Интервальный конечный элемент

Максимальное напряжение по Мизесу в задаче о плоских напряжениях с интервальными параметрами (рассчитано градиентным методом).

В численном анализе интервальный метод конечных элементов ( интервальный FEM ) представляет собой метод конечных элементов , который использует интервальные параметры. Интервальный МКЭ может применяться в ситуациях, когда невозможно получить достоверные вероятностные характеристики конструкции. Это важно в бетонных конструкциях, деревянных конструкциях, геомеханике, композитных конструкциях, биомеханике и во многих других областях. Цель интервального конечного элемента — найти верхние и нижние границы различных характеристик модели (например, напряжения , смещения , поверхности текучести и т. д.) и использовать эти результаты в процессе проектирования. Это так называемый проект наихудшего случая, который тесно связан с проектом предельного состояния .

Проектирование наихудшего случая требует меньше информации, чем вероятностное планирование, однако результаты более консервативны [Köylüoglu and Elishakoff 1998].

интервальных параметров для

Рассмотрим следующее уравнение:

$$ax=b$$

где a и b — действительные числа , а $x={\frac {b}{a}}$.

Очень часто точные значения параметров a и b неизвестны.

Давайте предположим, что $a\in [1,2]=\mathbf {a}$ и $b\in [1,4]=\mathbf {b}$. В этом случае необходимо решить следующее уравнение

$$[1,2]x=[1,4]$$

Существует несколько определений множества решений этого уравнения с интервальными параметрами.

Единый набор решений

В этом подходе решением является следующий набор

$$\mathbf {x} =\left\{x:ax=b,a\in \mathbf {a} ,b\in \mathbf {b} \right\}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}={\frac {[1,4]}{[1,2]}}=[0.5,4]$$

Это наиболее популярный набор решений уравнения интервалов, и этот набор решений будет применен в этой статье.

В многомерном случае объединенное множество решений значительно сложнее.Множество решений следующей системы линейных интервальных уравнений

$${\begin{bmatrix}{[-4,-3]}&{[-2,2]}\\{[-2,2]}&{[-4,-3]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[-8,8]}\\{[-8,8]}\end{bmatrix}}$$

показано на следующем рисунке

$$\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )=\{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}$$

Точное множество решений очень сложное, поэтому необходимо найти наименьший интервал, содержащий точное множество решений.

$$\diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=\diamondsuit \{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}$$

или просто

$$\diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=[{\underline {x}}_{1},{\overline {x}}_{1}]\times [{\underline {x}}_{2},{\overline {x}}_{2}]\times \dots \times [{\underline {x}}_{n},{\overline {x}}_{n}]$$

где

$${\underline {x}}_{i}=\min\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \},\ \ {\overline {x}}_{i}=\max\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}$$

$$x_{i}\in \{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}=[{\underline {x}}_{i},{\overline {x}}_{i}]$$

См. также [1]

Параметрический набор решений интервальной линейной системы

Интервальный метод конечных элементов требует решения системы уравнений, зависящей от параметра (обычно с симметричной положительно определенной матрицей). Пример набора решений общей системы уравнений, зависящей от параметра

$${\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}\\p_{2}+1&p_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}\\2p_{1}-6\end{bmatrix}},\ \ {\text{for}}\ \ p_{1}\in [2,4],p_{2}\in [-2,1].$$

показано на рисунке ниже.

Алгебраическое решение

В этом подходе x — это номер интервала , для которого уравнение

$$[1,2]x=[1,4]$$

удовлетворен. Другими словами, левая часть уравнения равна правой части уравнения.В данном конкретном случае решение $x=[1,2]$ потому что

$$ax=[1,2][1,2]=[1,4]$$

Если неопределенность больше, т.е. $a=[1,4]$, затем $x=[1,1]$ потому что

$$ax=[1,4][1,1]=[1,4]$$

Если неопределенность еще больше, т.е. $a=[1,8]$, то решения не существует. Очень сложно найти физическую интерпретацию множества алгебраических интервальных решений.Таким образом, в приложениях обычно применяется единый набор решений.

