;e^{-ix},\;e^{x},\;xe^{x}.$$ Реальная основа решения, таким образом, $$\cos x,\;\sin x,\;e^{x},\;xe^{x}.$$

В случае, когда характеристический полином имеет только простые корни , предыдущее обеспечивает полную основу векторного пространства решений. В случае кратных корней для наличия базиса необходимы более линейно независимые решения. Они имеют форму

$$x^{k}e^{\alpha x},$$

где k — целое неотрицательное число, α — корень характеристического многочлена кратности m и k < m . Для доказательства того, что эти функции являются решениями, можно заметить, что если α является корнем характеристического многочлена кратности m , характеристический многочлен может быть факторизован как P ( t )( t − α ) ^м . Таким образом, применение дифференциального оператора уравнения эквивалентно применению первого m раз оператора ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$, а затем оператор, у которого P является характеристическим полиномом. По теореме экспоненциального сдвига ,

$$\left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},$$

и, таким образом, после k + 1 применения ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$.

Поскольку по основной теореме алгебры сумма кратностей корней многочлена равна степени многочлена, количество приведенных выше решений равно порядку дифференциального уравнения, и эти решения образуют базу векторного пространства. решений.

В общем случае, когда коэффициенты уравнения действительны, обычно удобнее иметь основу решений, состоящую из вещественных функций . Такой базис можно получить из предыдущего базиса, заметив, что если a + ib является корнем характеристического многочлена, то a – ib также является корнем той же кратности. Таким образом, реальный базис получается с помощью формулы Эйлера и замены $x^{k}e^{(a+ib)x}$ и $x^{k}e^{(a-ib)x}$ к $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ и $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$.

Случай второго порядка

Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка можно записать

$$y''+ay'+by=0,$$

и его характеристический многочлен

$$r^{2}+ar+b.$$

Если a и b вещественные , существует три случая решений, в зависимости от дискриминанта D = a ² − 4 б . Во всех трех случаях общее решение зависит от двух произвольных констант c ₁ и c ₂ .

• Если D > 0 , характеристический полином имеет два различных действительных корня α и β . В этом случае общее решение
  $$c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.$$
• Если D = 0 , характеристический полином имеет двойной корень − a /2 , и общее решение есть
  $$(c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.$$
• Если D < 0 , характеристический полином имеет два комплексно-сопряженных корня α ± βi , и общее решение есть
  $$c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},$$
  который можно переписать в реальных терминах, используя формулу Эйлера как
  $$e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).$$

Находя решение y ( x ), удовлетворяющее y (0) = d ₁ и y ′(0) = d ₂ , можно приравнять значения приведенного выше общего решения в точке 0 и его производной там к d ₁ и d ₂ соответственно. В результате получается линейная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными c ₁ и c ₂ . Решение этой системы дает решение так называемой задачи Коши , в которой указаны значения в 0 для решения DEQ и его производной.

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами можно записать

$$y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),$$

где a ₁ , ..., a _n — действительные или комплексные числа, f — заданная функция от x , а y — неизвестная функция (для простоты « ( x ) » в дальнейшем будет опущено).

Существует несколько методов решения такого уравнения. Выбор лучшего метода зависит от природы функции f , которая делает уравнение неоднородным. Если f представляет собой линейную комбинацию экспоненциальной и синусоидальной функций, то формулу экспоненциального отклика можно использовать . Если, в более общем смысле, f представляет собой линейную комбинацию функций вида x ^н и ^топор , х ^н cos( ax ) и x ^н sin( ax ) , где n — неотрицательное целое число, а a — константа (которая не обязательно должна быть одинаковой в каждом члене), то метод неопределенных коэффициентов можно использовать . В еще более общем плане метод аннулятора применяется, когда f удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению, обычно голономной функции .

Самый общий метод — вариация констант , который представлен здесь.

