Изменение параметров

В математике , изменение параметров , также известное как изменение констант является общим методом решения неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений .

первого порядка Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений обычно можно найти решения с помощью интегрирующих коэффициентов или неопределенных коэффициентов со значительно меньшими усилиями, хотя эти методы используют эвристику , предполагающую угадывание, и не работают для всех неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

Изменение параметров распространяется на линейные уравнения в частных производных и , в частности на неоднородные задачи для линейных эволюционных уравнений, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение и вибрирующей пластины уравнение . В этом контексте метод чаще известен как принцип Дюамеля , названный в честь Жана-Мари Дюамеля (1797–1872), который первым применил этот метод для решения неоднородного уравнения теплопроводности. Иногда само изменение параметров называют принципом Дюамеля и наоборот.

История

Метод изменения параметров был впервые предложен швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783), а позднее завершен итальянско-французским математиком Жозефом-Луи Лагранжем (1736–1813). ^[1]

Предшественник метода изменения элементов орбиты небесного тела появился в работах Эйлера в 1748 году, когда он изучал взаимные возмущения Юпитера и Сатурна. ^[2] В своем исследовании движения Земли в 1749 году Эйлер получил дифференциальные уравнения для элементов орбиты. ^[3] В 1753 году он применил этот метод к изучению движения Луны. ^[4]

Лагранж впервые применил этот метод в 1766 году. ^[5] Между 1778 и 1783 годами он развил этот метод в двух сериях мемуаров: одна об изменениях в движении планет. ^[6] и еще один об определении орбиты кометы по трем наблюдениям. ^[7] В 1808–1810 гг. Лагранж в третьей серии статей придал методу вариации параметров окончательный вид. ^[8]

Описание метода

Дано обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение порядка n

y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x).

( я )

Позволять $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ быть базисом векторного пространства решений соответствующего однородного уравнения

y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.

( ii )

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид

y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)

( iii )

где $c_{i}(x)$ являются дифференцируемыми функциями, которые, как предполагается, удовлетворяют условиям

\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0,\quad j=0,\ldots ,n-2.

( ив )

Начиная с ( iii ), повторное дифференцирование в сочетании с повторным использованием ( iv ) дает

y_{p}^{(j)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x),\quad j=0,\ldots ,n-1\,.

( v )

Последнее дифференцирование дает

y_{p}^{(n)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x)\,.

( мы )

Подставляя ( iii ) в ( i ) и применяя ( v ) и ( vi ), получаем, что

\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x).

( вий )

Линейную систему ( iv и vii ) из n уравнений можно затем решить, используя правило Крамера, что дает

c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n

где $W(x)$ – определитель Вронского базиса $y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)$ и $W_{i}(x)$ – определитель Вронского базиса с i -го столбца на заменой $(0,0,\ldots ,b(x)).$

Тогда частное решение неоднородного уравнения можно записать в виде

\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.

Интуитивное объяснение

Рассмотрим уравнение принудительной бездисперсионной пружины в подходящих единицах:

x''(t)+x(t)=F(t).

Здесь $x$ — смещение пружины из положения равновесия $x = 0$ , а $F (t)$ — внешняя приложенная сила, зависящая от времени. Когда внешняя сила равна нулю, это однородное уравнение (решениями которого являются линейные комбинации синусов и косинусов, соответствующие пружине, колеблющейся с постоянной полной энергией).

Физически решение можно построить следующим образом. Между временами $t=s$ и $t=s+ds$ , импульс, соответствующий решению, имеет чистое изменение $F(s)\,ds$ (см.: Импульс (физика) ). Решение неоднородного уравнения в настоящий момент $t > 0$ получается путем линейного суперпозиции полученных таким образом решений при $изменении s$ между 0 и $t$ .

Однородная начальная задача, представляющая собой малый импульс $F(s)\,ds$ добавляется в решение во времени $t=s$ , является

x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.

Легко увидеть, что единственным решением этой проблемы является $x(t)=F(s)\sin(t-s)\,ds$ . Линейная суперпозиция всех этих решений определяется интегралом:

x(t)=\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds.

Чтобы убедиться, что это удовлетворяет требуемому уравнению:

x'(t)=\int _{0}^{t}F(s)\cos(t-s)\,ds

x''(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds=F(t)-x(t),

при необходимости (см.: Интегральное правило Лейбница ).