Метод

Рассмотрим УЧП с интервальными параметрами

$$G(x,u,p)=0$$

( 1 )

где $p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }$ представляет собой вектор параметров, принадлежащих заданным интервалам

$$p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},$$

$${\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.$$

Например, уравнение теплопередачи

$$k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega$$

$$u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega$$

где $k_{x},k_{y}$ являются интервальными параметрами (т.е. $k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}$).

Решение уравнения ( 1 ) можно определить следующим образом

$${\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}$$

Например, в случае уравнения теплопередачи

$${\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}$$

Решение ${\tilde {u}}$ очень сложен, поскольку на практике интереснее найти наименьший возможный интервал, содержащий точное множество решений ${\tilde {u}}$.

$${\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}$$

Например, в случае уравнения теплопередачи

$${\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}$$

Метод конечных элементов привел к следующей зависящей от параметра системе алгебраических уравнений:

$$K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }$$

где K — матрица жесткости , а Q — правая часть.

Интервальное решение можно определить как многозначную функцию.

$${\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}$$

В простейшем случае описанную выше систему можно рассматривать как систему линейных интервальных уравнений .

Также можно определить интервальное решение как решение следующей задачи оптимизации:

$${\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}$$

$${\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}$$

В многомерном случае интервальное решение можно записать как

$$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]$$

решение против

Важно знать, что интервальные параметры дают иные результаты, чем равномерно распределенные случайные величины .

Параметр интервала $\mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]$ учитывать все возможные распределения вероятностей (для $p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]$).

Для определения параметра интервала необходимо знать только верхнюю ${\overline {p}}$ и нижняя граница ${\underline {p}}$.

Расчеты вероятностных характеристик требуют знания большого количества экспериментальных результатов.

Можно показать, что сумма n интервальных чисел равна ${\sqrt {n}}$ раз шире, чем сумма соответствующих нормально распределенных случайных величин.

Сумма n номеров интервалов $\mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]$ равно

$$n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]$$

Ширина этого интервала равна

$$n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p$$

Рассмотрим нормально распределенную случайную величину X такую, что

$$m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}$$

Сумма n нормально распределенных случайных величин — это нормально распределенная случайная величина со следующими характеристиками (см. «Шесть сигм» )

$$E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}$$

Можно предположить, что ширина вероятностного результата равна 6 сигм (ср. Six Sigma ).

$$6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p$$

Теперь мы можем сравнить ширину интервального результата и вероятностного результата.

$${\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}$$

Из-за этого результаты интервального метода конечных элементов (или в целом анализа наихудшего случая) могут быть переоценены по сравнению со стохастическим фем-анализом (см. также распространение неопределенности ).Однако в случае невероятностной неопределенности невозможно применить чисто вероятностные методы.Потому что вероятностные характеристики в этом случае точно не известны ( Элишакофф 2000).

Можно рассматривать случайные (и нечеткие случайные величины) с интервальными параметрами (например, с интервальным средним, дисперсией и т. д.).Некоторые исследователи используют интервальные (нечеткие) измерения в статистических расчетах (например, [2] ). В результате таких вычислений мы получим так называемую неточную вероятность .

Неточная вероятность понимается в очень широком смысле. Он используется как общий термин для обозначения всех математических моделей, которые измеряют случайность или неопределенность без точных числовых вероятностей. Он включает в себя как качественные (сравнительная вероятность, упорядочение частичных предпочтений,...), так и количественные режимы (интервальные вероятности, функции доверия, верхние и нижние прогнозы,...). Неточные вероятностные модели необходимы в задачах вывода, где соответствующая информация скудна, расплывчата или противоречива, а также в задачах принятия решений, где предпочтения также могут быть неполными [3] .

Простой пример: моделирование растяжения, сжатия, деформации и напряжения)

1-мерный пример

В задаче растяжения - сжатия следующее уравнение показывает связь между перемещением u и силой P :

$${\frac {EA}{L}}u=P$$

где L — длина, A — площадь поперечного сечения, а E — модуль Юнга .

