Е 8 (математика)

В математике ; E8 _{алгебраических} — это любая из нескольких тесно связанных между собой исключительных простых групп Ли , линейных групп или алгебр Ли размерности 248 то же обозначение используется для соответствующей корневой решетки , имеющей ранг 8. Обозначение E ₈ происходит из классификации Картана-Киллинга комплексных простых алгебр Ли , которые распадаются на четыре бесконечные серии, обозначенные An _, B _n , C _n , D _n и пять исключительных случаев, обозначенных G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ . Алгебра Е8 _— самый большой и сложный из этих исключительных случаев.

Основное описание

Группа Ли E8 _ранг имеет размерность 248. Ее , который является размерностью ее максимального тора , равен восьми.

Следовательно, векторы корневой системы находятся в восьмимерном евклидовом пространстве : они подробно описаны далее в этой статье. Группа Вейля группы E8 _, представляющая собой группу симметрий максимального тора, индуцированных сопряжениями во всей группе, имеет порядок 2. ¹⁴  3 ⁵  5 ²  7 = 696 729 600 .

Компактная группа E8 _{уникальна} среди простых компактных групп Ли тем, что ее нетривиальное представление наименьшей размерности является присоединенным представлением (размерности 248), действующим на самой алгебре Ли _E8 ; он также единственный, обладающий следующими четырьмя свойствами: тривиальный центр, компактность, односвязность и просто переплетенность (все корни имеют одинаковую длину).

≥ 3 существует алгебра Ли E _k. Для любого целого числа k Наибольшее значение k , для которого E _k конечномерно, равно k = 8, то есть E _k бесконечномерно для любого k > 8.

Реальные и сложные формы

Существует единственная комплексная алгебра Ли типа E ₈ , соответствующая комплексной группе комплексной размерности 248. Комплексную группу Ли E ₈ комплексной размерности 248 можно рассматривать как простую вещественную группу Ли вещественной размерности 496. Она односвязна. , имеет максимальную компактную подгруппу компактной формы (см. ниже) группы E ₈ и имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 2, порожденную комплексным сопряжением.

Помимо комплексной группы Ли типа E8 _, существуют три вещественные формы алгебры Ли, три вещественные формы группы с тривиальным центром (две из которых имеют неалгебраические двойные накрытия, дающие еще две вещественные формы), все действительной размерности 248 следующим образом:

• Компактная форма (обычно так и имеется в виду, если не указана другая информация), односвязная и имеющая тривиальную внешнюю группу автоморфизмов.
• Расщепляемая форма EVIII (или E ₈₍₈₎ ), имеющая максимальную компактную подгруппу Spin(16)/( Z /2 Z ), фундаментальную группу порядка 2 (подразумевается, что она имеет двойное покрытие , которое является односвязным Группа Ли действительна, но не является алгебраической, см. ниже ) и имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов.
• EIX (или E ₈₍₋₂₄₎ ), которая имеет максимальную компактную подгруппу E ₇ ×SU(2)/(−1,−1), фундаментальную группу порядка 2 (опять подразумевая двойное накрытие, которое не является алгебраическим) и имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов.

Полный список вещественных форм простых алгебр Ли см. в списке простых групп Ли .

E ₈ как алгебраическая группа

С помощью базиса Шевалле для алгебры Ли можно определить Е8 _как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемое расщепление (иногда также известное как как «раскрученная») форма Е ₈ . Над алгебраически замкнутым полем это единственная форма; однако над другими полями часто существует множество других форм или «поворотов» E ₈ , которые классифицируются в общей структуре когомологий Галуа (над совершенным полем k ) множеством H ¹ ( k ,Aut(E ₈ )), который, поскольку диаграмма Дынкина E ₈ (см. ниже ) не имеет автоморфизмов, совпадает с H ¹ ( к , Е ₈ ).

Над R вещественная связная компонента тождества этих алгебраически скрученных форм E ₈ совпадает с тремя упомянутыми выше действительными группами Ли , но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все формы E ₈ просто связны в смысле алгебраической геометрия, означающая, что они не допускают нетривиальных алгебраических накрытий; поэтому некомпактные и односвязные вещественные формы групп Ли группы Ли E8 _не являются алгебраическими и не допускают точных конечномерных представлений.

Над конечными полями из теоремы Ланга–Стейнберга следует, что H ¹ ( k ,E ₈ )=0, что означает, что E ₈ не имеет искривленных форм: см. ниже .

