Матрица жесткости

В методе конечных элементов для численного решения эллиптических уравнений в частных производных матрица жесткости представляет собой матрицу , которая представляет собой систему линейных уравнений , которую необходимо решить, чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения.

Матрица жесткости для задачи Пуассона

Для простоты сначала рассмотрим задачу Пуассона

-\nabla ^{2}u=f

в некоторой области $Ω$ выполнено граничное условие $u = 0$ при условии, что на границе $Ω$ . Чтобы дискретизировать это уравнение методом конечных элементов , выбирают набор базисных функций ${φ 1, \dots, φ n},$ определенных на $Ω$ , которые также обращаются в нуль на границе. Затем один аппроксимирует

u\approx u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.

Коэффициенты $u 1, u 2, \dots, un φ$ чтобы ошибка аппроксимации была ортогональна каждой базисной функции $i :$ определяются так ,

\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u^{h}\,dx=-\sum _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\right)\,u_{j}=\sum _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\right)u_{j}.

как следствие однородных граничных условий Дирихле . Матрица жесткости представляет собой $n$ -элементную квадратную матрицу $A,$ определяемую формулой

\mathbf {A} _{ij}=\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

Определив вектор $F$ с компонентами ${\textstyle \mathbf {F} _{i}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx,}$ коэффициенты $u i$ определяются линейной системой $Au = F$ . Матрица жесткости симметрична , т.е. $A ij = A ji$ , поэтому все ее собственные значения действительны. Более того, это строго положительно определенная матрица , так что система $Au = F$ всегда имеет единственное решение. (При других задачах эти приятные свойства будут потеряны.)

Обратите внимание, что матрица жесткости будет отличаться в зависимости от расчетной сетки, используемой для области, и от типа конечного элемента. Например, матрица жесткости при использовании кусочно-квадратичных конечных элементов будет иметь больше степеней свободы, чем кусочно-линейные элементы.

Матрица жесткости для других задач

Определение матрицы жесткости для других ЧДЭ происходит по существу той же процедуре, но может быть осложнено выбором граничных условий. В качестве более сложного примера рассмотрим эллиптическое уравнение

-\sum _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}\right)=f

где $\mathbf {A} (x)=a^{kl}(x)$ — положительно определенная матрица, определенная для каждой точки $x$ в области. Наложим граничное условие Робина

-\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}=c(u-g),

где $ν k$ — составляющая единичного вектора внешней нормали $ν$ в $k$ -м направлении. Система, которую необходимо решить,

\sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}\varphi _{j}\,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}g\,ds,

что можно показать с помощью аналога тождества Грина . Коэффициенты $u i$ по-прежнему находятся путем решения системы линейных уравнений, но матрица, представляющая систему, заметно отличается от таковой для обычной задачи Пуассона.

В общем случае каждому скалярному эллиптическому оператору $L$ порядка $2 k$ соответствует билинейная форма $B$ в пространстве Соболева $H к$ , так что слабая формулировка уравнения $Lu = f$ имеет вид

B[u,v]=(f,v)

для всех функций $v$ из $H к$ . Тогда матрица жесткости для этой задачи будет равна

\mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].

Практическая сборка матрицы жесткости

Чтобы реализовать метод конечных элементов на компьютере, необходимо сначала выбрать набор базисных функций, а затем вычислить интегралы, определяющие матрицу жесткости. Обычно область $Ω$ дискретизируется , при которой она делится на с помощью некоторой формы генерации сетки непересекающиеся треугольники или четырехугольники , которые обычно называются элементами. Затем базисные функции выбираются как полиномы некоторого порядка внутри каждого элемента и непрерывные за пределами границ элемента. Самый простой выбор — кусочно-линейный для треугольных элементов и кусочно-билинейный для прямоугольных элементов.

Матрица жесткости элемента $A [к]$ для элемента $T k$ – матрица

\mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.

Матрица жесткости элемента равна нулю для большинства значений $i$ и $j$ , для которых соответствующие базисные функции равны нулю в пределах $T k$ . Полная матрица жесткости $A$ представляет собой сумму матриц жесткости элементов. В частности, для базисных функций, которые поддерживаются только локально, матрица жесткости разрежена .

Для многих стандартных вариантов базисных функций, т.е. кусочно-линейных базисных функций на треугольниках, существуют простые формулы для матриц жесткости элементов. Например, для кусочно-линейных элементов рассмотрим треугольник с вершинами $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ , $(x 3, y 3)$ и определим матрицу 2×3

\mathbf {D} =\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{matrix}}\right].

Тогда матрица жесткости элемента равна

\mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\operatorname {area} (T)}}.

Когда дифференциальное уравнение более сложное, например, с неоднородным коэффициентом диффузии, интеграл, определяющий матрицу жесткости элемента, может быть оценен с помощью квадратуры Гаусса .

Число обусловленности матрицы жесткости сильно зависит от качества числовой сетки. В частности, треугольники с малыми углами в сетке конечных элементов вызывают большие собственные значения матрицы жесткости, ухудшая качество решения.

Ссылки

Эрн, А.; Гермон, Ж.-Л. (2004), Теория и практика конечных элементов , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387205748
Гокенбах, MS (2006), Понимание и реализация метода конечных элементов , Филадельфия, Пенсильвания: SIAM, ISBN 0898716144
Гроссманн, К.; Роос, Х.-Г.; Стайнс, М. (2007), Численная обработка уравнений в частных производных , Берлин, Германия: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-71584-9
Джонсон, К. (2009), Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов , Дувр, ISBN 978-0486469003
Зенкевич, OC ; Тейлор, РЛ; Чжу, JZ (2005), Метод конечных элементов: его основа и основы (6-е изд.), Оксфорд, Великобритания: Elsevier Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750663205