Унимодулярная решетка

В геометрии и математической групп унимодулярная решетка представляет собой целую решетку определителя теории 1 или -1. Для решетки в n -мерном евклидовом пространстве это эквивалентно требованию, чтобы объем любой фундаментальной области решетки был равен 1.

Решетка E ₈ и — решетка Лича два известных примера.

Определения

Решетка — это свободная абелева группа конечного ранга с симметричной билинейной формой (·, ·).
Решетка является целой, если (·,·) принимает целые значения.
Размерность решетки равна ее рангу (как Z - модуля ).
Норма равна элемента решетки a ( a , a ).
Решетка является положительно определенной, если норма всех ненулевых элементов положительна.
Определитель определитель решетки — это матрицы Грама , матрицы с элементами ( a _i , a _j ), где элементы a _i образуют основу решетки.
Целочисленная решетка унимодулярна , если ее определитель равен 1 или −1.
Унимодулярная решетка является четной или типа II, если все нормы четны, в противном случае - нечетной или типа I.
Минимум . положительно определенной решетки — это низшая ненулевая норма
Решетки часто встраиваются в реальное векторное пространство симметричной билинейной формы. Решетка является положительно определенной , лоренцевой и т. д., если ее векторное пространство таково.
Сигнатура сигнатура решетки — это формы в векторном пространстве.

Примеры

Три наиболее важных примера унимодулярных решеток:

Решетка Z в одном измерении.
Решетка Е ₈ , , четная 8-мерная решетка
Решетка Лича — 24-мерная четная унимодулярная решетка без корней.

Характеристики

Целочисленная решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда ее двойственная решетка является целой. Унимодулярные решетки равны своим двойственным решеткам, и по этой причине унимодулярные решетки также известны как самодуальные.

Учитывая пару ( m , n ) неотрицательных целых чисел, четная унимодулярная решетка сигнатуры ( m , n ) существует тогда и только тогда, когда m − n делится на 8, но нечетная унимодулярная решетка сигнатуры ( m , n всегда существует ). . В частности, даже унимодулярные определенные решетки существуют только в размерности, кратной 8. Примеры всех допустимых сигнатур даются конструкциями II _m,n и I _m,n соответственно.

Тэта -функция унимодулярной положительно определенной решетки — это модулярная форма , вес которой равен половине ранга. Если решетка четная, то форма имеет уровень 1, а если решетка нечетная, то форма имеет структуру Г ₀ (4) (т. е. является модулярной формой уровня 4). Из-за ограничения размерности пространств модулярных форм минимальная норма ненулевого вектора четной унимодулярной решетки не превышает ⎣ n /24⎦ + 1. Четная унимодулярная решетка, достигающая этой границы, называется экстремальной. Известны экстремальные даже унимодулярные решетки в соответствующих размерностях до 80, ^[1] и их отсутствие доказано для размерностей выше 163 264. ^[2]

Классификация

Для неопределенных решеток классификацию описать легко.Напишите Р ^{м , н} для m + n -мерного векторного пространства R ^{м + н} с внутренним продуктом ( a ₁ , ..., a _{m + n} ) и ( b ₁ , ..., b _{m + n} ), заданные формулами

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{m}b_{m}-a_{m+1}b_{m+1}-\cdots -a_{m+n}b_{m+n}.\,

В Р ^{м , н} существует одна нечетная неопределенная унимодулярная решетка с точностью до изоморфизма , обозначается

Я _{м , н} ,

который задается всеми векторами ( a ₁ ,..., a _{m + n} )в Р ^{м , н} со всеми целыми числами a _i .

Неопределенных даже унимодулярных решеток не существует, если только

m − n делится на 8,

в этом случае существует единственный с точностью до изоморфизма пример, обозначаемый через

II _{м , н} .

Это задается всеми векторами ( a ₁ ,..., a _{m + n} )в Р ^{м , н} такие, что либо все a _i являются целыми числами, либо все они являются целыми числами плюс 1/2, и их сумма четна. Решетка II _8,0 такая же, как решетка Е ₈ .

Положительно определенные унимодулярные решетки классифицируются до размерности 25. Существует уникальный пример I _{n ,0} в каждой размерности n. менее 8 и два примера ( I _8,0 и II _8,0 ) в размерности 8. Число решеток умеренно увеличивается до размерности 25 (где их 665), но за пределами измерения 25 формула массы Смита-Минковского-Зигеля подразумевает, что число очень быстро увеличивается с размером измерения; например, в измерении 32 их более 80 000 000 000 000 000.

В некотором смысле унимодулярные решетки до размерности 9 управляются E ₈ , а до размерности 25 — решеткой Лича, и это объясняет их необычайно хорошее поведение в этих измерениях. Например, диаграмма Дынкина векторов нормы 2 унимодулярных решеток размерности до 25 естественным образом отождествляется с конфигурацией векторов в решетке Лича. Резкий рост числа измерений за пределами 25 можно объяснить тем фактом, что эти решетки больше не контролируются решеткой Лича.

Даже положительно определенная унимодулярная решетка существует только в размерностях, кратных 8.Есть один в размерности 8 ( решетка Е ₈ ), два в размерности 16 ( Е ₈² и II _16,0 ), и 24 в размерности 24, называемые решетками Нимейера (примеры: решетка Лича , II _24,0 , II _16,0 + II _8,0 , II _8,0).³). За пределами 24 измерений их число увеличивается очень быстро; в 32 измерениях их более миллиарда.