Все характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характеров Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121732 в OEIS ):

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 791, 43000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (дважды), 12692520960...

248-мерное представление является присоединенным представлением . Существует два неизоморфных неприводимых представления размерности 8634368000 (оно не уникально, однако следующее целое число с этим свойством — 175898504162692612600853299200000 (последовательность A181746 в OEIS )). Фундаментальными представлениями являются представления с размерностями 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 и 147250 (соответствующие восьми узлам диаграммы Дынкина в порядке, выбранном для матрицы Картана ниже, т. е. узлы читаются в сначала цепочка из семи узлов, причем последний узел подключается к третьему).

Коэффициенты формул характера для бесконечномерных неприводимых представлений E ₈ зависят от некоторых больших квадратных матриц, состоящих из полиномов, полиномов Люстига-Вогана , аналога полиномов Каждана-Люстига, введенных для редуктивных групп в целом Джорджем Люстигом и Дэвидом Кажданом ( 1983). Значения 1 полиномов Люстига – Вогана дают коэффициенты матриц, связывающих стандартные представления (характеры которых легко описать) с неприводимыми представлениями.

Эти матрицы были вычислены после четырех лет сотрудничества группой из 18 математиков и ученых-компьютерщиков во главе с Джеффри Адамсом , при этом большая часть программирования была выполнена Фокко дю Клу . Самый сложный случай (для исключительных групп) — это расщепленная вещественная форма E ₈ (см. выше), где наибольшая матрица имеет размер 453060×453060. Полиномы Люстига–Вогана для всех других исключительных простых групп известны уже некоторое время; Расчет для разделенной формы E ₈ намного дольше, чем для любого другого случая. Объявление о результате в марте 2007 г. привлекло необычайное внимание средств массовой информации (см. Внешние ссылки), к удивлению математиков, работавших над ним.

Представления групп E ₈ над конечными полями даются теорией Делиня–Люстига .

Конструкции

Можно построить (компактную форму) группы E8 _как группу автоморфизмов соответствующей e8 _{алгебры Ли} . Эта алгебра имеет 120-мерную подалгебру so (16), порожденную J _ij , а также 128 новых генераторов a _, которые преобразуются как спинор Вейля–Майораны спина Q (16). Эти утверждения определяют коммутаторы

$\left[J_{ij},J_{k\ell }\right]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}$

а также

$\left[J_{ij},Q_{a}\right]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\right)_{ab}Q_{b},$

а остальные коммутаторы (не антикоммутаторы!) между спинорными генераторами определяются как

$\left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.$

Тогда можно проверить, что тождество Якоби выполнено.

Геометрия

Компактная вещественная форма Е8 _— это группа изометрий 128-мерного исключительного компактного риманова симметрического пространства Картана EVIII (в классификации ). Она неофициально известна как « октооктонионная проективная плоскость », поскольку ее можно построить с использованием алгебры, которая является тензорным произведением октонионов на самих себя, а также известна как проективная плоскость Розенфельда , хотя она не подчиняется обычным аксиомам проективная плоскость. Это можно систематически увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , предложенную Гансом Фройденталем и Жаком Титсом ( Landsberg & Manivel 2001 ).

Е ₈ Корневая система

Зоме Модель _{корневой системы E 8} , спроецированная в трехмерное пространство и представленная вершинами 4 ₂₁ многогранника ,

Показано в 3D-проекции с использованием базисных векторов [ u , v , w ], обеспечивающих симметрию H3:

• ты = (1, φ , 0, −1, φ , 0,0,0)
• v = ( φ , 0, 1, φ , 0, −1,0,0)
• ш = (0, 1, φ , 0, −1, φ ,0,0)

Спроецированные 4 ₂₁ вершины многогранников сортируются и подсчитываются по их трехмерным нормам, создавая все более прозрачные оболочки каждого набора подсчитанных норм. Они показывают:

1. 4 точки в начале координат
2. 2 икосаэдра
3. 2 додекаэдра
4. 4 икосаэдра
5. 1 икосадодекаэдр
6. 2 додекаэдра
7. 2 икосаэдра
8. 1 икосадодекаэдр

на 240 вершин. Это два концентрических набора оболочек симметрии H4 600-ячеечной системы, масштабированных по золотому сечению.

