Виды сетки

Сетка — это представление большей геометрической области меньшими дискретными ячейками. Сетки обычно используются для вычисления решений уравнений в частных производных и визуализации компьютерной графики , а также для анализа географических и картографических данных. Сетка делит пространство на элементы (или ячейки или зоны ), по которым могут быть решены уравнения, что затем аппроксимирует решение в большей области. Границы элементов могут быть ограничены внутренними или внешними границами модели. Элементы более высокого качества (лучшей формы) имеют лучшие числовые свойства, при этом то, что представляет собой «лучший» элемент, зависит от общих определяющих уравнений и конкретного решения экземпляра модели.

Распространенные формы ячеек

Двумерный

Обычно используются два типа двумерных форм ячеек. Это треугольник и четырехугольник .

Элементы с плохими расчетами будут иметь острые внутренние углы или короткие края, или и то, и другое.

Треугольник

Эта форма ячеек состоит из 3 сторон и является одним из самых простых типов сетки. Треугольную сетку поверхности всегда можно быстро и легко создать. Это наиболее распространено в неструктурированных сетках .

Четырехугольник

Эта форма ячейки является базовой четырехсторонней, как показано на рисунке. Чаще всего это встречается в структурированных сетках.

Четырехугольные элементы обычно исключаются из возможности быть или становиться вогнутыми.

Трехмерный

Основными трехмерными элементами являются тетраэдр , четырехугольная пирамида , треугольная призма и шестигранник . Все они имеют треугольные и четырехугольные грани.

Выдавленные двумерные модели могут быть полностью представлены призмами и шестигранниками в виде выдавленных треугольников и четырехугольников.

В общем, четырехугольные грани в трех измерениях не могут быть идеально плоскими. Неплоскую четырехугольную грань можно рассматривать как тонкий тетраэдрический объем, общий для двух соседних элементов.

Тетраэдр

Тетраэдр . имеет 4 вершины, 6 ребер и ограничен 4 треугольными гранями В большинстве случаев объемная тетраэдрическая сетка может быть создана автоматически.

Пирамида

с четырехсторонним основанием Пирамида имеет 5 вершин, 8 ребер, ограниченных 4 треугольными и 1 четырехугольной гранью. Они эффективно используются в качестве переходных элементов между элементами с квадратной и треугольной гранью и другими элементами в гибридных сетках и сетках.

Треугольная призма

Треугольная призма имеет 6 вершин, 9 ребер, ограниченных 2 треугольными и 3 четырехугольными гранями. Преимущество этого типа слоя заключается в том, что он эффективно разрешает пограничный слой.

Шестигранник

Шестигранник , имеет 8 вершин, 12 ребер , топологический куб , ограниченных 6 четырехугольными гранями. Его еще называют шестигранником или кирпичом . ^[1] При одном и том же количестве ячеек точность решений в шестигранных сетках наиболее высока.

Зоны пирамиды и треугольной призмы можно рассматривать в вычислительном отношении как вырожденные шестигранники, в которых некоторые ребра сведены к нулю. Могут быть представлены и другие вырожденные формы шестигранника.

Расширенные ячейки (Многогранник)

Элемент многогранника (двойственный) имеет любое количество вершин, ребер и граней. Обычно требуется больше вычислительных операций на ячейку из-за количества соседей (обычно 10). ^[2] Хотя это компенсируется точностью расчета.

Классификация сеток

Структурированные сетки

Структурированные сетки идентифицируются по регулярной связности. Возможный выбор элементов: четырехугольник в 2D и шестигранник в 3D. Эта модель очень эффективно использует пространство, поскольку отношения соседства определяются расположением хранилища. Некоторые другие преимущества структурированной сетки перед неструктурированной — лучшая сходимость и более высокое разрешение. ^[3]^[4]^[5]

Неструктурированные сетки

Неструктурированная сетка определяется нерегулярной связностью. Его нелегко выразить в виде двумерного или трехмерного массива в памяти компьютера. Это позволяет использовать любой возможный элемент, который может использовать решатель. По сравнению со структурированными сетками, для которых отношения соседства неявны, эта модель может быть очень неэффективной с точки зрения использования пространства, поскольку она требует явного хранения отношений соседства. Требования к хранению для структурированной и неструктурированной сети находятся в пределах постоянного коэффициента. В этих сетках обычно используются треугольники в 2D и тетраэдры в 3D. ^[6]