Унимодулярные решетки без корней (векторы нормы 1 или 2) классифицируются до размерности 28. Не существует ни одной размерности меньше 23 (кроме нулевой решетки!). Есть одна в измерении 23 (называемая короткой решеткой Лича ), две в измерении24 (решетка Лича и нечетная решетка Лича ), а также Бачер и Венков (2001) показали, что в измерениях 25, 26, 27, 28 находятся 0, 1, 3, 38 соответственно. За пределами этого число увеличивается очень быстро; в размерности 29 их не менее 8000. В достаточно больших размерностях большинство унимодулярных решеток не имеют корней.

Единственный ненулевой пример даже положительно определенных унимодулярных решеток без корней в размерности меньше 32 - это решетка Лича в размерности 24. В размерности 32 имеется более десяти миллионов примеров, а выше размерности 32 их число увеличивается очень быстро.

В следующей таблице из ( King 2003 ) указано количество (или нижние оценки) четных и нечетных унимодулярных решеток в различных измерениях и показан очень быстрый рост, начинающийся вскоре после измерения 24.

Измерение	Нечетные решетки	Нечетные решетки нет корней	Даже решетки	Даже решетки нет корней
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (решетка Е ₈ )	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 ( Е ₈², D ₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (более короткая решетка Лича)
24	273	1 (нечетная решетка Лича)	24 (решетки Нимейера)	1 (Решетка пиявки)
25	665	0
26	≥ 2307	1
27	≥ 14179	3
28	≥ 327972	38
29	≥ 37938009	≥ 8900
30	≥ 20169641025	≥ 82000000
31	≥ 5x10 ¹²	≥ 8×10 ¹¹
32	≥ 8x10 ¹⁶	≥ 1×10 ¹⁶	≥ 1162109024	≥ 10000000

За пределами 32 измерений цифры растут еще быстрее.

Приложения

Вторая группа когомологий замкнутого односвязного ориентированного топологического 4-многообразия представляет собой унимодулярную решетку. Майкл Фридман показал, что эта решетка почти определяет многообразие : существует единственное такое многообразие для каждой четной унимодулярной решетки и ровно два для каждой нечетной унимодулярной решетки. В частности, если мы примем решетку равной 0, это приведет к гипотезе Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий. Теорема Дональдсона утверждает, что если многообразие гладкое и решетка положительно определена, то она должна быть суммой копий Z , поэтому большинство этих многообразий не имеют гладкой структуры . Одним из таких примеров является $E_{8}$ многообразие .

Ссылки

^ Небе, Габриэле; Слоан, Нил. «Унимодулярные решетки вместе с таблицей лучших таких решеток» . Интернет-каталог решеток . Проверено 30 мая 2015 г.
^ Небе, Габриэле (2013). «Теория решеток и сферических конструкций Бориса Венкова». Ин Ван, Вай Киу; Фукшанский, Ленни; Шульце-Пилло, Райнер; и др. (ред.). Диофантовы методы, решетки и арифметическая теория квадратичных форм . Современная математика. Том. 587. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 1–19. arXiv : 1201.1834 . Бибкод : 2012arXiv1201.1834N . МР 3074799 .

Бахер, Роланд; Венков, Борис (2001), «Унимодулярные целые решетки без корней в размерностях 27 и 28» , Мартине, Жак (ред.), Евклидовы сети, сферические конструкции и модульные формы [ Евклидовы решетки, сферические конструкции и модульные формы ], Monogr. Учите. Математика. (на французском языке), том. 37, Женева: Математическое образование, стр. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 , MR 1878751 , Zbl 1139.11319 , заархивировано из оригинала 28 сентября 2007 г.
Конвей, Дж. Х. ; Слоан, NJA (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, При участии Баннаи Э.; Борчердс, RE; Лич, Дж.; Нортон, СП; Одлыжко А.М.; Паркер, РА; Королева, Л.; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9 , МР 0662447 , Збл 0915.52003
Кинг, Оливер Д. (2003), «Формула массы для унимодулярных решеток без корней», Mathematics of Computation , 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT/0012231 , Bibcode : 2003MaCom..72.. 839К , doi : 10.1090/S0025-5718-02-01455-2 , MR 1954971 , S2CID 7766244 , Збл 1099.11035
Милнор, Джон ; Хуземоллер, Дейл (1973), Симметричные билинейные формы , Результаты математики и ее границы , том. 73, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-88330-9 , ISBN. 3-540-06009-Х , МР 0506372 , Збл 0292.10016
Серр, Жан-Пьер (1973), Курс арифметики , Тексты для выпускников по математике , том. 7, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/978-1-4684-9884-4 , ISBN. 0-387-90040-3 , МР 0344216 , Збл 0256.12001
Фридман, Майкл Х. (1982), «Топология четырехмерных многообразий», J. Differential Geom. , 17 (3): 357–453, doi : 10.4310/jdg/1214437136

Внешние ссылки

Габриэле Небе и Нила Слоана . Каталог унимодулярных решеток
Последовательность OEIS A005134 (Количество n-мерных унимодулярных решеток)

[1] Небе, Габриэле; Слоан, Нил. «Унимодулярные решетки вместе с таблицей лучших таких решеток» . Интернет-каталог решеток . Проверено 30 мая 2015 г.

[2] Небе, Габриэле (2013). «Теория решеток и сферических конструкций Бориса Венкова». Ин Ван, Вай Киу; Фукшанский, Ленни; Шульце-Пилло, Райнер; и др. (ред.). Диофантовы методы, решетки и арифметическая теория квадратичных форм . Современная математика. Том. 587. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 1–19. arXiv : 1201.1834 . Бибкод : 2012arXiv1201.1834N . МР 3074799 .

[1]

[2]