Метод конечных элементов в строительной механике

Метод конечных элементов (МКЭ) — это мощный метод, первоначально разработанный для численного решения сложных задач строительной механики , и он остается методом выбора для сложных систем. В МКЭ структурная система моделируется набором соответствующих конечных элементов, соединенных между собой в дискретных точках, называемых узлами. Элементы могут иметь физические свойства, такие как толщина, коэффициент теплового расширения , плотность , модуль Юнга , модуль сдвига и коэффициент Пуассона .

История

Истоки конечного метода можно проследить до матричного анализа структур. ^[1]^[2] где была введена концепция подхода матрицы смещения или жесткости. Концепции конечных элементов были разработаны на основе инженерных методов в 1950-х годах. Метод конечных элементов получил настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах Джоном Аргирисом и его сотрудниками; в Штутгартском университете — Рэй В. Клаф ; в Калифорнийском университете в Беркли — Ольгердом Зенкевичем и его коллегами Эрнестом Хинтоном , Брюсом Айронсом ; ^[3] в Университете Суонси — Филипп Дж. Сиарле ; в Парижском университете ; в Корнеллском университете Ричардом Галлахером и его коллегами. Оригинальные работы, например, Аргириса. ^[4] и Клаф ^[5] стал основой для современных методов структурного анализа методом конечных элементов.

Прямые или изогнутые одномерные элементы с физическими свойствами, такими как осевая жесткость, жесткость на изгиб и кручение. Этот тип элемента подходит для моделирования тросов, раскосов, ферм, балок, ребер жесткости, решеток и рам. Прямые элементы обычно имеют два узла, по одному на каждом конце, а изогнутым элементам потребуется как минимум три узла, включая конечные узлы. Элементы расположены на центроидальной оси реальных элементов.

Двумерные элементы, которые сопротивляются только плоскостным силам за счет действия мембраны (плоское напряжение , плоская деформация ), и пластины, которые сопротивляются поперечным нагрузкам за счет поперечного сдвига и изгиба (пластины и оболочки ). Они могут иметь различные формы, например, плоские или изогнутые треугольники и четырехугольники . Узлы обычно размещаются по углам элемента, а при необходимости для большей точности дополнительные узлы можно разместить по краям элемента или даже внутри элемента. Элементы расположены посередине фактической толщины слоя.
Элементы в форме тора для осесимметричных задач, таких как мембраны, толстые пластины, оболочки и твердые тела. Сечение элементов аналогично ранее описанным типам: одномерное для тонких пластин и оболочек и двумерное для твердых, толстых пластин и оболочек.
Трехмерные элементы для моделирования трехмерных тел, таких как детали машин , плотины , насыпи или грунтовые массивы. Общие формы элементов включают тетраэдры и шестигранники . Узлы размещаются в вершинах и, возможно, на гранях элемента или внутри элемента.

Соединение и перемещение элементов

Элементы связаны между собой только во внешних узлах, а в целом они должны максимально точно охватывать всю область. Узлы будут иметь узловые (векторные) смещения или степени свободы , которые могут включать в себя перемещение, вращение, а для специальных приложений - производные смещений более высокого порядка. Когда узлы смещаются, они будут перетаскивать элементы определенным образом, продиктованным формулировкой элемента. Другими словами, перемещения любых точек элемента будут интерполированы из узловых перемещений, и это основная причина приближенности решения.

Практические соображения

С точки зрения приложения важно смоделировать систему так, чтобы:

Условия симметрии или антисимметрии используются для уменьшения размера модели.
Совместимость смещения, включая любые необходимые несплошности, обеспечивается в узлах и предпочтительно также вдоль краев элемента, особенно когда соседние элементы имеют разные типы, материалы или толщину. Совместимость смещений многих узлов обычно можно задать с помощью отношений ограничений.
Поведение элементов должно отражать доминирующие действия реальной системы, как локально, так и глобально.
Сетка элемента должна быть достаточно мелкой, чтобы обеспечить приемлемую точность. Для оценки точности сетка уточняется до тех пор, пока важные результаты не покажут незначительных изменений. Для более высокой точности соотношение сторон элементов должно быть как можно ближе к единице, а элементы меньшего размера используются на участках с более высоким градиентом напряжений .
Надлежащие опорные ограничения накладываются, при этом особое внимание уделяется узлам на осях симметрии.