Система корней ранга r — это определенная конечная конфигурация векторов, называемых корнями , которые охватывают r -мерное евклидово пространство и удовлетворяют определенным геометрическим свойствам. В частности, корневая система должна быть инвариантна относительно отражения через гиперплоскость, перпендикулярную любому корню.

E охватывающих ₈ Корневая система представляет собой корневую систему ранга 8, содержащую 240 корневых векторов, R. ⁸ . Он нередуцируем в том смысле, что не может быть построен из корневых систем меньшего ранга. Все корневые векторы в E ₈ имеют одинаковую длину. Для ряда целей удобно нормализовать их длину √ 2 . Эти 240 векторов являются вершинами полуправильного многогранника, открытого Торольдом Госсетом в 1900 году, иногда известного как 4 ₂₁ многогранник .

Строительство

В так называемой четной системе координат E ₈ задается как множество всех векторов из R ⁸ с квадратом длины, равным 2, таким образом, что координаты либо все целые , либо все полуцелые числа , а сумма координат четная.

Явно существует 112 корней с целочисленными элементами, полученными из

$\left(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\right)\,$

взяв произвольную комбинацию знаков и произвольную перестановку координат, и 128 корней с полуцелыми элементами, полученными из

$\left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)\,$

взяв четное количество знаков минус (или, что то же самое, потребовав, чтобы сумма всех восьми координат была четной). Всего корней 240.

Е ₈ 2d проекция с резьбой, сделанная вручную

112 корней с целочисленными элементами образуют _{корневую систему D8} . Корневая система E8 ₍ копию A8 ₍ фактически последние _{также содержит} два обычно _{которая имеет 72 корня), а также E6 и E7} определяются как подмножества E8 ₎ .

В нечетной системе координат Е ₈ задается взятием корней в четной системе координат и изменением знака любой одной координаты. Корни с целочисленными записями одинаковы, а корни с полуцелыми имеют нечетное количество знаков минус, а не четное.

Диаграмма Дынкина

Диаграмма Дынкина для E ₈ имеет вид .

Эта диаграмма дает краткое визуальное представление корневой структуры. Каждый узел этой диаграммы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, указывает на то, что они расположены под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединенных прямой, ортогональны .

Матрица Картана

Матрица Картана корневой системы ранга r представляет собой размера r × r матрицу , элементы которой получены из простых корней. В частности, элементы матрицы Картана имеют вид

$A_{ij}=2{\frac {\left(\alpha _{i},\alpha _{j}\right)}{\left(\alpha _{i},\alpha _{i}\right)}}$

где ( , ) — евклидово скалярное произведение , а α _i — простые корни. Записи не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).

Матрица Картана для E ₈ имеет вид

$\left[{\begin{array}{rr}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&0&-1&0&0&2\end{array}}\right].$

Определитель этой матрицы равен 1.

Простые корни

Диаграмма Хассе E ₈ корневого ЧУМ с метками ребер, обозначающими добавленное простое положение корня

Набор простых корней для корневой системы Φ - это набор корней, которые образуют базис евклидова пространства, натянутого на Φ, со специальным свойством, заключающимся в том, что каждый корень имеет компоненты по отношению к этому базису, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.

E ₈ Учитывая матрицу Картана (вверху) и диаграммы Дынкина : порядок узлов

Один из вариантов простых корней задается строками следующей матрицы:

$\left[{\begin{array}{rr}1&-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\\end{array}}\right].$

При такой нумерации узлов диаграммы Дынкина самый высокий корень в корневой системе имеет метки Кокстера (2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 3). Используя это представление простых корней, самый низкий корень определяется выражением

$\left[{\begin{array}{rr}-1&0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right].$

Единственный простой корень, который можно добавить к самому нижнему корню, чтобы получить другой корень, — это тот, который соответствует узлу 1 в этой маркировке диаграммы Дынкина — как и следовало ожидать от аффинной диаграммы Дынкина для ${\tilde {\mathrm {E} }}_{8}$. Диаграмма Хассе справа перечисляет 120 корней положительной высоты относительно любого конкретного выбора простых корней, соответствующих этой нумерации узлов.

