Формула массы Смита – Минковского – Зигеля

В математике формула массы Смита-Минковского-Зигеля (или массовая формула Минковского-Зигеля ) представляет собой формулу суммы весов решеток ( квадратичных форм ) в роде , взвешенных по обратным порядкам их групп автоморфизмов. . Формула массы часто дается для целых квадратичных форм, хотя ее можно обобщить на квадратичные формы над любым полем алгебраических чисел.

В 0 и 1 измерениях формула массы тривиальна, в 2 измерениях она по существу эквивалентна Дирихле формулам числа классов для мнимых квадратичных полей , а в 3 измерениях некоторые частичные результаты были даны Готхольдом Эйзенштейном . Формула массы в высших измерениях была впервые дана Х. Дж. Смитом ( 1867 ), хотя его результаты были забыты на многие годы. Его переоткрыл Х. Минковский ( 1885 ), а ошибку в статье Минковского нашел и исправил К. Л. Сигел ( 1935 ).

Многие опубликованные версии формулы массы содержат ошибки; в частности, трудно правильно определить 2-адические плотности, и иногда забывают, что тривиальные случаи размерностей 0 и 1 отличаются от случаев размерности не менее 2. Конвей и Слоан (1988) дают пояснительное описание и точную формулировку формулы массы для целочисленных квадратичных форм, которая надежна, поскольку они проверяют ее на большом количестве явных случаев.

Недавние доказательства формулы массы см. ( Китаока 1999 ) и ( Эскин, Рудник и Сарнак 1991 ).

Формула массы Смита-Минковского-Зигеля по существу является постоянным членом формулы Вейля-Зигеля .

Заявление формулы массы

Если f - n -мерная положительно определенная целочисленная квадратичная форма (или решетка), то масса своего рода определяется как

$m(f)=\sum _{\Lambda }{1 \over |{\operatorname {Aut} (\Lambda )}|}$

где сумма ведется по всем целочисленно неэквивалентным формам того же рода, что и f , а Aut(Λ) — группа автоморфизмов Λ. Форма формулы массы, данная Конвеем и Слоаном (1988), гласит, что для n ≥ 2 масса определяется выражением

$m(f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\prod _{p{\text{ prime}}}2m_{p}(f)$

где m _p ( f ) - p -масса f , определяемая формулой

$m_{p}(f)={p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2} \over N(p^{r})}$

для достаточно большого r , где p ^с — высшая степень p, делящая определитель f . Число N ( p ^р ) — количество размером n на n матриц X с коэффициентами, которые являются целыми числами по модулю p  ^р такой, что

$X^{\text{tr}}AX\equiv A\ {\bmod {\ }}p^{r}$

где A — матрица Грама функции f или, другими словами, порядок группы автоморфизмов вида, приведенного по модулю p  ^р .

Некоторые авторы формулируют формулу массы через p -адическую плотность.

$\alpha _{p}(f)={N(p^{r}) \over p^{rn(n-1)/2}}={p^{s(n+1)/2} \over m_{p}(f)}$

вместо p -массы. P - масса инвариантна при изменении масштаба f , а p -плотность — нет.

В (тривиальных) случаях размерности 0 или 1 формула массы нуждается в некоторых модификациях. Множитель 2 перед m _p ( f ) представляет собой индекс специальной ортогональной группы в ортогональной группе. группа, которая имеет размерность только 1 в 0.

Оценка массы

Формула массы дает массу как бесконечное произведение всех простых чисел. Это можно переписать в виде конечного произведения следующим образом. Для всех простых чисел, кроме конечного (не делящих 2 det( ƒ )) p -масса m _p ( ƒ ) равна стандартной p-массе std _p ( ƒ ), определяемой формулой

$\operatorname {std} _{p}(f)={1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1-{(-1)^{n/2}\det(f) \choose p}p^{-n/2})}\quad$ (для n = dim( ƒ ) даже)

$\operatorname {std} _{p}(f)={1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{1-n})}$ (для n = dim( ƒ ) нечетно)

где символ Лежандра во второй строке интерпретируется как 0, если p делит 2 det( ƒ ).

Если все p -массы имеют стандартное значение, то общая масса равна стандартная масса

$\operatorname {std} (f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\left(\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\right)\zeta (2)\zeta (4)\dots \zeta (n-1)$ (Для n нечетных)

$\operatorname {std} (f)=2\pi ^{-n(n+1)/4}\left(\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\right)\zeta (2)\zeta (4)\dots \zeta (n-2)\zeta _{D}(n/2)$ (Для n даже)

где

$\zeta _{D}(s)=\prod _{p}{1 \over 1-{{\big (}{\frac {D}{p}}{\big )}}p^{-s}}$

Д = (−1) ^{н /2} это ( ƒ )

Значения дзета-функции Римана для четных целых чисел s выражаются в числах Бернулли следующим образом:

$\zeta (s)={(2\pi )^{s} \over 2\times s!}|B_{s}|.$

Таким образом, масса ƒ определяется как конечное произведение рациональных чисел как

$m(f)=\operatorname {std} (f)\prod _{p|2\det(f)}{m_{p}(f) \over \operatorname {std} _{p}(f)}.$

Оценка p -массы

Если форма f имеет p-адическое жорданово разложение

$f=\sum qf_{q}$

где q проходит через степени p, а f _q имеет определитель, простой перед p , и размерность n ( q ), тогда p -масса определяется выражением

$m_{p}(f)=\prod _{q}M_{p}(f_{q})\times \prod _{q<q'}(q'/q)^{n(q)n(q')/2}\times 2^{n(I,I)-n(II)}$

Здесь n (II) — сумма размерностей всех жордановых компонент типа 2 и p = 2, а n (I,I) — общее число пар соседних составляющих f _q , f _{2 q,} которые оба относятся к типу Я.

Множитель M _p ( f _q ) называется диагональным фактором и представляет собой степень p , умноженную на порядок некоторой ортогональной группы над полем с p элементами. Для нечетного p его значение определяется выражением

${1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{1-n})}$

когда n нечетно, или

${1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1-p^{-n/2})}$

когда n четно и (−1) ^{н /2} d _q — квадратичный вычет, или

${1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-n})(1+p^{-n/2})}$

когда n четно и (−1) ^{н /2} d _q — квадратичный невычет.

Для p = 2 диагональный коэффициент M _p ( f _q ), как известно, сложно вычислить. (Это обозначение вводит в заблуждение, поскольку оно зависит не только от f _q, но также от f _{2 q} и f _{q /2} .)

• Мы говорим, что f _q нечетна , если она представляет собой нечетное 2-адическое целое число, и даже в противном случае.
• Октановое значение f представляет _q собой целое число по модулю 8; если f _q четное, его октановое значение равно 0, если определитель равен +1 или -1 по модулю 8, и равно 4, если определитель равен +3 или -3 по модулю 8, а если f _q нечетное, его можно диагонализировать и его октановое число Значение тогда представляет собой количество диагональных элементов, равных 1 по модулю 4, минус число, равное 3 по модулю 4.
• Мы говорим, что f _q связан , если хотя бы один из f _{2 q} и f _{q /2} нечетен, и говорим, что он свободен в противном случае.
• Целое число t определяется так, что размерность f _q равна 2 t, если f _q четная, и 2 t + 1 или 2 t + 2, если f _q нечетная.

Тогда диагональный коэффициент M _p ( f _q ) задается следующим образом.

${1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{-2t})}$

когда форма связана или имеет октановое число +2 или -2 по модулю 8 или

${1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-2t})(1-p^{-t})}$

когда форма свободна и имеет октановое число -1 или 0 или 1 по модулю 8 или

${1 \over 2(1-p^{-2})(1-p^{-4})\dots (1-p^{2-2t})(1+p^{-t})}$

когда форма свободна и имеет октановое число -3 или 3 или 4 по модулю 8.

Оценка ζ _D ( s )

Искомые значения ряда Дирихле ζ _D ( s ) можно оценить следующим образом. Мы пишем χ для характера Дирихле с χ( m ), заданным как 0, если m четное, и символом Якоби ${\left({\frac {D}{m}}\right)}$ если m нечетно. Обозначим k для модуля этого характера и k ₁ для его проводника и положим χ = χ ₁ ψ, где χ ₁ — главный характер mod k , а ψ — примитивный характер mod k ₁ . Затем

$\zeta _{D}(s)=L(s,\chi )=L(s,\psi )\prod _{p|k}\left(1-{\psi (p) \over p^{s}}\right)$

Функциональное уравнение для L-серии имеет вид

$L(1-s,\psi )={k_{1}^{s-1}\Gamma (s) \over (2\pi )^{s}}(i^{-s}+\psi (-1)i^{s})G(\psi )L(s,\psi )$

где G — сумма Гаусса

$G(\psi )=\sum _{r=1}^{k_{1}}\psi (r)e^{2\pi ir/k_{1}}.$

Если s — целое положительное число, то

$L(1-s,\psi )=-{k_{1}^{s-1} \over s}\sum _{r=1}^{k_{1}}\psi (r)B_{s}(r/k_{1})$

где Bs _. ( x ) — Бернулли многочлен

Примеры

Для случая четных унимодулярных решеток Λ размерности n > 0, кратной 8, формула массы имеет вид

$\sum _{\Lambda }{1 \over |\operatorname {Aut} (\Lambda )|}={|B_{n/2}| \over n}\prod _{1\leq j<n/2}{|B_{2j}| \over 4j}$

где Bk _число — Бернулли .

Размерность n = 0

Приведенная выше формула не работает для n = 0, и, как правило, формулу массы необходимо изменить в тривиальных случаях, когда размерность не превышает 1. Для n = 0 существует только одна решетка, нулевая решетка, с весом 1, поэтому общая масса равна 1.

