Интеграл Дюамеля

В теории вибраций интеграл Дюамеля — это способ расчета реакции линейных систем и конструкций на произвольное изменяющееся во времени внешнее возмущение.

Введение

Фон

Реакция линейной вязкодемпфированной системы с одной степенью свободы (SDOF) на изменяющееся во времени механическое возбуждение p ( t ) задается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)$

где m — (эквивалентная) масса, x — амплитуда вибрации, t — время, c — коэффициент вязкого демпфирования, а k — жесткость системы или конструкции.

Если система изначально находится в положении равновесия , откуда на нее действует единичный импульс в момент t = 0, т. е. p ( t ) в приведенном выше уравнении является дельта-функцией Дирака δ ( t ), ${\textstyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$, то решив дифференциальное уравнение, можно получить фундаментальное решение (известное как функция единичного импульсного отклика )

$h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}$

где ${\textstyle \varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$ называется коэффициентом демпфирования системы, ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ - собственная угловая частота незатухающей системы (когда c =0) и ${\textstyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ – угловая частота при учете эффекта демпфирования (при $c\neq 0$). Если импульс происходит при t = τ вместо t =0, т.е. $p(t)=\delta (t-\tau )$, импульсная характеристика

$h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]$， $t\geq \tau$

Заключение

Рассматривая произвольно меняющееся возбуждение p ( t ) как суперпозицию серии импульсов:

$p(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )$

тогда из линейности системы известно, что общий отклик также можно разбить на суперпозицию серии импульсных откликов:

$x(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )$

Сдача в аренду $\Delta \tau \to 0$и заменив суммирование интегрированием , приведенное выше уравнение строго справедливо

$x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }$

Подстановка выражения h ( t - τ ) в приведенное выше уравнение приводит к общему выражению интеграла Дюамеля

$x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }$

Математическое доказательство

Приведенное выше уравнение динамического равновесия SDOF в случае p ( t ) = 0 представляет собой однородное уравнение :

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0$, где ${\bar {c}}={\frac {c}{m}},{\bar {k}}={\frac {k}{m}}$

Решение этого уравнения:

$x_{h}(t)=C_{1}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\left(-{\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}$

Замена: $A={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;B={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A$ приводит к:

$x_{h}(t)=C_{1}e^{-B\cdot t}\;+\;C_{2}e^{-A\cdot t}$

Одно частное решение неоднородного уравнения: ${\textstyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p}}(t)}$, где ${\textstyle {\bar {p}}(t)={\frac {p(t)}{m}}}$, может быть получено методом Лагранжа для получения частных решений неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений .

Это решение имеет вид:

$x_{p}(t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}$

Теперь замена: ${\textstyle \left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\right|_{t=z}=Q_{z},\left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\right|_{t=z}=R_{z}}$,где ${\textstyle \left.\int x(t)dt\right|_{t=z}}$ является примитивом x ) , ( t вычисленным в момент t = z , в случае z = t этот интеграл является самим примитивом, дает:

$x_{p}(t)={\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}$

Наконец, общее решение приведенного выше неоднородного уравнения представляется в виде:

$x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}$

с производной по времени:

${\frac {dx}{dt}}=-Ae^{-At}\cdot C_{2}-Be^{-Bt}\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\left[{\dot {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{\dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}\right]$, где ${\dot {Q_{t}}}=p(t)\cdot e^{At},{\dot {R_{t}}}=p(t)\cdot e^{Bt}$

Чтобы найти неизвестные константы $C_{1},C_{2}$, будут применены нулевые начальные условия:

$x(t)|_{t=0}=0:C_{1}+C_{2}+{\frac {Q_{0}\cdot 1-R_{0}\cdot 1}{P}}=0$ ⇒ $C_{1}+C_{2}={\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}$

$\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_{0}]=0$ ⇒ $A\cdot C_{2}+B\cdot C_{1}={\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]$

Теперь, объединив оба начальных условия вместе, получим следующую систему уравнений:

$\left.{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;+&&\;C_{2}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{alignedat}}$

Обратная замена констант $C_{1}$ и $C_{2}$ в приведенное выше выражение для x ( t ) дает:

$x(t)={\frac {Q_{t}-Q_{0}}{P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}$

Замена $Q_{t}-Q_{0}$ и $R_{t}-R_{0}$ (разница между примитивами при t = t и t =0) с определенными интегралами (по другой переменной τ ) выявит общее решение с нулевыми начальными условиями, а именно:

$x(t)={\frac {1}{P}}\cdot \left[\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{B\tau }d\tau }\cdot e^{-Bt}\right]$

Наконец, заменив $c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m$, соответственно ${\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}$, где ξ<1 дает:

$P=2\omega _{D}i,\;A=\xi \omega -\omega _{D}i,\;B=\xi \omega +\omega _{D}i$, где $\omega _{D}=\omega \cdot {\sqrt {1-\xi ^{2}}}$ а я — мнимая единица .

Подстановка этих выражений в приведенное выше общее решение с нулевыми начальными условиями и использование экспоненциальной формулы Эйлера приведет к исключению мнимых членов и откроет решение Дюамеля:

$x(t)={\frac {1}{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )e^{-\xi \omega (t-\tau )}\sin(\omega _{D}(t-\tau ))d\tau }$

См. также

• Принцип Дюамеля

Ссылки

• Р. В. Клаф, Дж. Пензиен, Динамика структур , Mc-Graw Hill Inc., Нью-Йорк, 1975.
• Анил К. Чопра, Динамика конструкций - теория и приложения к сейсмостойкому проектированию , Pearson Education Asia Limited и Tsinghua University Press, Пекин, 2001 г.
• Леонард Мейрович, «Элементы анализа вибрации» , Mc-Graw Hill Inc., Сингапур, 1986 г.

Внешние ссылки

• Формула Дюамеля в «Дисперсивной Wiki».