Если модуль Юнга и сила неопределенны, то

$$E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]$$

Чтобы найти верхнюю и нижнюю границы смещения u , вычислите следующие частные производные :

$${\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0$$

$${\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0$$

Рассчитайте экстремальные значения смещения следующим образом:

$${\underline {u}}=u({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {{\underline {P}}L}{{\overline {E}}A}}$$

$${\overline {u}}=u({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {{\overline {P}}L}{{\underline {E}}A}}$$

Рассчитайте деформацию по следующей формуле:

$$\varepsilon ={\frac {1}{L}}u$$

Рассчитайте производную деформации, используя производную от смещений:

$${\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0$$

$${\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0$$

Рассчитайте экстремальные значения смещения следующим образом:

$${\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}$$

$${\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}$$

Также можно рассчитать экстремальные значения деформации, используя перемещения

$${\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0$$

затем

$${\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {u}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}$$

$${\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {u}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}$$

Эту же методологию можно применить и к стрессу.

$$\sigma =E\varepsilon$$

затем

$${\frac {\partial \sigma }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {P}{EA}}-{\frac {P}{EA}}=0$$

$${\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0$$

и

$${\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{A}}$$

$${\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{A}}$$

Если рассматривать стресс как функцию напряжения, то

$${\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon )=E>0$$

затем

$${\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {\varepsilon }})=E{\underline {\varepsilon }}={\frac {\underline {P}}{A}}$$

$${\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {\varepsilon }})=E{\overline {\varepsilon }}={\frac {\overline {P}}{A}}$$

Конструкция безопасна, если стресс $\sigma$ меньше заданного значения $\sigma _{0}$ то есть,

$$\sigma <\sigma _{0}$$

это условие истинно, если

$${\overline {\sigma }}<\sigma _{0}$$

После расчета мы знаем, что это соотношение выполняется, если

$${\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}$$

Пример очень простой, но он показывает применение интервальных параметров в механике. Интервальный МКЭ использует очень похожую методологию в многомерных случаях [Pownuk 2004].

Однако в многомерных случаях связь между неопределенными параметрами и решением не всегда монотонна. В таких случаях приходится применять более сложные методы оптимизации.

Многомерный пример

В случае задачи растяжения- сжатия уравнение равновесия имеет следующий вид

$${\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0$$

где u — смещение, E — модуль Юнга , A — площадь поперечного сечения, а n — распределенная нагрузка.Чтобы получить уникальное решение, необходимо добавить соответствующие граничные условия, например

$$u(0)=0$$

$$\left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=0}EA=P$$

Если модуль Юнга E и n неопределенны, то интервальное решение можно определить следующим образом:

$${\mathbf {u} }(x)=\left\{u(x):{\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0,u(0)=0,{\frac {du(0)}{dx}}EA=P,E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}$$

Для каждого элемента МКЭ уравнение можно умножить на тестовую функцию v

$$\int _{0}^{L^{e}}\left({\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n\right)v=0$$

где $x\in [0,L^{(e)}].$

После интегрирования по частям получим уравнение в слабой форме

$$\int _{0}^{L^{(e)}}EA{\frac {du}{dx}}{\frac {dv}{dx}}dx=\int _{0}^{L^{(e)}}nv\,dx$$

где $x\in [0,L^{(e)}].$

Давайте представим набор точек сетки $x_{0},x_{1},\dots ,x_{Ne}$, где $Ne$ — количество элементов и линейные функции формы для каждого элемента FEM.

$$N_{1}^{(e)}(x)=1-{\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}},\ \ N_{2}^{(e)}(x)={\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}}.$$

где $x\in [x_{0}^{(e)},x_{1}^{(e)}].$

$x_{1}^{(e)}$ левая конечная точка элемента, $x_{1}^{(e)}$ левая конечная точка элемента номер «e».Приближенное решение в «e»-м элементе представляет собой линейную комбинацию функций формы

$$u_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x),\ \ v_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x)$$

После подстановки в слабую форму уравнения получим следующую систему уравнений

$${\begin{bmatrix}{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}^{(e)}\\u_{2}^{(e)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{1}^{(e)}(x)dx\\\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{2}^{(e)}(x)dx\end{bmatrix}}$$