Крупномасштабные коммерческие пакеты программного обеспечения часто предоставляют средства для создания сетки и графического отображения входных и выходных данных, что значительно облегчает проверку как входных данных, так и интерпретацию результатов.

Теоретический обзор формулы смещения FEM: от элементов к системе и к решению

Хотя теория МКЭ может быть представлена с разных точек зрения или акцентов, ее развитие для структурного анализа следует более традиционному подходу через принцип виртуальной работы или принцип минимальной полной потенциальной энергии . Подход, основанный на принципе виртуальной работы, является более общим, поскольку он применим как к линейному, так и к нелинейному поведению материала. Метод виртуальной работы является выражением закона сохранения энергии : для консервативных систем работа, добавляемая к системе совокупностью приложенных сил, равна энергии, запасенной в системе в виде энергии деформации компонентов конструкции.

Принцип виртуальных перемещений структурной системы выражает математическое тождество внешней и внутренней виртуальной работы:

{\mbox{External virtual work}}=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV

( 1 )

Другими словами, сумма работы, совершаемой над системой совокупностью внешних сил, равна работе, запасенной в виде энергии деформации в элементах, составляющих систему.

Виртуальную внутреннюю работу в правой части приведенного выше уравнения можно найти путем суммирования виртуальной работы, совершаемой над отдельными элементами. Последнее требует использования функций силы-перемещения, описывающих реакцию каждого отдельного элемента. Следовательно, перемещение конструкции описывается реакцией отдельных (дискретных) элементов в совокупности. Уравнения пишутся только для небольшой области отдельных элементов конструкции, а не для одного уравнения, описывающего реакцию системы в целом (континуума). Последнее привело бы к неразрешимой проблеме, отсюда и полезность метода конечных элементов. Как показано в последующих разделах, уравнение ( 1 ) приводит к следующему основному уравнению равновесия системы:

\mathbf {R} =\mathbf {Kr} +\mathbf {R} ^{o}

( 2 )

где

\mathbf {R}

= вектор узловых сил, представляющий внешние силы, приложенные к узлам системы.

\mathbf {K}

= матрица жесткости системы, которая представляет собой совокупный эффект матриц жесткости отдельных элементов :

\mathbf {k} ^{e}

.

\mathbf {r}

= вектор узловых перемещений системы.

\mathbf {R} ^{o}

= вектор эквивалентных узловых сил, представляющий все внешние воздействия, кроме узловых сил, которые уже включены в предыдущий вектор узловых сил R . Эти внешние воздействия могут включать распределенные или концентрированные поверхностные силы, объемные силы, тепловые эффекты, начальные напряжения и деформации.

После учета ограничений опор узловые перемещения находятся путем решения системы линейных уравнений ( 2 ) в символическом виде:

\mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})

( 3 )

В дальнейшем деформации и напряжения в отдельных элементах можно найти следующим образом:

\mathbf {\epsilon } =\mathbf {Bq}

( 4 )

\mathbf {\sigma } =\mathbf {E} (\mathbf {\epsilon } -\mathbf {\epsilon } ^{o})+\mathbf {\sigma } ^{o}=\mathbf {E} (\mathbf {Bq} -\mathbf {\epsilon } ^{o})+\mathbf {\sigma } ^{o}

( 5 )

где

\mathbf {q}

= вектор узловых перемещений - подмножество вектора перемещений системы r, принадлежащее рассматриваемым элементам.

\mathbf {B}

= матрица деформации-перемещения, которая преобразует узловые смещения q в деформации в любой точке элемента.

\mathbf {E}

= матрица упругости, которая преобразует эффективные деформации в напряжения в любой точке элемента.

\mathbf {\epsilon } ^{o}

= вектор начальных деформаций элементов.

\mathbf {\sigma } ^{o}

= вектор начальных напряжений в элементах.