Общий метод изменения параметров позволяет решить неоднородное линейное уравнение

Lx(t)=F(t)

рассматривая линейный дифференциальный оператор второго порядка L как чистую силу, таким образом, общий импульс, передаваемый решению между моментами s и s + ds , равен F ( s ) ds . Обозначим через $x_{s}$ решение однородной начальной задачи

Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.

Тогда частное решение неоднородного уравнения есть

x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,

результат линейного суперпозиции бесконечно малых однородных решений. Существуют обобщения линейных дифференциальных операторов более высокого порядка.

На практике изменение параметров обычно предполагает фундаментальное решение однородной задачи, бесконечно малые решения. $x_{s}$ тогда оно задается в терминах явных линейных комбинаций линейно независимых фундаментальных решений. В случае принудительной бездисперсионной пружины ядро $\sin(t-s)=\sin t\cos s-\sin s\cos t$ – связанное с ним разложение на фундаментальные решения.

Примеры

Уравнение первого порядка

y'+p(x)y=q(x)

Дополнительным решением нашего исходного (неоднородного) уравнения является общее решение соответствующего однородного уравнения (записанного ниже):

y'+p(x)y=0

Это однородное дифференциальное уравнение можно решить разными методами, например разделением переменных :

{\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0

{\frac {dy}{dx}}=-p(x)y

{dy \over y}=-{p(x)\,dx},

\int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx

\ln |y|=-\int p(x)\,dx+C

y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}

Таким образом, дополнительное решение нашего исходного уравнения будет:

y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}

Теперь вернемся к решению неоднородного уравнения:

y'+p(x)y=q(x)

Используя метод вариации параметров, частное решение формируется путем умножения дополнительного решения на неизвестную функцию C ( x ):

y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}

Подставив частное решение в неоднородное уравнение, можно найти C ( x ):

C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)

C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)

C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}

C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}

Нам нужно только одно частное решение, поэтому мы произвольно выбираем $C_{1}=0$ для простоты. Поэтому частное решение:

y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx

Окончательное решение дифференциального уравнения:

{\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}

При этом воссоздается метод интегрирования факторов .

Конкретное уравнение второго порядка

Давайте решим

y''+4y'+4y=\cosh x

Мы хотим найти общее решение дифференциального уравнения, то есть хотим найти решения однородного дифференциального уравнения

y''+4y'+4y=0.

Характеристическое уравнение :

\lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0

С $\lambda =-2$ является повторяющимся корнем, мы должны ввести коэффициент x для одного решения, чтобы обеспечить линейную независимость: $u_{1}=e^{-2x}$ и $u_{2}=xe^{-2x}$ . Вронскиан равен этих двух функций

W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.

Поскольку вронскиан не равен нулю, эти две функции линейно независимы, поэтому на самом деле это общее решение однородного дифференциального уравнения (а не просто его подмножество).

Мы ищем функции A ( x ) и B ( x ) так, чтобы A ( x ) u ₁ + B ( x ) u ₂ было частным решением неоднородного уравнения. Нам нужно только вычислить интегралы

A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x

Напомним, что для этого примера

b(x)=\cosh x

То есть,

A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}

B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}

где $C_{1}$ и $C_{2}$ являются константами интегрирования.

Общее уравнение второго порядка

Имеем дифференциальное уравнение вида

u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)

и определим линейный оператор

L=D^{2}+p(x)D+q(x)

где D представляет собой дифференциальный оператор . Поэтому нам необходимо решить уравнение $Lu(x)=f(x)$ для $u(x)$ , где $L$ и $f(x)$ известны.

Сначала нам необходимо решить соответствующее однородное уравнение:

u''+p(x)u'+q(x)u=0

по выбранной нами технике. Как только мы получили два линейно независимых решения этого однородного дифференциального уравнения (поскольку это ОДУ второго порядка) — назовем их u ₁ и u ₂ — мы можем приступить к варьированию параметров.

Теперь ищем общее решение дифференциального уравнения $u_{G}(x)$ который мы предполагаем иметь вид

u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).

Здесь, $A(x)$ и $B(x)$ неизвестны и $u_{1}(x)$ и $u_{2}(x)$ являются решениями однородного уравнения. (Заметьте, что если $A(x)$ и $B(x)$ являются константами, то $Lu_{G}(x)=0$ .) Поскольку приведенное выше уравнение представляет собой только одно уравнение и у нас есть две неизвестные функции, разумно наложить второе условие. Мы выбираем следующее:

A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.

Сейчас,

{\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}

Снова дифференцируем (опуская промежуточные шаги)

u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).

Теперь мы можем записать действие L на u _G как

Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).