Общее решение ассоциированного однородного уравнения

$$y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0$$

является

$$y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},$$

где ( y ₁ , ..., y _n ) — базис векторного пространства решений, а u ₁ , ..., un _— произвольные константы. Метод вариации констант получил свое название от следующей идеи. Вместо того, чтобы рассматривать u ₁ , ..., un _y как константы, их можно рассматривать как неизвестные функции, которые необходимо определить, чтобы сделать решением неоднородного уравнения. Для этого добавляются ограничения

$${\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}$$

которые подразумевают (по правилу произведения и индукции )

$$y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}$$

для i = 1, ..., n – 1 и

$$y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$$

Заменяя в исходном уравнении y и его производные на эти выражения и используя тот факт, что y ₁ , ..., y _n являются решениями исходного однородного уравнения, получаем

$$f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$$

Это уравнение и приведенные выше уравнения с 0 в левой части образуют систему из n линейных уравнений относительно u ′ ₁ , ..., u ′ _n, коэффициенты которых являются известными функциями ( f , y _i и их производные). Эту систему можно решить любым методом линейной алгебры . Вычисление первообразных дает u ₁ , ..., un _, а затем y знак равно u ₁ y ₁ + ⋯ + u _n y _n .

Поскольку первообразные определены с точностью до добавления константы, снова обнаруживается, что общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму произвольного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Уравнение первого порядка с переменными коэффициентами

Общая форма линейного обыкновенного дифференциального уравнения порядка 1 после деления коэффициента при y ′( x ) выглядит следующим образом:

$$y'(x)=f(x)y(x)+g(x).$$

Если уравнение однородно, т.е. g ( x ) = 0 , его можно переписать и проинтегрировать:

$${\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,$$

где k — произвольная константа интегрирования и $F=\textstyle \int f\,dx$ является первообразной f . любой Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид

$$y=ce^{F},$$

где с = е ^к — произвольная константа.

Для общего неоднородного уравнения полезно умножить обе части уравнения на обратную величину e ^{− Ф} решения однородного уравнения. Это дает

$$y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.$$

Как $-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),$ правило произведения позволяет переписать уравнение как

$${\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.$$

Таким образом, общее решение

$$y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,$$

где c — константа интегрирования, а F — любая первообразная f (изменение первообразной приводит к изменению константы интегрирования).

Пример

Решение уравнения

$$y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.$$

Соответствующее однородное уравнение $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0$ дает

$${\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},$$

то есть

$$y={\frac {c}{x}}.$$

Деление исходного уравнения на одно из этих решений дает

$$xy'+y=3x^{2}.$$

То есть

$$(xy)'=3x^{2},$$

$$xy=x^{3}+c,$$

и

$$y(x)=x^{2}+c/x.$$

Для начального состояния

$$y(1)=\alpha ,$$

мы получаем частное решение

$$y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.$$

Система линейных дифференциальных уравнений

Основная статья: Матричное дифференциальное уравнение

Система линейных дифференциальных уравнений состоит из нескольких линейных дифференциальных уравнений, в которых присутствует несколько неизвестных функций. Обычно исследование ограничивается системами, в которых количество неизвестных функций равняется количеству уравнений.

Произвольное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и систему таких уравнений можно преобразовать в систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка добавлением переменных для всех производных, кроме высшего порядка. То есть, если $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ появляются в уравнении, их можно заменить новыми неизвестными функциями $y_{1},\ldots ,y_{k}$ которое должно удовлетворять уравнениям $y'=y_{1}$ и $y_{i}'=y_{i+1},$ для i = 1, ..., k – 1 .

Линейная система первого порядка, имеющая п неизвестных функций и п дифференциальных уравнений, обычно может быть решена относительно производных неизвестных функций. Если это не так, то это дифференциально-алгебраическая система , а это другая теория. Поэтому рассматриваемые здесь системы имеют вид

$${\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}$$

где $b_{n}$ и $a_{i,j}$ являются функциями x . В матричной записи эту систему можно записать (опуская " ( x ) ")

$$\mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .$$

Метод решения аналогичен методу решения одного линейного дифференциального уравнения первого порядка, но с усложнениями, связанными с некоммутативностью матричного умножения.

Позволять

$$\mathbf {u} '=A\mathbf {u} .$$

быть однородным уравнением, связанным с приведенным выше матричным уравнением.Его решения образуют векторное пространство размерности n и, следовательно, являются столбцами квадратной матрицы функций. $U(x)$, определитель которого не является нулевой функцией. Если n = 1 или A — матрица констант, или, в более общем смысле, если A коммутирует со своей первообразной $\textstyle B=\int Adx$, то можно U равным экспоненте B выбрать . Фактически в этих случаях

$${\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).$$

В общем случае для однородного уравнения не существует решения в замкнутой форме, и приходится использовать либо численный метод , либо метод аппроксимации, такой как расширение Магнуса .