Обратите внимание, что диаграмма Хассе не представляет полную алгебру Ли или даже полную корневую систему. 120 корней отрицательной высоты относительно одного и того же набора простых корней могут быть адекватно представлены второй копией диаграммы Хассе с перевернутыми стрелками; но менее просто соединить эти две диаграммы через основу восьмимерной подалгебры Картана. В обозначениях изложения генераторов Шевалле и отношений Серра : Поскольку стрелка представляет скобку Ли генератором $e_{i}$ связанный с простым корнем, каждый корень в слое высотой -1 перевернутой диаграммы Хассе должен соответствовать некоторому $f_{i}$ и может иметь только одну стрелку вверх, соединенную с узлом слоя высоты 0, представляющим элемент подалгебры Картана, заданный формулой $h_{i}=[e_{i},f_{i}]$. Но тогда стрелки вверх со слоя высоты 0 должны обозначать $[e_{i},h_{j}]=-a_{ji}e_{i}$, где $a_{ji}$ является (транспонированием) матрицей Картана. От каждого можно нарисовать несколько стрелок вверх. $h_{j}$ связан со всеми $e_{i}$ для чего $[e_{i},h_{j}]$ ненулевое значение; но это не учитывает числовые записи в матрице Картана и не отражает тот факт, что каждый $e_{i}$ имеет только ненулевую скобку Ли с одной степенью свободы в подалгебре Картана (только не ту степень свободы, что $h_{i}$).

Более фундаментально, эта организация подразумевает, что диапазон генераторов, обозначенных как «подалгебра Картана», каким-то образом является особенным по своей сути, тогда как в большинстве приложений любой взаимно коммутирующий набор из восьми из 248 генераторов алгебры Ли (которых много!) — или любые восемь линейно независимых, взаимно коммутирующих дифференцирований Ли на любом многообразии со структурой E ₈ — с тем же успехом подошли бы. После того как подалгебра Картана выбрана (или определена априори , как в случае решетки), базис «генераторов Картана» ( $h_{i}$ среди генераторов Шевалле) и корневая система являются полезным способом описания структуры относительно этой подалгебры . Но карта корневой системы не является территорией алгебры Ли (не говоря уже о группе!). Учитывая набор генераторов Шевалле, большинство степеней свободы в алгебре Ли и их разреженных скобках Ли с ${e_{i}}$ можно схематически представить в виде кружков и стрелок, но это просто нарушается на выбранной подалгебре Картана. Такова опасность схематических визуальных представлений математических структур.

Группа Вейля

Группа Вейля E ₈ имеет порядок 696729600 и может быть описана как O ⁺
₈ (2): он имеет вид 2. G .2 (т. е. расширение ствола циклической группой порядка 2 расширения циклической группы порядка 2 группой G ), где G — единственный простой группа порядка 174182400 (которую можно описать как PSΩ ₈ ⁺ (2)).

Е ₈ Корневая решетка

Основная статья: E ₈ Решетка

Целочисленная оболочка корневой системы E ₈ образует решетку в R ⁸ естественно называется E8 _{решеткой} корневой . Эта решетка примечательна тем, что это единственная (нетривиальная) четная унимодулярная решетка ранга меньше 16.

Простые подалгебры E ₈

Неполное дерево простых подгрупп группы E ₈

Алгебра Ли Е8 _{содержит} в качестве подалгебр все исключительные алгебры Ли, а также многие другие важные алгебры Ли в математике и физике. Высота алгебры Ли на диаграмме примерно соответствует рангу алгебры. Линия от алгебры вниз к низшей алгебре указывает на то, что низшая алгебра является подалгеброй высшей алгебры.

Группы Шевалле типа Е ₈

Шевалле (1955) показал, что точки (расщепленной) алгебраической группы E ₈ (см. выше ) над конечным полем с q элементами образуют конечную группу Шевалле , обычно обозначаемую E ₈ ( q ), которая проста для любого q , и составляет одно из бесконечных семейств, к которым обращается классификация конечных простых групп . Его количество элементов задается формулой (последовательность A008868 в OEIS ):

$q^{120}\left(q^{30}-1\right)\left(q^{24}-1\right)\left(q^{20}-1\right)\left(q^{18}-1\right)\left(q^{14}-1\right)\left(q^{12}-1\right)\left(q^{8}-1\right)\left(q^{2}-1\right)$

Первый член этой последовательности порядка E ₈ (2), а именно 337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈ 3 .38 × 10 ⁷⁴ уже больше, чем размер группы Monster . Эта группа Е ₈ (2) является последней описанной (но без своей таблицы характеров) в АТЛАСе конечных групп .

Мультипликатор Шура E ₈ ( q ) тривиален, а его внешняя группа автоморфизмов — это группа полевых автоморфизмов (т. е. циклическая группа порядка f, если q = p ^ж , где p — простое число).