Гибридные сети

Гибридная сетка содержит смесь структурированных и неструктурированных частей. Он эффективно объединяет структурированные и неструктурированные сетки. Те части геометрии, которые являются регулярными, могут иметь структурированные сетки, а те, которые являются сложными, могут иметь неструктурированные сетки. Эти сетки могут быть неконформными, что означает, что линии сетки не обязательно должны совпадать на границах блоков. ^[7]

Качество сетки

Считается, что сетка имеет более высокое качество, если более точное решение рассчитывается быстрее. Точность и скорость находятся в напряжении. Уменьшение размера сетки всегда увеличивает точность, но также увеличивает вычислительные затраты.

Точность зависит как от ошибки дискретизации, так и от ошибки решения. Что касается ошибки дискретизации, данная сетка является дискретной аппроксимацией пространства и поэтому может обеспечить только приближенное решение, даже если уравнения решены точно. (При трассировке лучей в компьютерной графике количество выпущенных лучей является еще одним источником ошибки дискретизации.) Для ошибки решения для PDE требуется множество итераций по всей сетке. Расчет прекращается досрочно, до точного решения уравнений. Выбор типа элемента сетки влияет как на дискретность, так и на погрешность решения.

Точность зависит как от общего количества элементов, так и от формы отдельных элементов. Скорость каждой итерации растет (линейно) с количеством элементов, а количество необходимых итераций зависит от значения локального решения и градиента по сравнению с формой и размером локальных элементов.

Точность решения

Грубая сетка может обеспечить точное решение, если решение является константой, поэтому точность зависит от конкретного экземпляра задачи.Можно выборочно уточнять сетку в областях, где градиенты решения высоки, тем самым повышая там точность. Точность, включая интерполированные значения внутри элемента, зависит от типа и формы элемента.

Скорость сходимости

Каждая итерация уменьшает ошибку между вычисленным и истинным решением.Более высокая скорость сходимости означает меньшую ошибку при меньшем количестве итераций.

Сетка низкого качества может не учитывать важные элементы, такие как пограничный слой для потока жидкости. Ошибка дискретизации будет большой, а скорость сходимости ухудшится; решение может вообще не сходиться.

Независимость от сети

Решение считается независимым от сетки, если ошибка дискретизации и решения достаточно мала при достаточном количестве итераций. Это важно знать для получения сравнительных результатов. Исследование сходимости сетки состоит из уточнения элементов и сравнения уточненных решений с грубыми решениями. Если дальнейшее уточнение (или другие изменения) существенно не меняет решение, сетка является «независимой сеткой».

Выбор типа сетки

Асимметрия на основе равностороннего объема

Если точность имеет наибольшее значение, то шестигранная сетка является наиболее предпочтительной. Плотность сетки должна быть достаточно высокой, чтобы охватить все особенности потока, но в то же время она не должна быть настолько высокой, чтобы захватывать ненужные детали потока, тем самым нагружая процессор и тратя больше времени. Всякий раз, когда присутствует стена, сетка, прилегающая к ней, достаточно мелкая, чтобы разрешить поток пограничного слоя, и обычно четырехгранные, шестигранные и призматические ячейки предпочтительнее треугольников, тетраэдров и пирамид. Ячейки Quad и Hex можно растягивать там, где поток полностью развит и одномерен.

На основании асимметрии, гладкости и соотношения сторон можно принять решение о пригодности сетки. ^[8]

асимметрия

Перекос сетки является подходящим индикатором качества и пригодности сетки. Большая асимметрия снижает точность интерполируемых областей. Существует три метода определения асимметрии сетки.

На основе равностороннего объема

Этот метод применим только к треугольникам и тетраэдрам и является методом по умолчанию.

{\text{ Skewness }}={\frac {\text{ optimal cell size - cell size }}{\text{optimal cell size}}}

На основе отклонения от нормированного равностороннего угла

Этот метод применим ко всем формам ячеек и граней и почти всегда используется для призм и пирамид.

{\text{ Skewness ( for a quad ) }}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-90}{90}},{\frac {90-\theta _{\text{min}}}{90}}\right]}

Равноугольный перекос

Другая распространенная мера качества основана на равноугольном перекосе.