Поскольку u ₁ и u ₂ — решения, то

Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).

Имеем систему уравнений

{\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.

Расширение,

{\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.

Таким образом, приведенная выше система точно определяет условия

A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.

A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.

Мы ищем A ( x ) и B ( x ) из этих условий, поэтому, учитывая

{\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}

мы можем решить для ( A ′( x ), B ′( x )) ^Т, так

{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},

где W обозначает вронскиан u ₁ и u ₂ . (Мы знаем, что W не равно нулю, из предположения, что u ₁ и u ₂ линейно независимы.) Итак,

{\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}

Хотя однородные уравнения относительно легко решить, этот метод позволяет вычислить коэффициенты общего решения однородного уравнения и, таким образом, можно определить полное общее решение неоднородного уравнения.

Обратите внимание, что $A(x)$ и $B(x)$ определяются только с точностью до произвольной аддитивной константы ( константы интегрирования ). Добавление константы в $A(x)$ или $B(x)$ не меняет значение $Lu_{G}(x)$ потому что дополнительный член представляет собой просто линейную комбинацию u ₁ и u ₂ , которая является решением уравнения $L$ по определению.

См. также

Формула Алексеева–Грёбнера , обобщение формулы вариации констант.
Сокращение порядка

Примечания

^
См.:
- Форест Рэй Моултон , Введение в небесную механику , 2-е изд. (впервые опубликовано компанией Macmillan в 1914 году; переиздано в 1970 году издательством Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк), стр. 431 .
- Эдгар Оделл Ловетт (1899) «Теория возмущений и теория Ли контактных преобразований», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , том. 30, страницы 47–149; особенно см. стр. 48–61.
^ Эйлер, Л. (1748) «Исследования по вопросу о неравенствах движения Сатурна и Юпитера, предмет, предложенный на премию 1748 года Королевской академией наук Парижа» [Исследования по вопросу о различия в движении Сатурна и Юпитера; этот предмет предложен на премию Королевской академии наук (Париж) в 1748 году] (Париж, Франция: Ж. Мартен, Ж. Б. Куаньяр и Х. Л. Герен, 1749).
^ Эйлер, Л. (1749) «Исследование прецессии равноденствий и нутации земной оси», История [или Мемуары ] Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 289 –325 [опубликовано в 1751 г.].
^ Эйлер, Л. (1753) Теория движения Луны: демонстрация всех ее неравенств ... (Санкт-Петербург, Россия: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Императорская академия наук (Санкт-Петербург)], 1753).
^ Лагранж, Ж.-Л. (1766) «Решение различных проблем интегрального исчисления», «Смеси философии и математики Королевского общества Турина» , том. 3, стр. 179–380.
^
См.:
- Лагранж, Ж.-Л. (1781) «Теория вековых изменений элементов планет. Первая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 199–276. .
- Лагранж, Ж.-Л. (1782) «Теория вековых изменений элементов планет. Вторая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 169–292. .
- Лагранж, Ж.-Л. (1783) «Теория периодических изменений движений планет. Первая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 161–190. .
^
См.:
- Лагранж, Ж.-Л. (1778) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям, первый мемуар» , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), стр. 111–123 [опубликовано] в 1780 году].
- Лагранж, Ж.-Л. (1778) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям, второй мемуар» , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), стр. 124–161 [ опубликовано в 1780 г.].
- Лагранж, Ж.-Л. (1783) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям. Третий мемуар, в котором дано прямое и общее решение проблемы». , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 296–332 [опубликовано в 1785 году].
^
См.:
- Лагранж, Ж.-Л. (1808) «К теории изменений элементов планет и, в частности, изменений главных осей их орбит», Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 713–768 .
- Лагранж, Ж.-Л. (1809) «Об общей теории изменения произвольных констант во всех задачах механики», Mémoires de la première Classe de l’Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 771–805 .
- Лагранж, Ж.-Л. (1810) «Второй мемуар по общей теории изменения произвольных констант во всех задачах механики...», Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 809–816 .

Ссылки

Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . МакГроу-Хилл .
Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). Уайли. стр. 186–192, 237–241.
Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Американское математическое общество .

Внешние ссылки

[1] См.:
Форест Рэй Моултон , Введение в небесную механику , 2-е изд. (впервые опубликовано компанией Macmillan в 1914 году; переиздано в 1970 году издательством Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк), стр. 431 .
Эдгар Оделл Ловетт (1899) «Теория возмущений и теория Ли контактных преобразований», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , том. 30, страницы 47–149; особенно см. стр. 48–61.