или в матричной форме

$$K^{(e)}u^{(e)}=Q^{(e)}$$

Чтобы собрать глобальную матрицу жесткости, необходимо рассмотреть уравнения равновесия в каждом узле.После этого уравнение имеет следующий матричный вид

$$Ku=Q$$

где

$$K={\begin{bmatrix}K_{11}^{(1)}&K_{12}^{(1)}&0&\cdots &0\\K_{21}^{(1)}&K_{22}^{(1)}+K_{11}^{(2)}&K_{12}^{(2)}&\cdots &0\\0&K_{21}^{(2)}&K_{22}^{(2)}+K_{11}^{(3)}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{22}^{(Ne-1)}+K_{11}^{(Ne)}&K_{11}^{(Ne)}\\0&0&\cdots &K_{21}^{(Ne)}&K_{22}^{(Ne)}\end{bmatrix}}$$

глобальная матрица жесткости,

$$u={\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{Ne}\\\end{bmatrix}}$$

вектор решения,

$$Q={\begin{bmatrix}Q_{0}\\Q_{1}\\\vdots \\Q_{Ne}\\\end{bmatrix}}$$

это правая сторона.

В случае проблемы растяжения-сжатия

$$K={\begin{bmatrix}{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&0&\cdots &0\\-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(Ne-1)}A^{(Ne-1)}}{L^{(Ne-1)}}}+{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\end{bmatrix}}$$

Если пренебречь распределенной нагрузкой n

$$Q={\begin{bmatrix}R\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}$$

После учета граничных условий матрица жесткости имеет следующий вид

$$K={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(e-1)}A^{(e-1)}}{L^{(e-1)}}}+{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\end{bmatrix}}=K(E,A)=K{\left(E^{(1)},\dots ,E^{(Ne)},A^{(1)},\dots ,A^{(Ne)}\right)}$$

Правая часть имеет следующий вид

$$Q={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}=Q(P)$$

Предположим, что модуль Юнга E , площадь поперечного сечения A и нагрузка P неопределенны и принадлежат некоторым интервалам

$$E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}]$$

$$A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}]$$

$$P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]$$

Интервальное решение можно определить следующим образом:

$$\mathbf {u} =\lozenge \left\{u:K(E,A)u=Q(P),E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}],A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}$$

Расчет интервального вектора ${\mathbf {u} }$ в целом NP-трудно , однако в конкретных случаях можно найти решение, которое можно использовать во многих инженерных приложениях.

Результатом расчетов являются интервальные перемещения

$$u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]$$

Предположим, что перемещения в колонне должны быть меньше некоторой заданной величины (в целях безопасности).

$$u_{i}<u_{i}^{\max }$$

Неопределенная система безопасна, если интервальное решение удовлетворяет всем условиям безопасности.

В этом конкретном случае

$$u_{i}<u_{i}^{\max },\ \ \ u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]$$

или простой

$${\overline {u}}_{i}<u_{i}^{\max }$$

При постобработке можно рассчитать интервальное напряжение, интервальную деформацию и функции предельного состояния интервала и использовать эти значения в процессе проектирования.

Интервальный метод конечных элементов может применяться для решения задач, в которых недостаточно информации для создания достоверной вероятностной характеристики конструкций ( Элишакофф 2000). Интервальный метод конечных элементов может быть применен и в теории неточной вероятности .

Метод комбинации конечных точек

Можно решить уравнение $K(p)u(p)=Q(p)$ для всех возможных комбинаций концов интервала ${\hat {p}}$.
Список всех вершин интервала ${\hat {p}}$ можно записать как $L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}$.
Верхнюю и нижнюю границу решения можно рассчитать следующим образом.

$${\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}$$

$${\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}$$

Метод комбинации конечных точек дает решение, которое обычно является точным; к сожалению, метод имеет экспоненциальную вычислительную сложность и не может быть применен к задачам со многими интервальными параметрами.