Люстиг (1979) описал унипотентные представления конечных групп типа E ₈ .

Подгруппы, подалгебры и расширения

Меньшие исключительные E7 _{находятся} и E6 _группы внутри _E8 . В компактной группе E ₆ ×SU(3)/( Z /3 Z ) и E ₇ ×SU(2)/(+1,−1) являются максимальными подгруппами E ₈ .

Вложения максимальных подгрупп E ₈ до размерности 248 с соответствующей проекционной матрицей.

248-мерное присоединенное представление группы E8 _можно рассматривать с точки зрения его ограниченного представления первой из этих подгрупп. Он преобразуется под действием E ₆ ×SU(3) в сумму представлений тензорных произведений , которые можно обозначить как пару измерений как (78,1) + (1,8) + ( 27,3 ) + (27, 3) . (Поскольку максимальная подгруппа на самом деле является фактором произведения этой группы по конечной группе, эти обозначения можно строго рассматривать как обозначающие бесконечно малые представления (алгебра Ли).) Поскольку присоединенное представление может быть описано корнями вместе с образующими. в подалгебре Картана мы можем выбрать конкретную корневую систему E ₆ внутри E ₈ и разложить представление суммы относительно этого E ₆ .

• (78,1), копия ${\mathfrak {e}}_{6}$, состоит из 72 корней с (− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ), (0,0,0) или ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в последних трех измерениях вместе с пятью генераторами Картана, соответствующими первым пяти измерениям, и одним генератором Картана, соответствующим равновзвешенной сумме последних трех генераторов Картана системы Е ₈ ;
• (1,8), копия ${\mathfrak {su}}(3)$, состоит из шести корней с перестановками (0,1,−1) в последних трех измерениях вместе с двумя генераторами Картана, соответствующими двум бесследовым комбинациям последних трех генераторов Картана системы E ₈ ;
• ( 27 ,3) состоит из всех корней с перестановками (-1,0,0), (− 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ), или (0,1,1) в последних трех измерениях; и
• (27, 3 ) состоит из всех корней с перестановками (1,0,0), ( 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) или (0,-1,-1) в последних трех измерениях.

248-мерное присоединенное представление группы E ₈ , ограниченное аналогичным образом на вторую максимальную подгруппу, преобразуется под действием E ₇ ×SU(2) как: (133,1) + (1,3) + (56,2). Мы можем снова увидеть разложение, рассматривая корни вместе с образующими в подалгебре Картана. В этом описании

• (133,1), копия ${\mathfrak {e}}_{7}$, состоит из 126 корней с (−1,−1), (− 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ), (0,0), ( 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ), или (1,1) в последних двух измерениях вместе с шестью генераторами Картана, соответствующими первым шести измерениям, и одним генератором Картана, соответствующим равновзвешенной сумме последних двух генераторов Картана системы E ₈ ;
• (1,3), копия ${\mathfrak {su}}(2)$, состоит из двух корней (0,0,0,0,0,0,1,−1), (0,0,0,0,0,0,−1,1) вместе с одним генератором Картана, соответствующим к бесследной комбинации двух последних генераторов Картана системы Е ₈ ; и
• (56,2) состоит из всех корней с перестановками (0,-1), ( 1 ⁄ 2 ,− 1 ⁄ 2 ) или (1,0) в двух последних измерениях.

Связь между этими двумя описаниями дают градуированные исключительные конструкции алгебры Ли Дж. Титса и Б. Н. Эллисона . Любое 27-мерное представление Е6 _можно снабдить неассоциативной (но строго степенно-ассоциативной ) операцией произведения Жордана для образования алгебры Альберта (важный исключительный случай в алгебраических конструкциях ). Конструкция Кантора –Кехера–Титса, примененная к этой алгебре Альберта, восстанавливает 78-мерную ${\mathfrak {e}}_{6}$ как приведенная структурная алгебра алгебры Альберта. Этот ${\mathfrak {e}}_{6}$вместе с представлениями 27 и 27 и оператором оценки (элемент подалгебры Картана с весом -1 на 27, +1 на 27 и 0 на 78) образует ${\mathfrak {e}}_{7}$ 3-градуированная алгебра Ли. Полное изложение этой конструкции можно найти в стандартных текстах по йордановым алгебрам, таких как Jacobson 1968 или McCrimmon 2004 .

