Треугольная призма

Чтобы узнать об оптической призме, см. Треугольная призма (оптика) .

Треугольная призма
Тип	Призма Полуправильный многогранник Однородный многогранник
Лица	2 треугольника 3 квадрата
Края	9
Вершины	6
Группа симметрии	Д 3 ч.
Двойной многогранник	Треугольная бипирамида

В геометрии треугольная призма или тригональная призма. представляет собой призму с двумя треугольными основаниями. Если края соединяются с вершинами каждого треугольника и перпендикулярны основанию, то это правильная треугольная призма . Прямая треугольная призма может быть как полуправильной , так и однородной .

Треугольную призму можно использовать при построении другого многогранника. Примерами являются некоторые тела Джонсона , усеченная правая треугольная призма и многогранник Шёнхардта .

Свойства

Треугольная призма имеет 6 вершин, 9 ребер и 5 граней. Каждая призма имеет две конгруэнтные грани, называемые основаниями , а основания треугольной призмы представляют собой треугольники . Треугольник имеет 3 вершины, каждая из которых соединяется с вершиной другого треугольника, образуя еще 3 ребра. Эти ребра образуют 3 параллелограмма , как и другие грани. Если края призмы перпендикулярны основанию, боковые грани представляют собой прямоугольники , и призма называется прямой треугольной призмой . Эту призму можно также считать частным случаем клина .

3D-модель (равномерной) треугольной призмы

Если основание равностороннее , а боковые грани квадратные , то правая треугольная призма полуправильная . Полуправильная призма означает, что количество ребер ее многоугольного основания равно количеству ее квадратных граней. В более общем смысле треугольная призма однородна . Это означает, что треугольная призма имеет правильные грани и изогональную симметрию в вершинах. Трехмерной группой симметрии прямой треугольной призмы является группа диэдра D _{3 h} порядка 12: внешний вид не изменится, если треугольную призму повернуть на одну и две трети полного угла вокруг своей оси симметрии, проходящей через центр. основание и отражается в горизонтальной плоскости. Двойственный многогранник треугольной призмы представляет собой треугольную бипирамиду . Треугольная бипирамида имеет ту же симметрию, что и треугольная призма. Двугранный угол между двумя соседними квадратными гранями — это внутренний угол равностороннего треугольника π /3 = 60° , а угол между квадратом и треугольником — π /2 = 90° .

Объем любой призмы равен произведению площади основания и расстояния между двумя основаниями. В случае треугольной призмы ее основанием является треугольник, поэтому ее объем можно вычислить, умножив площадь треугольника на длину призмы:

$${\frac {bhl}{2}},$$

где b — длина одной стороны треугольника, h — длина высоты, проведенной к этой стороне, а l — расстояние между треугольными гранями. В случае прямоугольной призмы, у которой все ее ребра равны по длине l , ее объем можно рассчитать как произведение площади равностороннего треугольника и длины l :

$${\frac {\sqrt {3}}{2}}l^{2}\cdot l\approx 0.433l^{3}$$

Треугольную призму можно представить в виде графа призмы Π ₃ . В более общем смысле граф призмы Π _n представляет собой n - стороннюю призму.

Связанный многогранник

В построении многогранника

Помимо треугольной бипирамиды как ее двойственного многогранника, с треугольной призмой связаны многие другие многогранники. Тело Джонсона — это выпуклый многогранник с правильными гранями, и в это определение иногда опускают однородные многогранники, такие как архимедовы тела , каталонские тела , призмы и антипризмы . Существует 6 тел Джонсона, конструкция которых включает треугольную призму: вытянутая треугольная пирамида , вытянутая треугольная бипирамида , гиробифастигий , увеличенная треугольная призма , двуувеличенная треугольная призма и триувеличенная треугольная призма . Вытянутая треугольная пирамида и гировытянутая треугольная пирамида построены путем прикрепления тетраэдра к основанию треугольной призмы. Увеличенная треугольная призма, двуувеличенная треугольная призма и триувеличенная треугольная призма построены путем прикрепления равносторонних квадратных пирамид к квадратной грани призмы. Гиробифастигиум состоит из соединения двух треугольных призм вдоль одной из его квадратных граней.

