Группа Демпвольфа

В математической теории конечных групп группа Демпвольфа представляет собой конечную группу порядка 319979520 = 2. ¹⁵ ·3 ² ·5·7·31, то есть уникальное нерасщепляемое расширение $2^{5\,.}\mathrm {GL} _{5}(\mathbb {F} _{2})$ из $\mathrm {GL} _{5}(\mathbb {F} _{2})$ по его естественному модулю порядка $2^{5}$. Единственность такого нерасщепимого расширения была показана Демпвольфом (1972) , а существование — Томпсоном (1976) , который показал с помощью некоторых компьютерных вычислений Смита (1976) , что группа Демпвольфа содержится в компактной группе Ли. $E_{8}$ как подгруппа, фиксирующая некоторую решетку в алгебре Ли $E_{8}$, а также содержится в спорадической группе Томпсона (полной группе автоморфизмов этой решетки) как максимальная подгруппа.

Юпперт (1967 , стр. 124) показал, что любое расширение $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {F} _{q})$ по его естественному модулю $\mathbb {F} _{q}^{n}$ распадается, если $q>2$. Обратите внимание, что эта теорема не обязательно применима к расширениям $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {F} _{q})$; например, есть неразделяемое расширение $5^{3\,.}\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {F} _{q})$, которая является максимальной подгруппой группы Лайона . Демпвольф (1973) показал, что он расщепляется и в том случае, если $n$ не 3, 4 или 5, и в каждом из этих трех случаев имеется только одно неразбитое расширение. Эти три неразделенных расширения могут быть построены следующим образом:

• Неразделенное расширение $2^{3\,.}\mathrm {GL} _{3}(\mathbb {F} _{2})$ является максимальной подгруппой группы Шевалле $G_{2}(\mathbb {F} _{3})$.
• Неразделенное расширение $2^{4\,.}\mathrm {GL} _{4}(\mathbb {F} _{2})$ является максимальной подгруппой спорадической группы Конвея Co ₃ .
• Неразделенное расширение $2^{5\,.}\mathrm {GL} _{5}(\mathbb {F} _{2})$ является максимальной подгруппой спорадической группы Томпсона Th.

Ссылки

• Демпвольф, Ульрих (1972), «О расширениях элементарной абелевой группы порядка 2». ⁵ by GL(5,2)» , Отчеты математического семинара Падуанского университета. Математический журнал Падуанского университета , 48 : 359–364, ISSN   0041-8994 , MR   0393276
• Демпвольф, Ульрих (1973), «О вторых когомологиях GL (n, 2)», Австралийское математическое общество. Журнал. Серия А. Чистая математика и статистика , 16 : 207–209, doi : 10.1017/S1446788700014221 , ISSN   0263-6115 , MR   0357639
• Грисс, Роберт Л. (1976), «О подгруппе порядка 2 ¹⁵ . ¦GL(5,2)¦ в E ₈ (C), группе Демпвольфа и Aut(D ₈ °D ₈ °D ₈ )» (PDF) , Journal of Algebra , 40 (1): 271–279, doi : 10.1016/0021-8693(76)90097-1 , hdl : 2027.42/21778 , ISSN   0021-8693 , MR   0407149
• Юпперт, Бертрам (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-03825-2 , МР   0224703 , OCLC   527050
• Смит, PE (1976), «Простая подгруппа M? и E ₈ (3)», Бюллетень Лондонского математического общества , 8 (2): 161–165, doi : 10.1112/blms/8.2.161 , ISSN   0024-6093 , МР   0409630
• Томпсон, Джон Г. (1976), «Теорема о сопряженности для E ₈ », Journal of Algebra , 38 (2): 525–530, doi : 10.1016/0021-8693(76)90235-0 , ISSN   0021-8693 , МР   0399193

Внешние ссылки

• Группа Демпвольфа в атласе групп.