Начав эту конструкцию 3-градуированной алгебры Ли с любого конкретного 27-мерного представления, встроенного в ${\mathfrak {e}}_{8}$, любой конкретной подгруппы E ₆ группы E ₈ дает соответствующий ${\mathfrak {e}}_{7}$ подалгебра. Конкретный ${\mathfrak {e}}_{7}$ в приведенном выше разложении E ₇ ×SU(2) соответствует выбору 27, состоящего из всех корней с (1,0,0), ( 1 ⁄ 2 ,- 1 ⁄ 2 ,- 1 ⁄ 2 ) или (0,-1,-1) в последних трех измерениях (по порядку), при этом оператор оценки имеет вес (-1, 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) в этих размерах; или, что эквивалентно выбору числа « 27 », состоящего из всех корней с (-1,0,0), (− 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) или (0,1,1) в последних трех измерениях (по порядку), при этом оператор оценки имеет вес (1,- 1 ⁄ 2 ,- 1 ⁄ 2 ) в этих размерах. Обратите внимание, что в этом выборе размеров нет ничего особенного — $\mathbb {R} ^{8}$ в которую встроена корневая система, не является набором из восьми независимых, но неортогональных осей, соответствующих простым корням, и подойдут любые три измерения — а также существуют конструкции, использующие другие эквивалентные группировки корней. Важно то, чтобы ядро ​​скобки Ли с генератором, выбранным в качестве «оператора оценки», было ${\mathfrak {e}}_{6}$ подалгебра (плюс центральная $\mathbb {R} ^{2}$ связанный с самим оператором оценки и остальным генератором подалгебры Картана), а не ${\mathfrak {a}}_{6}\oplus \mathbb {R} ^{2}$, ${\mathfrak {a}}_{7}\oplus \mathbb {R}$, ${\mathfrak {e}}_{7}\oplus \mathbb {R}$, и т. д.

(В случае простой алгебры Ли знак степени представления 27 по сравнению с представлением 27 является вопросом соглашения, как и шкала оценки. Однако выбор -1 в качестве оценки 27-мерного «вектора» представление согласуется с расширением 3-градуированной алгебры до более высоких положительных степеней через внешнюю алгебру над « ковекторным » представлением. Тогда «векторное» представление лежит не в этой неотрицательно-градуированной внешней алгебре, а в градуированной алгебре. дифференцирований над внешней алгеброй 78-мерной; ${\mathfrak {e}}_{6}$ является подалгеброй степени 0 (подалгеброй внутренних дифференцирований «векторнозначными 1-формами») этой градуированной алгебры дифференцирований. Подробности о том, как работает эта асимметричная структура, начиная с общей 3-градуированной алгебры, см. в ссылках на скобку Фрелихера – Ниенхейса . Актуальность этого наблюдения для E ₈ заключается просто в том, что E ₇ и E ₈ представляют собой отдельные кластеры структур, отличающиеся как исключительные простые группы/алгебры Ли, и что любая конкретная их реконструкция с использованием представлений их подгрупп/подалгебр будет иметь расширения за пределы мотивирующий случай. Различные условные обозначения знаков, масштабов и сопряженных отношений в литературе обусловлены не только неточностями, но и направлениями, в которых авторы стремятся расширить свои конструкции.)

Выдающийся ${\mathfrak {su}}(2)$ в приведенном выше разложении E ₇ ×SU(2) тогда задается подалгеброй ${\mathfrak {su}}(3)$ который коммутирует с оператором оценки (который лежит в подалгебре Картана этой ${\mathfrak {su}}(3)$). Из четырех оставшихся корней в ${\mathfrak {su}}(3)$, двое среднего класса 1 ⁄ и два сорта - 1 ⁄ 2 . В конвенции, где 27 из E ₆ использовались для построения ${\mathfrak {e}}_{7}$ имеет оценку -1, а 27- й имеет оценку +1, остальные два 27-го имеют оценку + 1 ⁄ 2 и два других 27 имеют оценку - 1 ⁄ 2 , как это видно из перестановки значений последних трех корней в описании выше. Группируем эти 4×(1+27)=112 генераторов, чтобы сформировать оценку + 1 ⁄ 2 и - 1 ⁄ 2 подпространства ${\mathfrak {e}}_{8}$ (относительно первоначального выбора оператора оценки внутри ${\mathfrak {e}}_{7}$), каждому подпространству может быть задана совершенно особая неассоциативная (и даже степенно-ассоциативная) операция произведения, в результате чего образуются две копии 56-мерной структурируемой алгебры Брауна . Конструкция 5-градуированной алгебры Ли Эллисона, основанная на этой структурируемой алгебре, восстанавливает исходную ${\mathfrak {e}}_{8}$. (5-градация Эллисона отличается от приведенной выше в -2 раза.) Группировка этих генераторов по-разному, в зависимости от их весов относительно генератора Картана ${\mathfrak {su}}(2)$ ортогонально ​ ${\mathfrak {e}}_{7}$, дает два 56-мерных подпространства, каждое из которых несет нетривиальное неприводимое представление наименьшей размерности E ₇ . Любой из них можно объединить с генератором Картана, чтобы сформировать 57-мерную алгебру Гейзенберга , и присоединить ее к ${\mathfrak {e}}_{7}$ порождает (непростую) алгебру Ли E _{7 1/2,} описанную Ландсбергом и Манивелем.

