E _n (алгебра Ли)

Диаграммы Дынкина
Конечный
Е ₃ = А ₂ А ₁
Е ₄ = А ₄
Е ₅ = Д ₅
E_Е6
E ₇
E₈
Аффинный (расширенный)
Е ₉ или Е ⁽¹⁾ ₈ или Е ⁺ ₈
Гиперболический (чрезмерно расширенный)
Е ₁₀ или Е ^{(1)^} ₈ или Е ⁺⁺ ₈
Лоренцев (очень расширенный)
Е ₁₁ или Е ⁺⁺⁺ ₈
Вставай – Муди
Е ₁₂ или Е ⁺⁺⁺⁺ ₈
...

В математике , особенно в Ли теории , En _— алгебра Каца–Муди которой , диаграмма Дынкина представляет собой разветвляющийся граф с тремя ветвями длины 1, 2 и k , с k = n − 4 .

и статьях E2 _E4 и книгах _{используются} как названия G2 _и некоторых старых F4 _В .

Конечномерные алгебры Ли

Группа En _{за исключением того ,} аналогична группе An _, что n-й узел соединен с 3-м узлом. Таким образом, матрица Картана выглядит аналогично: -1 выше и ниже диагонали, за исключением последней строки и столбца, имеет -1 в третьей строке и столбце. Определитель матрицы Картана для E _n равен 9 − n .

E ₃ — другое название алгебры Ли A ₁ A ₂ размерности 11 с определителем Картана 6.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₄ — другое название алгебры Ли A ₄ размерности 24 с определителем Картана 5.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{matrix}}\right]$
E ₅ — другое название алгебры Ли D ₅ размерности 45 с определителем Картана 4.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&-1\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₆ — исключительная алгебра Ли размерности 78 с определителем Картана 3.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₇ — исключительная алгебра Ли размерности 133 с определителем Картана 2.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₈ — исключительная алгебра Ли размерности 248 с определителем Картана 1.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$

Бесконечномерные алгебры Ли

E ₉ — другое название бесконечномерной аффинной алгебры Ли Ẽ ₈ (также как E ⁺
₈ или Е ⁽¹⁾
₈ как (одноузловую) расширенную E ₈ ) (или E ₈ решетку ), соответствующую алгебре Ли типа E ₈ . E ₉ имеет матрицу Картана с определителем 0.
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$
Е ₁₀ (или Е ⁺⁺
₈ или Е ^{(1)^}
₈ как (двухузловое) перерасширенное E ₈ ) — бесконечномерная алгебра Каца–Муди , корневая решетка которой представляет собой четную лоренцеву унимодулярную решетку II _9,1 размерности 10. Некоторые из ее корневых кратностей были вычислены; для маленьких корней множественности кажутся хорошими, но для более крупных корней наблюдаемые закономерности нарушаются. E ₁₀ имеет матрицу Картана с определителем −1:
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$
Е ₁₁ (или Е ⁺⁺⁺
₈ как (трехузловая) очень расширенная E ₈ ) — лоренцева алгебра , содержащая одно времяподобное мнимое измерение, которое, как предполагалось, порождает «группу» симметрии М-теории .
En _{представляет собой} для n ≥ 12 бесконечномерных алгебр Каца–Муди . семейство малоизученных

Корневая решетка

Корневая решетка En _n имеет определитель 9 − ортогональных и может быть построена как решетка векторов унимодулярной лоренцевой решетки Z _{n ,1,} вектору (1,1,1,1,...,1 |3) нормы n × 1 ² − 3 ² знак равно п - 9 .

И _{7 + 1 ⁄ 2}

Ландсберг и Манивель расширили определение En _для целого числа n, включив в него случай n = 7 + 1 ⁄ 2 . Они сделали это для того, чтобы заполнить «дыру» в формулах размерностей для представлений серии En, _{которую} наблюдали Цвитанович, Делинь, Коэн и де Ман. Э _{7 + 1/2 имеет размерность 190, но -} не является простой алгеброй Ли: она содержит в качестве нильрадикала 57 Гейзенберга мерную алгебру .

См. также

k ₂₁ , 2 _k1 , 1 _k2 многогранников, основанных на En _{алгебрах} Ли.

Ссылки

Кац, Виктор Г; Муди, Р.В.; Вакимото, М. (1988). «На Е ₁₀ ». Дифференциально-геометрические методы в теоретической физике (Комо, 1987) . НАТО Adv. наук. Инст. Сер. С Математика. Физ. наук. Том. 250. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. 109–128. МР 0981374 .

Дальнейшее чтение

Уэст, П. (2001). «Теория Е ₁₁ и М». Классическая и квантовая гравитация . 18 (21): 4443–4460. arXiv : hep-th/0104081 . Бибкод : 2001CQGra..18.4443W . дои : 10.1088/0264-9381/18/21/305 . S2CID 250872099 . Сорт. Квантовая гравитация. 18 (2001) 4443-4460
Геберт, RW; Николай, Х. (1994). «Е 10 для начинающих». Е ₁₀ для начинающих . Конспект лекций по физике. Том. 447. стр. 197–210. arXiv : hep-th/9411188 . дои : 10.1007/3-540-59163-X_269 . ISBN 978-3-540-59163-4 . S2CID 14570784 . Материалы мемориальной конференции Герси '94
Ландсберг, Дж. М.; Манивель, Л. (2006). «Пономари и Е _7½ » . Достижения в математике . 201 (1): 143–179. arXiv : math.RT/0402157 . дои : 10.1016/j.aim.2005.02.001 .
Связи между алгебрами Каца-Муди и М-теорией , Пол П. Кук, 2006 [1]
Класс лоренцевых алгебр Каца-Муди , Матиас Р. Габердиэль, Дэвид И. Олив и Питер К. Уэст, 2002 г. [2]