Зная матрицу U , общее решение неоднородного уравнения имеет вид

$$\mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,$$

где матрица-столбец $\mathbf {y_{0}}$ – произвольная константа интегрирования .

Если начальные условия заданы как

$$\mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},$$

решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, есть

$$\mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.$$

порядок с

Линейное обыкновенное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами решается в квадратурах , т. е. выражается через интегралы . Это не относится к заказу как минимум два. Это основной результат теории Пикара-Вессио , которая была инициирована Эмилем Пикаром и Эрнестом Вессио и чьи недавние разработки называются дифференциальной теорией Галуа .

Невозможность решения в квадратурах можно сравнить с теоремой Абеля–Руффини , которая утверждает, что алгебраическое уравнение степени не ниже пятой, вообще говоря, не может быть решено в радикалах. Эта аналогия распространяется на методы доказательства и мотивирует название дифференциальной теории Галуа .

Как и в алгебраическом случае, теория позволяет решить, какие уравнения можно решить в квадратурах, и, если возможно, решить их. Однако для обеих теорий необходимые вычисления чрезвычайно сложны даже на самых мощных компьютерах.

Тем не менее, случай второго порядка с рациональными коэффициентами был полностью решен алгоритмом Ковачича .

Уравнение Коши–Эйлера

Уравнения Коши – Эйлера являются примерами уравнений любого порядка с переменными коэффициентами, которые можно решить явно. Это уравнения вида

$$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,$$

где $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$ являются постоянными коэффициентами.

Голономные функции

Основная статья: голономная функция

, Голономная функция также называемая D-конечной функцией , — это функция, которая является решением однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами.

Большинство функций, которые обычно рассматриваются в математике, являются голономными или частными голономными функциями. Фактически, голономные функции включают в себя многочлены , алгебраические функции , логарифмы , показательную функцию , синус , косинус , гиперболический синус , гиперболический косинус , обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции , а также множество специальных функций, таких как функции Бесселя и гипергеометрические функции .

Голономные функции обладают несколькими свойствами замыкания ; в частности, голономны суммы, произведения, производные и интегралы голономных функций. Более того, эти свойства замыкания эффективны в том смысле, что существуют алгоритмы вычисления дифференциального уравнения результата любой из этих операций, зная дифференциальные уравнения входа.

Полезность концепции голономных функций вытекает из следующей теоремы Цейльбергера.

— Голономная последовательность это последовательность чисел, которая может быть сгенерирована рекуррентным соотношением с полиномиальными коэффициентами. Коэффициенты ряда Тейлора в точке голономной функции образуют голономную последовательность. И наоборот, если последовательность коэффициентов степенного ряда голономна, то этот ряд определяет голономную функцию (даже если радиус сходимости равен нулю). Существуют эффективные алгоритмы для обоих преобразований, то есть для вычисления рекуррентного соотношения из дифференциального уравнения и наоборот .

Отсюда следует, что если представить (в компьютере) голономные функции с помощью их определяющих дифференциальных уравнений и начальных условий, большинство вычислительных операций над этими функциями может выполняться автоматически, например, производная , неопределенный и определенный интеграл , быстрое вычисление рядов Тейлора (спасибо рекуррентного соотношения на его коэффициенты), вычисление с высокой точностью с сертифицированной границей ошибки аппроксимации, пределы , локализация особенностей , асимптотическое поведение на бесконечности и вблизи особенностей, доказательство тождеств и т. д.

См. также

• Ипотека с постоянным погашением
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Линейное разностное уравнение
• Изменение параметров

Ссылки

• Биркгоф, Гаррет и Рота, Джан-Карло (1978), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc., ISBN  0-471-07411-Х
• Гершенфельд, Нил (1999), Природа математического моделирования , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-57095-4
• Робинсон, Джеймс К. (2004), Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-82650-0

Внешние ссылки

• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• Динамический словарь математических функций . Автоматическое и интерактивное исследование многих голономных функций.