С точки зрения, в которой 27-мерное подпространство класса -1 ${\mathfrak {e}}_{8}$ (относительно выбора оператора градуировки) играет роль «векторного» представления Е ₆ , а 27 с корнями напротив него играет роль «ковекторного» представления, естественно искать «спинорные» представления в градусе + 1 ⁄ 2 и - 1/2 смысле алгебры подпространства или в какой-либо другой комбинации представлений ( 27,3 ) и (27,3 ) E6 _× SU(3), и попытаться связать их с геометрическими спинорами в Клиффорда , как это используется в квантовая теория поля . Вариации этой идеи распространены в физической литературе . См. Distler and Garibaldi 2009, где обсуждаются математические препятствия на пути построения киральной калибровочной теории, основанной на _E8 . Структура ${\mathfrak {e}}_{8}$ относительно своего ${\mathfrak {e}}_{6}$ Подалгебра вместе с традиционным масштабированием элементов подалгебры Картана допускает расширения по геометрической аналогии, но не обязательно подразумевает связь с низкоразмерной геометрией или физикой низких энергий. То же самое можно сказать и о связях с алгебрами Йордана и Гейзенберга, историческое происхождение которых переплетено с развитием квантовой механики. Не каждое визуальное изображение, напоминающее табачную трубку, удерживает табак.

Конечные квазипростые группы, которые могут вкладываться в (компактную форму) E8 _, были найдены Гриссом и Рыбой (1999) .

Группа Демпвольфа является подгруппой (компактной формы) E ₈ . Он содержится в спорадической группе Томпсона , которая действует в базовом векторном пространстве группы Ли E _8, но не сохраняет скобку Ли. Группа Томпсона фиксирует решетку и сохраняет скобку Ли этой решетки mod 3, давая вложение группы Томпсона в E ₈ ( F ₃ ).

вложения максимальных подгрупп группы E ₈ Справа показаны до размерности 248.

Приложения

Группа Ли E ₈ имеет приложения в теоретической физике и особенно в теории струн и супергравитации . E ₈ ×E ₈ — это калибровочная группа одного из двух типов гетеротической струны и одна из двух калибровочных групп без аномалий , которые могут быть связаны с супергравитацией N = 1 в десяти измерениях. E ₈ — группа U-дуальности супергравитации на восьмиторе (в ее расщепленной форме).

Одним из способов включения стандартной модели физики элементарных частиц в гетеротическую теорию струн является нарушение симметрии E ₈ до ее максимальной подалгебры SU(3)×E ₆ .

В 1982 году Майкл Фридман использовал E8 _для решетку построения примера топологического 4-многообразия , E8 _{, которое} многообразия не имеет гладкой структуры .

» Энтони Гаррета Лизи Неполная « Исключительно простая теория всего пытается описать все известные фундаментальные взаимодействия в физике как часть _{алгебры Ли E8} .

Р. Колдеа, Д.А. Теннант и Э.М. Уилер и др. ( 2010 ) сообщили об эксперименте, в котором электронные спины кристалла кобальта - ниобия при определенных условиях обнаруживали два из восьми пиков, связанных с E ₈ , которые были предсказаны Замолодчиковым (1989) .

