Принцип Дюамеля

В математике , а точнее в уравнениях в частных производных , принцип Дюамеля — это общий метод получения решений неоднородных линейных эволюционных уравнений, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение и уравнение вибрирующей пластины . Он назван в честь Жана-Мари Дюамеля, который первым применил этот принцип к уравнению неоднородной теплопроводности, которое моделирует, например, распределение тепла в тонкой пластине, нагреваемой снизу. Для линейных эволюционных уравнений без пространственной зависимости, таких как гармонический осциллятор , принцип Дюамеля сводится к методу вариации параметров, технике решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений . Это также незаменимый инструмент при изучении нелинейных уравнений в частных производных, таких как уравнения Навье – Стокса и нелинейное уравнение Шредингера , где нелинейность рассматривается как неоднородность.

Философия, лежащая в основе принципа Дюамеля, заключается в том, что можно перейти от решения проблемы Коши (или проблемы начального значения) к решению неоднородной проблемы. Рассмотрим, например, пример уравнения теплопроводности, моделирующего распределение тепловой энергии u в R ^н . Обозначая через u _t ( x , t ) производную по времени от u ( x , t ) , задача начального значения $${\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}$$ где g — начальное распределение тепла. Напротив, неоднородная задача для уравнения теплопроводности $${\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}$$ соответствует добавлению внешней тепловой энергии f ( x , t ) dt в каждой точке. Интуитивно можно представить себе неоднородную задачу как набор однородных задач, каждая из которых начинается заново в различном временном интервале t = t ₀ . По линейности можно сложить (интегрировать) полученные решения по времени t ₀ и получить решение неоднородной задачи. В этом суть принципа Дюамеля.

Общие соображения

Формально рассмотрим линейное неоднородное эволюционное уравнение для функции $$u:D\times (0,\infty )\to \mathbb {R}$$ с пространственной областью D в R ^н , формы $${\begin{cases}u_{t}(x,t)-Lu(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in D\times (0,\infty )\\u|_{\partial D}=0&\\u(x,0)=0&x\in D,\end{cases}}$$ где L — линейный дифференциальный оператор, не включающий производных по времени.

Формально принцип Дюамеля состоит в том, что решение этой проблемы есть $$u(x,t)=\int _{0}^{t}(P^{s}f)(x,t)\,ds$$ где Р ^с f — решение проблемы $${\begin{cases}v_{t}-Lv=0&(x,t)\in D\times (s,\infty )\\v|_{\partial D}=0&\\v(x,s)=f(x,s)&x\in D.\end{cases}}$$ Подынтегральная функция является запаздывающим решением $P^{s}f$, оцененный в момент времени t и представляющий эффект в более поздний момент t бесконечно малой силы $f(x,s)\,ds$ применяется в момент времени s .

Принцип Дюамеля также справедлив для линейных систем (с вектор-функциями u ), а это, в свою очередь, дает обобщение на производные с высшим t , например, те, которые появляются в волновом уравнении (см. Ниже). Справедливость принципа зависит от возможности решить однородную задачу в соответствующем функциональном пространстве и от того, что решение должно демонстрировать разумную зависимость от параметров, чтобы интеграл был четко определен. Точные аналитические условия для u и f зависят от конкретного приложения.

Примеры

Волновое уравнение

Линейное волновое уравнение моделирует смещение u идеализированной бездисперсионной одномерной струны в терминах производных по времени t и пространству x :

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=f(x,t).$$

Функция f ( x , t ) в натуральных единицах представляет внешнюю силу, приложенную к струне в позиции ( x , t ) . Чтобы быть подходящей физической моделью природы, должна быть возможность решить ее для любого начального состояния, в котором находится струна, определяемого ее начальным смещением и скоростью:

$$u(x,0)=u_{0}(x),\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=v_{0}(x).$$

В более общем смысле мы должны быть в состоянии решить уравнение с данными, указанными на любом t = постоянном срезе:

$$u(x,T)=u_{T}(x),\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,T)=v_{T}(x).$$

Чтобы разработать решение от любого заданного интервала времени T до T + dT , к решению необходимо добавить вклад силы. Этот вклад происходит от изменения скорости струны на f ( x , T ) dT . То есть, чтобы получить решение в момент времени T + dT из решения в момент времени T , мы должны добавить к нему новое (прямое) решение однородного ( без внешних сил) волнового уравнения

$${\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=0$$

с начальными условиями

$$U(x,T)=0,\qquad {\frac {\partial U}{\partial t}}(x,T)=f(x,T)dT.$$

Решение этого уравнения достигается прямым интегрированием:

$$U(x,t)=\left({\frac {1}{2c}}\int _{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)}f(\xi ,T)\,d\xi \right)\,dT$$

(Выражение в скобках просто $P^{T}f(x,t)$ в обозначениях общего метода, приведенных выше.) Таким образом, решение исходной задачи с начальными значениями получается, начиная с решения задачи с той же задачей с заданными начальными значениями, но с нулевым начальным смещением, и добавляя к этому (интегрируя) вклады присоединенной силы на интервалах времени от T до T + dT :

$$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x+ct)+u_{0}(x-ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}v_{0}(y)dy+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)}f(\xi ,T)\,d\xi \,dT.$$

Линейный ОДУ с постоянным коэффициентом

Принцип Дюамеля — это результат того, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных можно решить, сначала найдя решение для ступенчатого ввода, а затем наложив его с помощью интеграла Дюамеля . Пусть имеется постоянный коэффициент m -го порядка неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения . $$P(\partial _{t})u(t)=F(t)$$ $$\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1$$ где $$P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.$$

Мы можем свести это к решению однородного ОДУ, используя следующий метод. Все шаги выполняются формально, игнорируя необходимые требования для четкого определения решения.

Сначала позвольте G решить $$P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.$$

Определять $H=G\chi _{[0,\infty )}$, с $\chi _{[0,\infty )}$ являющаяся характеристической функцией интервала $[0,\infty )$. Тогда у нас есть

$$P(\partial _{t})H=\delta$$

в смысле распределений . Поэтому

$${\begin{aligned}u(t)&=(H\ast F)(t)\\&=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau \end{aligned}}$$

решает ОДУ.

Линейный PDE с постоянным коэффициентом

с постоянным коэффициентом. В более общем смысле, предположим, что у нас есть неоднородное уравнение в частных производных

$$P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)$$

где $$D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}.$$

Мы можем свести это к решению однородного ОДУ, используя следующий метод. Все шаги выполняются формально, игнорируя необходимые требования для четкого определения решения.

Во-первых, приняв преобразование Фурье по x, мы имеем $$P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).$$

Предположим, что $P(\partial _{t},\xi )$ является ОДУ m -го порядка в t . Позволять $a_{m}$ быть коэффициентом члена высшего порядка $P(\partial _{t},\xi )$. Теперь для каждого $\xi$ позволять $G(t,\xi )$ решать $$P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\text{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.$$

Определять $H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$. Тогда у нас есть $$P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)$$ в смысле распределений . Поэтому $${\begin{aligned}{\hat {u}}(t,\xi )&=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)\\&=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi ){\hat {F}}(t-\tau ,\xi )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi ){\hat {F}}(\tau ,\xi )\,d\tau \end{aligned}}$$ решает УЧП (после преобразования обратно в x ).

См. также

• Замедленный потенциал
• Распространитель
• Импульсный отклик
• Изменение параметров