Применяя уравнение виртуальной работы ( 1 ) к системе, мы можем установить матрицы элементов $\mathbf {B}$ , $\mathbf {k} ^{e}$ а также методика сборки системных матриц $\mathbf {R} ^{o}$ и $\mathbf {K}$ . Другие матрицы, такие как $\mathbf {\epsilon } ^{o}$ , $\mathbf {\sigma } ^{o}$ , $\mathbf {R}$ и $\mathbf {E}$ являются известными значениями и могут быть установлены непосредственно из ввода данных.

Интерполяция или функции формы

Позволять $\mathbf {q}$ – вектор узловых перемещений типового элемента. Смещения в любой другой точке элемента можно найти с помощью интерполяционных функций, символически следующим образом:

\mathbf {u} =\mathbf {N} \mathbf {q}

( 6 )

где

\mathbf {u}

= вектор перемещений в любой точке {x,y,z} элемента.

\mathbf {N}

= матрица функций формы, служащих функциями интерполяции .

Уравнение ( 6 ) приводит к появлению других величин, представляющих большой интерес:

Виртуальные смещения, являющиеся функцией виртуальных узловых смещений:
$\delta \mathbf {u} =\mathbf {N} \delta \mathbf {q}$ ( 6б )
Деформации в элементах, возникающие в результате смещений узлов элемента:
$\mathbf {\epsilon } =\mathbf {Du} =\mathbf {DNq}$ ( 7 )
где $\mathbf {D}$ = матрица дифференциальных операторов , преобразующих смещения в деформации с использованием линейной теории упругости. Уравнение ( 7 ) показывает, что матрица B в ( 4 ) равна
$\mathbf {B} =\mathbf {DN}$ ( 8 )
Виртуальные деформации, соответствующие виртуальным узловым смещениям элемента:
$\delta {\boldsymbol {\epsilon }}=\mathbf {B} \delta \mathbf {q}$ ( 9 )

Внутренняя виртуальная работа в типовом элементе

Для типичного элемента объема $V^{e}$ , внутренняя виртуальная работа за счет виртуальных перемещений получается подстановкой ( 5 ) и ( 9 ) в ( 1 ):

{\mbox{Internal virtual work}}=\int _{V^{e}}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV^{e}=\delta \ \mathbf {q} ^{T}\int _{V^{e}}\mathbf {B} ^{T}{\big \{}\mathbf {E} (\mathbf {Bq} -\mathbf {\epsilon } ^{o})+\mathbf {\sigma } ^{o}{\big \}}\,dV^{e}

( 10 )

Матрицы элементов

Прежде всего для удобства ссылок теперь могут быть определены следующие матрицы, относящиеся к типичным элементам:

Матрица жесткости элемента

\mathbf {K} ^{e}=\int _{V^{e}}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {E} \mathbf {B} \,dV^{e}

( 11 )

Эквивалентный вектор нагрузки элемента

\mathbf {Q} ^{oe}=\int _{V^{e}}-\mathbf {B} ^{T}{\big (}\mathbf {E} \mathbf {\epsilon } ^{o}-\mathbf {\sigma } ^{o}{\big )}\,dV^{e}

( 12 )

Эти матрицы обычно оцениваются численно с использованием квадратуры Гаусса для численного интегрирования .Их использование упрощает ( 10 ) до следующего:

{\mbox{Internal virtual work}}=\delta \ \mathbf {q} ^{T}{\big (}\mathbf {K} ^{e}\mathbf {q} +\mathbf {Q} ^{oe}{\big )}

( 13 )

Виртуальная работа элемента в условиях узловых перемещений системы

Поскольку вектор узловых перемещений q является подмножеством узловых перемещений системы r (для совместимости с соседними элементами), мы можем заменить q на r , расширив размер матриц элементов новыми столбцами и строками нулей:

{\mbox{Internal virtual work}}=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\mathbf {K} ^{e}\mathbf {r} +\mathbf {Q} ^{oe}\right)

( 14 )

где для простоты мы используем те же символы для матриц элементов, которые теперь имеют увеличенный размер, а также соответствующим образом переставлены строки и столбцы.