[2] Форест Рэй Моултон , Введение в небесную механику , 2-е изд. (впервые опубликовано компанией Macmillan в 1914 году; переиздано в 1970 году издательством Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк), стр. 431 .

[3] Эдгар Оделл Ловетт (1899) «Теория возмущений и теория Ли контактных преобразований», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , том. 30, страницы 47–149; особенно см. стр. 48–61.

[2] Эйлер, Л. (1748) «Исследования по вопросу о неравенствах движения Сатурна и Юпитера, предмет, предложенный на премию 1748 года Королевской академией наук Парижа» [Исследования по вопросу о различия в движении Сатурна и Юпитера; этот предмет предложен на премию Королевской академии наук (Париж) в 1748 году] (Париж, Франция: Ж. Мартен, Ж. Б. Куаньяр и Х. Л. Герен, 1749).

[3] Эйлер, Л. (1749) «Исследование прецессии равноденствий и нутации земной оси», История [или Мемуары ] Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 289 –325 [опубликовано в 1751 г.].

[4] Эйлер, Л. (1753) Теория движения Луны: демонстрация всех ее неравенств ... (Санкт-Петербург, Россия: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Императорская академия наук (Санкт-Петербург)], 1753).

[5] Лагранж, Ж.-Л. (1766) «Решение различных проблем интегрального исчисления», «Смеси философии и математики Королевского общества Турина» , том. 3, стр. 179–380.

[6] См.:
Лагранж, Ж.-Л. (1781) «Теория вековых изменений элементов планет. Первая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 199–276. .
Лагранж, Ж.-Л. (1782) «Теория вековых изменений элементов планет. Вторая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 169–292. .
Лагранж, Ж.-Л. (1783) «Теория периодических изменений движений планет. Первая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 161–190. .

[9] Лагранж, Ж.-Л. (1781) «Теория вековых изменений элементов планет. Первая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 199–276. .

[10] Лагранж, Ж.-Л. (1782) «Теория вековых изменений элементов планет. Вторая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 169–292. .

[11] Лагранж, Ж.-Л. (1783) «Теория периодических изменений движений планет. Первая часть, ...», Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 161–190. .

[7] См.:
Лагранж, Ж.-Л. (1778) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям, первый мемуар» , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), стр. 111–123 [опубликовано] в 1780 году].
Лагранж, Ж.-Л. (1778) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям, второй мемуар» , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), стр. 124–161 [ опубликовано в 1780 г.].
Лагранж, Ж.-Л. (1783) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям. Третий мемуар, в котором дано прямое и общее решение проблемы». , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 296–332 [опубликовано в 1785 году].

[13] Лагранж, Ж.-Л. (1778) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям, первый мемуар» , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), стр. 111–123 [опубликовано] в 1780 году].

[14] Лагранж, Ж.-Л. (1778) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям, второй мемуар» , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), стр. 124–161 [ опубликовано в 1780 г.].

[15] Лагранж, Ж.-Л. (1783) «К вопросу об определении орбит комет по трем наблюдениям. Третий мемуар, в котором дано прямое и общее решение проблемы». , Новые мемуары Королевской академии наук и художественной литературы (Берлин), страницы 296–332 [опубликовано в 1785 году].

[8] См.:
Лагранж, Ж.-Л. (1808) «К теории изменений элементов планет и, в частности, изменений главных осей их орбит», Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 713–768 .
Лагранж, Ж.-Л. (1809) «Об общей теории изменения произвольных констант во всех задачах механики», Mémoires de la première Classe de l’Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 771–805 .
Лагранж, Ж.-Л. (1810) «Второй мемуар по общей теории изменения произвольных констант во всех задачах механики...», Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 809–816 .

[17] Лагранж, Ж.-Л. (1808) «К теории изменений элементов планет и, в частности, изменений главных осей их орбит», Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 713–768 .

[18] Лагранж, Ж.-Л. (1809) «Об общей теории изменения произвольных констант во всех задачах механики», Mémoires de la première Classe de l’Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 771–805 .

[19] Лагранж, Ж.-Л. (1810) «Второй мемуар по общей теории изменения произвольных констант во всех задачах механики...», Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Перепечатано в: Жозеф-Луи Лагранж с Жозефом-Альфредом Серре, изд., Oeuvres de Lagrange (Париж, Франция: Готье-Виллар, 1873), том. 6, стр. 809–816 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]