Гипотеза Вейля о числах Тамагавы

В математике гипотеза Вейля о числах Тамагавы — это утверждение, что число Тамагавы $\tau (G)$ односвязной простой односвязность алгебраической группы, определенной над числовым полем, равна 1. В этом случае означает «не иметь собственного алгебраического покрытия» в смысле теории алгебраических групп , что не всегда является смыслом топологов .

История

Вейль ( 1959 ) вычислил число Тамагавы во многих случаях классических групп и заметил, что оно является целым во всех рассмотренных случаях и что оно равно 1 в случаях, когда группа односвязна. Первое наблюдение справедливо не для всех групп: Оно (1963) нашел примеры, когда числа Тамагавы не являются целыми числами. Второе наблюдение о том, что числа Тамагавы односвязных полупростых групп кажутся равными 1, стало известно как гипотеза Вейля.

Роберт Ленглендс (1966) представил методы гармонического анализа , чтобы показать это для групп Шевалле . К. Ф. Лай (1980) расширил класс известных случаев до квазирасщепимых редуктивных групп . Котвиц (1988) доказал это для всех групп, удовлетворяющих Хассе , который в то время был известен для всех групп без E8 _{принципу} факторов . В. И. Черноусов (1989) снял это ограничение, доказав принцип Хассе для устойчивого Е8 _случая (см. сильное приближение в алгебраических группах ), завершив тем самым доказательство гипотезы Вейля. В 2011 году Джейкоб Лурье и Деннис Гейтсгори объявили о доказательстве гипотезы для алгебраических групп над функциональными полями над конечными полями: официально опубликовано в Gaitsgory & Lurie (2019) , а будущее доказательство с использованием версии формулы следа Гротендика -Лефшеца будет опубликовано во втором томе.

Приложения

Оно (1965) использовал гипотезу Вейля для вычисления чисел Тамагавы всех полупростых алгебраических групп.

Для спиновых групп из гипотезы следует известная массовая формула Смита–Минковского–Зигеля .

См. также

• Число Тамагавы

Ссылки

• «Число Тамагавы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Черноусов В.И. (1989), "Принцип Хассе для групп типа Е8", Сов. матем. Докл. , 39 : 592–596, МР   1014762
• Гайтсгори, Деннис ; Лурье, Джейкоб (2019), Гипотеза Вейля для функциональных полей (том I) , Анналы математических исследований, том. 199, Принстон: Princeton University Press , стр. viii, 311, ISBN.  978-0-691-18213-1 , МР   3887650 , Збл   1439.14006
• Котвитц, Роберт Э. (1988), «Числа Тамагавы», Ann. математики. , 2, 127 (3), Анналы математики: 629–646, doi : 10.2307/2007007 , JSTOR   2007007 , MR   0942522 .
• Лай, К.Ф. (1980), «Число Тамагавы редуктивных алгебраических групп» , Compositio Mathematica , 41 (2): 153–188, MR   0581580
• Ленглендс, Р.П. (1966), «Объем фундаментальной области для некоторых арифметических подгрупп групп Шевалле», Алгебраические группы и разрывные подгруппы , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, Провиденс, Род-Айленд: Amer. Математика. Соц., стр. 143–148, МР   0213362.
• Лурье, Джейкоб (2014), Числа Тамагавы через неабелеву двойственность Пуанкаре
• Оно, Такаси (1963), «О числе Тамагавы алгебраических торов», Annals of Mathematics , Second Series, 78 (1): 47–73, doi : 10.2307/1970502 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970502 , MR   0156851
• Оно, Такаси (1965), «К относительной теории чисел Тамагавы» , Annals of Mathematics , Second Series, 82 (1): 88–111, doi : 10.2307/1970563 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970563 , MR   0177991
• Тамагава, Цунео (1966), «Адель», Алгебраические группы и разрывные подгруппы , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. IX, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 113–121, MR   0212025.
• Воскресенский В.Е. (1991), Алгебраические группы и их бирациональные инварианты , перевод AMS
• Вейль, Андре (1959), Exp. № 186, Адель и алгебраические группы , Семинар Бурбаки, вып. 5, с. 249–257
• Вейль, Андре (1982) [1961], Адели и алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 23, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN  978-3-7643-3092-7 , МР   0670072

Дальнейшее чтение

• Аравинд Асок, Брент Доран и Фрэнсис Кирван, «Теория Янга-Миллса и числа Тамагавы: очарование неожиданных связей в математике» , 22 февраля 2013 г.
• Дж. Лурье, Формула массы Сигела, числа Тамагавы и неабелева двойственность Пуанкаре, опубликовано 8 июня 2012 г.