Тейлора

Функция $u=u(p)$ можно разложить с помощью ряда Тейлора .В простейшем случае ряды Тейлора используют только линейное приближение.

$$u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}$$

Верхнюю и нижнюю границу решения можно рассчитать по следующей формуле

$${\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}$$

$${\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}$$

Метод очень эффективен, но не очень точен.
Для повышения точности можно применить разложение Тейлора более высокого порядка [Pownuk 2004].
Этот подход также может быть применен в интервальном методе конечных разностей и интервальном методе граничных элементов .

Градиентный метод

Если знак производных ${\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}$ постоянна, то функции $u_{i}=u_{i}(p)$ монотонно, и точное решение можно вычислить очень быстро.

если ${\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0$ затем $p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}$

если ${\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0$ затем $p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}$

Экстремальные значения решения можно рассчитать следующим образом.

$${\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })$$

Во многих приложениях для проектирования конструкций этот метод дает точное решение.
Если решение не монотонно, оно обычно является разумным. Для повышения точности метода можно применять тесты на монотонность и анализ чувствительности более высокого порядка. Метод может быть применен для решения линейных и нелинейных задач вычислительной механики [Pownuk 2004]. Применение метода анализа чувствительности к решению задач гражданского строительства можно найти в следующей статье [М.В. Рама Рао, А. Повнюк и И. Скална, 2008].
Этот подход также может быть применен в интервальном методе конечных разностей и интервальном методе граничных элементов .

Поэлементный метод

Муханна и Маллен применили поэлементную формулировку к решению уравнения конечных элементов с интервальными параметрами. Используя этот метод, можно с гарантированной точностью получить решение в случае ферменных и рамных конструкций.

Методы возмущения

Решение $u=u(p)$ матрица жесткости $K=K(p)$ и вектор нагрузки $Q=Q(p)$ может быть расширено с помощью теории возмущений . Теория возмущений приводит к приближенному значению интервального решения. Метод очень эффективен и может быть применен к большим задачам вычислительной механики.

Метод поверхности отклика

Можно аппроксимировать решение $u=u(p)$ с помощью поверхности отклика . Затем можно использовать поверхность отклика для получения интервального решения. Используя метод поверхности отклика, можно решить очень сложную задачу вычислительной механики.

Чисто интервальные методы

Некоторые авторы пытались применить чисто интервальные методы для решения задач конечных элементов с интервальными параметрами. В некоторых случаях можно получить очень интересные результаты, например [Попова, Янков, Бонев 2008]. Однако в целом метод дает весьма завышенные результаты.

Параметрические интервальные системы

Popova и Скальная ввел методы решения системы линейных уравнений, в которых коэффициенты представляют собой линейные комбинации интервальных параметров. В этом случае можно получить очень точное решение интервальных уравнений с гарантированной точностью.

См. также

• Метод интервальных граничных элементов
• Интервал (математика)
• Интервальная арифметика
• Неточная вероятность
• Многозначная функция
• Дифференциальное включение
• Ошибка наблюдения
• Случайный компактный набор
• Надежность (статистика)
• Доверительный интервал
• Лучший, худший и средний случай
• Вероятностный дизайн
• Распространение неопределенности
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Анализ чувствительности
• Теория возмущений
• Механика сплошных сред
• Твердая механика
• ферма
• Космическая рамка
• Линейная эластичность
• Прочность материалов