Системная виртуальная работа

Суммирование внутренней виртуальной работы ( 14 ) для всех элементов дает правую часть ( 1 ):

{\mbox{System internal virtual work}}=\sum _{e}\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\mathbf {k} ^{e}\mathbf {r} +\mathbf {Q} ^{oe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}

( 15 )

Учитывая теперь левую часть ( 1 ), внешняя виртуальная работа системы состоит из:

Работа узловых сил R :
$\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R}$ ( 16 )
Работа, совершаемая внешними силами $\mathbf {T} ^{e}$ со стороны $\mathbf {S} ^{e}$ краев или поверхностей элементов, а также объемных сил $\mathbf {f} ^{e}$
$\sum _{e}\int _{S^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\sum _{e}\int _{V^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}$
Замена ( 6b ) дает:
$\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}$
или
$-\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)$ ( 17а )
где мы ввели дополнительные матрицы элементов, определенные ниже:
$\mathbf {Q} ^{te}=-\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}$ ( 18а )
$\mathbf {Q} ^{fe}=-\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}$ ( 18б )
Опять же, численное интегрирование удобно для их оценки. Аналогичная замена q в ( 17а ) на r дает после перестановки и расширения векторов $\mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}$ :
$-\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)$ ( 17б )

Сборка системных матриц

Сложение ( 16 ), ( 17b ) и приравнивание суммы к ( 15 ) дает: $\delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}$

Поскольку виртуальные перемещения $\delta \ \mathbf {r}$ произвольны, предыдущее равенство сводится к:

$\mathbf {R} =\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)$

Сравнение с ( 2 ) показывает, что:

Матрица жесткости системы получается суммированием матриц жесткости элементов:
$\mathbf {K} =\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}$
Вектор эквивалентных узловых сил получается суммированием векторов нагрузок элементов:
$\mathbf {R} ^{o}=\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)$

На практике матрицы элементов не расширяются и не перестраиваются. Вместо этого матрица жесткости системы $\mathbf {K}$ собирается путем сложения отдельных коэффициентов ${k}_{ij}^{e}$ к ${K}_{kl}$ где индексы ij, kl означают, что узловые перемещения элемента ${q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}$ соответствовать соответственно узловым смещениям системы ${r}_{k},{r}_{l}$ . Сходным образом, $\mathbf {R} ^{o}$ собирается путем сложения отдельных коэффициентов ${Q}_{i}^{e}$ к ${R}_{k}^{o}$ где ${q}_{i}^{e}$ спички ${r}_{k}$ . Это прямое добавление ${k}_{ij}^{e}$ в ${K}_{kl}$ дает процедуре название «Метод прямой жесткости» .

См. также

Ссылки

^ Матричный анализ каркасных структур, 3-е издание, Уильям Уивер-младший, Джеймс М. Гир, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN 978-0-412-07861-3 , 1966 г.
^ Теория матричного структурного анализа , Дж. С. Пржеменецкий, McGraw-Hill Book Company, Нью-Йорк, 1968.
^ Хинтон, Эрнест; Айронс, Брюс (июль 1968 г.). «Сглаживание экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием конечных элементов». Напряжение . 4 (3): 24–27. дои : 10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x .
^ Аргирис, Дж. Х. и Келси, С. Энергетические теоремы и структурный анализ. Научные публикации Баттерворта, Лондон, 1954 г.
^ Клаф, Р.В., «Конечный элемент в анализе плоских напряжений». Материалы 2-й конференции ASCE по электронным вычислениям, Питтсбург, сентябрь 1960 г.

[1] Матричный анализ каркасных структур, 3-е издание, Уильям Уивер-младший, Джеймс М. Гир, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN 978-0-412-07861-3 , 1966 г.

[2] Теория матричного структурного анализа , Дж. С. Пржеменецкий, McGraw-Hill Book Company, Нью-Йорк, 1968.

[3] Хинтон, Эрнест; Айронс, Брюс (июль 1968 г.). «Сглаживание экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием конечных элементов». Напряжение . 4 (3): 24–27. дои : 10.1111/j.1475-1305.1968.tb01368.x .

[4] Аргирис, Дж. Х. и Келси, С. Энергетические теоремы и структурный анализ. Научные публикации Баттерворта, Лондон, 1954 г.

[5] Клаф, Р.В., «Конечный элемент в анализе плоских напряжений». Материалы 2-й конференции ASCE по электронным вычислениям, Питтсбург, сентябрь 1960 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]