Усеченная правая треугольная призма

Усеченная треугольная призма — это треугольная призма, построенная путем усечения ее части под косым углом. В результате два основания не параллельны, и каждая высота имеет разную длину края. Если ребра, соединяющие основания, перпендикулярны одному из ее оснований, призма называется усеченной прямоугольной призмой . Учитывая, что A — площадь основания треугольной призмы и три высоты h ₁ , h ₂ и h ₃ , ее объем можно определить по следующей формуле:

$${\frac {A(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.$$

Многогранник Шёнхардта

Многогранник Шенхардта — еще один многогранник, построенный из треугольной призмы с равносторонними треугольными основаниями. Таким образом, одно из ее оснований вращается вокруг центральной линии призмы и разбивает квадратные грани на косые многоугольники . Каждую квадратную грань можно повторно триангулировать с помощью двух треугольников, чтобы сформировать невыпуклый двугранный угол. В результате многогранник Шенхардта не может быть триангулирован путем разбиения на тетраэдры. Дело также в том, что у многогранника Шенхардта нет внутренних диагоналей. Она названа в честь немецкого математика Эриха Шенхардта , описавшего ее в 1928 году, хотя родственная структура была продемонстрирована художником Карлисом Йохансонсом в 1921 году.

Скрещенная равнобедренными треугольная антипризма разделяет расположение вершин с треугольной призмой в качестве огранки , с боковыми треугольниками .

Имеется 4 однородных соединения треугольных призм. Они представляют собой соединение четырех треугольных призм , соединение восьми треугольных призм , соединение десяти треугольных призм , соединение двадцати треугольных призм .

Соты

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки треугольной призмы:

Гироудлиненные чередующиеся кубические соты , удлиненные чередующиеся кубические соты , вращающиеся треугольные призматические соты , квадратные призматические соты , , усеченные треугольно-шестиугольные призматические соты , шестиугольные призматические соты , ромботреугольно-шестиугольные призматические соты курносые курносые треугольно-шестиугольные призматические соты б, вытянутый треугольный призматические соты

Связанные многогранники

Треугольная призма стоит первой в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник является вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные грани многогранников, содержащие все симплексы и ортоплексы ( равносторонние треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В обозначениях Коксетера треугольной призме присвоен символ −1 ₂₁ .

показывать k 21 фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\tilde {E}}_{8}$ = E8+	E10 = ${\bar {T}}_{8}$ = E8++
Coxeter diagram
Symmetry	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−121	021	121	221	321	421	521	621

Четырехмерное пространство

Треугольная призма существует как ячейки ряда четырехмерных однородных 4-многогранников , в том числе:

Ссылки

Библиография

• Багемил, Ф. (1948). «О неразложимых многогранниках». Американский математический ежемесячник . 55 (7): 411–413. дои : 10.2307/2306130 . JSTOR   2306130 .
• Бансод, Йогеш Дипак; Нанданвар, Дипеш; Бурша, Иржи (2014). «Обзор тенсегрити – I: Основные структуры» (PDF) . Инженерная механика . 21 (5): 355–367.
• Берман, Лия Ренн; Уильямс, Гордон (2009). «Изучение многогранников и открытие формулы Эйлера». В Хопкине, Брайан (ред.). Ресурсы для преподавания дискретной математики: классные проекты, исторические модули и статьи . Математическая ассоциация Америки .
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР   0290245 .
• Бездек, Андрас; Кэрриган, Брэкстон (2016). «О нетреугольных многогранниках». Вклад в алгебру и геометрию . 57 (1): 51–66. дои : 10.1007/s13366-015-0248-4 . МР3457762   . S2CID   118484882 .
• Хоул, Вм. стр. (1893). Измерение . Джин и компания.
• Керн, Уильям Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1938). Твердые измерения с доказательствами . OCLC   1035479 .
• Кинг, Роберт Б. (1994). «Многогранная динамика». В Бончеве Данаил Д.; Мекенян О.Г. (ред.). Теоретико-графовые подходы к химической реакционной способности . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-011-1202-4 . ISBN  978-94-011-1202-4 .
• Кинси, Л. Кристина ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011). Геометрия и симметрия . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-470-49949-8 .
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР   0185507 . S2CID   122006114 . Збл   0132.14603 .
• Мессер, Питер В. (2002). «Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойников». Дискретная вычислительная геометрия . 27 : 353–375. дои : 10.1007/s00454-001-0078-2 .
• О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: закономерности и симметрия . Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-83654-6 .
• Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013). Конфигурация с графической точки зрения . Спрингер. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN  978-0-8176-8363-4 .
• Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN  978-93-86279-06-4 .
• Шенхардт, Э. (1928). «О разложении треугольных многогранников на тетраэдры» . Математические анналы : 309–312. дои : 10.1007/BF01451597 .
• Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 : 447–457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR   0397554
• Тодеско, Джан Марко (2020). «Гиперболические соты». В Эммере, Мишель; Абате, Марко (ред.). Представьте себе математику 7: между культурой и математикой . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-42653-8 . ISBN  978-3-030-42653-8 .
• Уильямс, Ким; Монтелеоне, Косино (2021). Перспектива Даниэле Барбаро 1568 года . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-030-76687-0 . ISBN  978-3-030-76687-0 .