Ссылки

• Демпстер, AP (1967). «Верхняя и нижняя вероятности, индуцированные многозначным отображением». Анналы математической статистики 38 (2): 325–339. [4] . Проверено 23 сентября 2009 г.
• «Анализ неопределенности в гражданском строительстве», В. Феллин, Х. Лессманн, М. Обергугенбергер и Р. Видер (ред.), Springer-Verlag, Берлин, 2005 г.
• И. Элишаков , Возможные ограничения вероятностных методов в технике. Обзоры прикладной механики, том 53, № 2, стр. 19–25, 2000.
• Главачек И., Хлебоун Дж., Бабушка И.: Проблемы с неопределенными входными данными и метод наихудшего сценария. Эльзевир, Амстердам (2004)
• Койлюоглу, У., Исаак Элишакофф ; Сравнение стохастических и интервальных конечных элементов, применяемых к сдвиговым каркасам с неопределенными свойствами жесткости, Computers & Structures Volume: 67, выпуск: 1–3, 1 апреля 1998 г., стр. 91–98.
• Д. Моенс и Д. Вандепитт, Теория интервальной чувствительности и ее применение к анализу огибающей частотной характеристики неопределенных структур. Компьютерные методы в прикладной механике и технике Vol. 196, № 21–24, 1 апреля 2007 г., стр. 2486–2496.
• Мёллер Б., Бир М., Нечеткая случайность – неопределенность в гражданском строительстве и вычислительной механике, Springer, Берлин, 2004.
• Е. Попова, Р. Янков, З. Бонев: Ограничение реакции механических конструкций с неопределенностями во всех параметрах. В Р.Л.Муханне, Р.Л.Муллене (редакторы): Материалы семинара NSF по надежным инженерным вычислениям (REC), Сванна, Джорджия, США, 22–24 февраля 2006 г., стр. 245–265.
• А. Повнюк, Численные решения нечеткого уравнения в частных производных и его применение в вычислительной механике, Нечеткие дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения отношений: характеристика и моделирование резервуара (ред. М. Никравеш, Л. Заде и В. Коротких), Исследования нечеткости и мягкие вычисления, Physica-Verlag, 2004, стр. 308–347.
• А. Повнюк, Эффективный метод решения крупномасштабных инженерных задач с интервальными параметрами на основе анализа чувствительности, Материалы семинара NSF по надежным инженерным вычислениям, 15–17 сентября 2004 г., Саванна, Джорджия, США, стр. 305–316.
• М. В. Рама Рао, А. Повнюк и И. Скална, Анализ напряжений одножелезобетонной балки с неопределенными конструктивными параметрами, семинар NSF по надежным инженерным вычислениям, 20–22 февраля 2008 г., Саванна, Джорджия, США, стр. 459–478.
• Бернардини, Альберто, Тонон, Фульвио, Граничная неопределенность в гражданском строительстве, Springer 2010.
• Бен-Хаим Ю., Элишакофф И. , 1990, Выпуклые модели неопределенности в прикладной механике. Издательство Elsevier Science, Нью-Йорк
• Валлиаппан С., Фам Т.Д., 1993, Нечеткий анализ методом конечных элементов фундамента на эластичной грунтовой среде. Международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике, том 17, стр. 771–789.
• Элишакофф И. , Ли Ю.В., Старнес Дж.Х., 1994, Детерминистический метод прогнозирования влияния неизвестных, но ограниченных модулей упругости на коробление композитных конструкций. Компьютерные методы в прикладной механике и технике, Том 111, стр. 155–167.
• Валлиаппан С. Фам Т.Д., 1995, Упруго-пластический анализ методом конечных элементов с нечеткими параметрами. Международный журнал численных методов в технике, 38, стр. 531–548.
• Рао С.С., Сойер Дж.П., 1995, Подход нечетких конечных элементов для анализа неточно определенных систем. Журнал AIAA, Том 33, № 12, стр. 2364–2370.
• Койлюоглу Х.У., Чакмак А., Нильсен С.Р.К., 1995, Интервальное отображение в строительной механике. В: Спанос, изд. Вычислительная стохастическая механика. 125–133. Балкема, Роттердам
• Муханна, Р.Л. и Р.Л. Маллен (1995). «Разработка интервальных методов исследования нечеткости в механике сплошной среды» в материалах 3-го Международного симпозиума по моделированию и анализу неопределенностей и ежегодной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации (ISUMA – NAFIPS '95), IEEE, 705–710.

Внешние ссылки

• Надежные инженерные вычисления, Технологический институт Джорджии, Саванна, США
• Интервальные вычисления
• Надежные вычисления (журнал)
• Интервальные уравнения (сборник литературы)
• Интервальные веб-приложения конечных элементов
• Попова Е. А. «Параметрическое множество решений интервальной линейной системы»
• Общество неточной вероятности: теории и приложения