{\text{ Equiangle Skew }}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-\theta _{e}}{180-\theta _{e}}},{\frac {\theta _{e}-\theta _{\text{min}}}{\theta _{e}}}\right]}

где:

$\theta _{\text{max}}\,$ самый большой угол в грани или ячейке,
$\theta _{\text{min}}\,$ это наименьший угол в грани или ячейке,
$\theta _{e}\,$ — это угол равноугольной грани или ячейки, т. е. 60 для треугольника и 90 для квадрата.

Асимметрия, равная 0, является наилучшей из возможных, а асимметрия, равная единице, почти никогда не является предпочтительной. Для шестигранных и четырехъядерных ячеек асимметрия не должна превышать 0,85, чтобы получить достаточно точное решение.

Для треугольных ячеек асимметрия не должна превышать 0,85, а для четырехугольных ячеек асимметрия не должна превышать 0,9.

Гладкость

Изменение размера также должно быть плавным. Не должно быть резких скачков размера ячейки, поскольку это может привести к ошибочным результатам в соседних узлах.

Соотношение сторон

Это отношение самой длинной стороны ячейки к самой короткой. В идеале оно должно быть равно 1, чтобы обеспечить наилучшие результаты. Для многомерного потока оно должно быть близко к единице. Кроме того, локальные различия в размерах ячеек должны быть минимальными, т.е. размеры соседних ячеек не должны различаться более чем на 20%. Наличие большого соотношения сторон может привести к ошибке интерполяции неприемлемой величины.

Генерация и улучшение сетки

См. также «Генерация сетки» и «Принципы генерации сетки» .В двух измерениях переворот и сглаживание — мощные инструменты для превращения плохой сетки в хорошую. Переворот предполагает объединение двух треугольников в четырехугольник, а затем разделение четырехугольника в другом направлении для получения двух новых треугольников. Переворот используется для улучшения показателей качества треугольника, таких как асимметрия. Сглаживание сетки улучшает форму элементов и общее качество сетки за счет регулировки расположения вершин сетки. При сглаживании сетки основные функции, такие как ненулевой рисунок линейной системы, сохраняются, поскольку топология сетки остается инвариантной. Сглаживание по Лапласу является наиболее часто используемым методом сглаживания.

См. также

Генерация сетки – разделение пространства на ячейки.
Неструктурированная сетка . Неструктурированная (или нерегулярная) сетка представляет собой мозаику части евклидовой плоскости.
Регулярная сетка – Тесселяция евклидова пространства
Метод растянутой сетки – Численный метод

Ссылки

^ «Элементы шестигранника» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2015 г. Проверено 13 апреля 2015 г.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 декабря 2013 г. Проверено 10 января 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ «Качество и контроль — две причины, почему структурированные сетки не уходят» .
^ Кастильо, Дж. Э. (1991), «Математические аспекты построения сетки», Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия.
^ Джордж, Польша (1991), Автоматическое создание сетки
^ Мавриплис, DJ (1996), «Генерация сетки и адаптивность для сложной геометрии и потоков», Справочник по вычислительной механике жидкости.
^ Берн, Маршалл; Плассманн, Пол (2000), «Генерация сетки», Справочник по вычислительной геометрии. Эльзевир Наука
^ «Мешинг, лекция 7» . Андре Баккер . Проверено 10 ноября 2012 г.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с типами сетки, на Викискладе?

[1] «Элементы шестигранника» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2015 г. Проверено 13 апреля 2015 г.

[2] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 декабря 2013 г. Проверено 10 января 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[3] «Качество и контроль — две причины, почему структурированные сетки не уходят» .

[4] Кастильо, Дж. Э. (1991), «Математические аспекты построения сетки», Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия.

[5] Джордж, Польша (1991), Автоматическое создание сетки

[6] Мавриплис, DJ (1996), «Генерация сетки и адаптивность для сложной геометрии и потоков», Справочник по вычислительной механике жидкости.

[7] Берн, Маршалл; Плассманн, Пол (2000), «Генерация сетки», Справочник по вычислительной геометрии. Эльзевир Наука

[8] «Мешинг, лекция 7» . Андре Баккер . Проверено 10 ноября 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v т и Генерация сетки
Виды сетки	Полигональная сетка Треугольная сетка Объемная сетка
Методы	Лапласово сглаживание Параллельная генерация сетки Метод растянутой сетки
Связанный	Второй алгоритм Чу Создание сетки на основе изображений Марширующие кубики Марширующие тетраэдры Принципы создания сетки Регулярная сетка Алгоритм Руперта Тесселяция Неструктурированная сетка