Размер n = 8

Формула массы дает общую массу как

${|B_{4}| \over 8}{|B_{2}| \over 4}{|B_{4}| \over 8}{|B_{6}| \over 12}={1/30 \over 8}\;{1/6 \over 4}\;{1/30 \over 8}\;{1/42 \over 12}={1 \over 696729600}.$

Существует ровно одна четная унимодулярная решетка размерности 8, решетка E8 , группа автоморфизмов которой является группой Вейля E ₈ порядка 696729600, так что это подтверждает формулу массы в этом случае. Первоначально Смит дал неконструктивное доказательство существования четной унимодулярной решетки размерности 8, используя тот факт, что масса отлична от нуля.

Размер n = 16

Формула массы дает общую массу как

${|B_{8}| \over 16}{|B_{2}| \over 4}{|B_{4}| \over 8}{|B_{6}| \over 12}{|B_{8}| \over 16}{|B_{10}| \over 20}{|B_{12}| \over 24}{|B_{14}| \over 28}={691 \over 277667181515243520000}.$

Имеются две четные унимодулярные решетки размерности 16, одна с системой корней E _8. ² и группа автоморфизмов порядка 2×696729600 ² = 970864271032320000, и один с корневой системой D ₁₆ и группой автоморфизмов порядка 2. ¹⁵ 16! = 685597979049984000.

Итак, формула массы

${1 \over 970864271032320000}+{1 \over 685597979049984000}={691 \over 277667181515243520000}.$

Размер n = 24

Существует 24 даже унимодулярные решетки размерности 24, называемые решетками Нимейера . Формула массы для них проверена ( Conway & Sloane 1998 , стр. 410–413).

Размер n = 32

Масса в данном случае большая, более 40 миллионов. Это означает, что существует более 80 миллионов даже унимодулярные решетки размерности 32, поскольку каждая из них имеет группу автоморфизмов порядка не менее 2, поэтому вклад в массу составляет не более 1/2. Уточняя этот аргумент, Кинг (2003) показал, что таких решеток более миллиарда. В более высоких измерениях масса и, следовательно, количество решеток увеличивается очень быстро.

Обобщения

Зигель дал более общую формулу, подсчитывающую взвешенное число представлений одной квадратичной формы формами некоторого рода; формула массы Смита-Минковского-Зигеля представляет собой особый случай, когда одна форма является нулевой формой.

Тамагава показал, что формула массы эквивалентна утверждению, что Тамагавы число ортогональная группа равна 2, что эквивалентно утверждению, что число Тамагавы ее односвязного покрытия, спиновой группы, равно 1. Андре Вейль в более общем плане выдвинул гипотезу, что число Тамагавы любой односвязной полупростой группы равно 1 , и эта гипотеза была доказана Котвитц в 1988 году.

Кинг (2003) дал формулу массы для унимодулярных решеток без корней (или с заданной системой корней).

См. также

• Удостоверительная печать

Ссылки

• Конвей, Дж. Х. ; Слоан, NJA (1998), Сферические упаковки, решетки и группы , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98585-5
• Конвей, Дж. Х.; Слоан, NJA (1988), «Низкомерные решетки. IV. Формула массы», Труды Лондонского королевского общества. Series A, Mathematical and Physical Sciences , 419 (1988): 259–286, Bibcode : 1988RSPSA.419..259C , CiteSeerX   10.1.1.24.2955 , doi : 10.1098/rspa.1988.0107 , JSTOR   2398465
• Эскин, Алекс; Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1991), «Доказательство весовой формулы Зигеля», International Mathematics Research Sciences , 1991 (5): 65–69, doi : 10.1155/S1073792891000090 , MR   1131433
• Кинг, Оливер (2003), «Формула массы для унимодулярных решеток без корней», Mathematics of Computation , 72 (242): 839–863, arXiv : math.NT/0012231 , Bibcode : 2003MaCom..72..839K , дои : 10.1090/S0025-5718-02-01455-2 .
• Китаока, Ёсиюки (1999), Арифметика квадратичных форм , Кембриджские трактаты по математике, Кембридж: Cambridge Univ. Пресса, ISBN  978-0-521-64996-4
• Минковский, Герман (1885), «Исследования квадратичных форм I. Определение количества различных форм, которые содержит данный пол», Acta Mathematica , 7 (1): 201–258, doi : 10.1007/BF02402203
• Сигел, Карл Людвиг (1935), «Убер Аналитическая теория квадратичных форм», Анналы математики , вторая серия, 36 (3): 527–606, doi : 10.2307/1968644 , JSTOR   1968644
• Смит, Х. Дж. Стивен (1867), «О порядках и родах квадратичных форм, содержащих более трех неопределенных чисел» , Proceedings of the Royal Society of London , 16 : 197–208, doi : 10.1098/rspl.1867.0036 , JSTOR   112491