История

Вильгельм Киллинг ( 1888а , 1888b , 1889 , 1890 ) открыл комплексную алгебру Ли Е8 _во время своей классификации простых компактных алгебр Ли, правда, не доказал ее существования, что впервые было показано Эли Картаном . Картан установил, что сложная простая алгебра Ли типа Е8 _{допускает} три действительные формы. Каждая из них порождает простую группу Ли размерности 248, ровно одна из которых (как и любая комплексная простая алгебра Ли) компактна . Шевалле (1955) ввёл алгебраические группы и алгебры Ли типа Е8 _над другими полями : например, в случае конечных полей они приводят к бесконечному семейству конечных простых групп лиева типа. E ₈ продолжает оставаться областью активных фундаментальных исследований Атласа групп и представлений Ли , целью которых является определение унитарных представлений всех групп Ли.

См. также

• E_В

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-00526-3 , МР   1428422
• Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934 -X , MR   1886087 , S2CID   586512
• Шевалле, Клод (1955), «О некоторых простых группах» , The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104 , ISSN   0040-8735 , MR   0073602
• Колдеа, Р.; Теннант, округ Колумбия; Уилер, Э.М.; Вавжинска, Э.; Прабхакаран, Д.; Говорю, М.; Хабихт, К.; Смейбидль, П.; Кифер, К. (2010), «Квантовая критичность в цепи Изинга: экспериментальные доказательства возникающей симметрии E ₈ », Science , 327 (5962): 177–180, arXiv : 1103.3694 , Bibcode : 2010Sci...327..177C , doi : 10.1126/science.1180085 , PMID   20056884 , S2CID   206522808
• Гарибальди, Скип (2016), «E ₈ , самая исключительная группа», Бюллетень Американского математического общества , 53 (4): 643–671, arXiv : 1605.01721 , doi : 10.1090/bull/1540 , S2CID   15810796
• Грисс, Роберт Л.; Рыба, AJE (1999), «Классифицируются конечные простые группы, которые проективно вкладываются в исключительную группу Ли!» , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 36 (1): 75–93, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00771-5 , MR   1653177
• Киллинг, Вильгельм (1888a), «Композиция непрерывных конечных групп преобразований» , Mathematical Annals , 31 (2): 252–290, doi : 10.1007/BF01211904 , S2CID   120501356
• Киллинг, Вильгельм (1888b), «Композиция непрерывных конечных групп преобразований» , Mathematical Annals , 33 (1): 1–48, doi : 10.1007/BF01444109 , S2CID   124198118
• Киллинг, Вильгельм (1889), «Состав непрерывных конечных групп преобразований» , Mathematical Annals , 34 (1): 57–122, doi : 10.1007/BF01446792 , S2CID   179177899 , заархивировано из оригинала 21 февраля 2015 г. , получено 2013 -12 сентября
• Киллинг, Вильгельм (1890), «Композиция непрерывных конечных групп преобразований» , Mathematical Annals , 36 (2): 161–189, doi : 10.1007/BF01207837 , S2CID   179178061
• Ландсберг, Джозеф М.; Манивель, Лоран (2001), «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя», Journal of Algebra , 239 (2): 477–512, arXiv : math/9908039 , doi : 10.1006/jabr.2000.8697 , MR   1832903 , S2CID   16320642
• Люстиг, Джордж (1979), «Унипотентные представления конечной группы Шевалле типа E8», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 30 (3): 315–338, doi : 10.1093/qmath/30.3.301 , ISSN   0033 -5606 , МР   0545068
• Люстиг, Георг ; Воган, Дэвид (1983), «Особенности замыканий K-орбит на многообразиях флагов», Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L , doi : 10.1007/ БФ01389103 , С2КИД   120917588
• Замолодчиков, AB (1989), «Интегралы движения и S-матрица (масштабированной) T = T _c модели Изинга с магнитным полем», Международный журнал современной физики A , 4 (16): 4235–4248, Bibcode : 1989IJMPA ...4.4235Z , doi : 10.1142/S0217751X8900176X , MR   1017357

Внешние ссылки

Расчет полинома Люстига – Вогана

• Атлас групп Ли
• Kazhdan–Lusztig–Vogan Polynomials for E ₈
• Описание проекта по вычислению полиномов Каждана–Люстига для E ₈
• Американский институт математики (март 2007 г.), Карта математиков E ₈
• The n -Category Café , Техасского университета запись в блоге Джона Баэза на E ₈ .

Другие ссылки

• Графическое изображение _{Е 8} корневой системы .
• Список размерностей неприводимых представлений комплексной формы E ₈ — это последовательность A121732 в OEIS .