Спорадическая группа Томпсона
| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Томпсона Th представляет собой спорадическую простую порядка группу
- 90,745,943,887,872,000
- = 2 15 · 3 10 · 5 3 · 7 2 · 13 · 19 · 31
- ≈ 9 × 10 16 .
История
[ редактировать ]Это одна из 26 спорадических групп, обнаруженная Джоном Г. Томпсоном ( 1976 ) и построенная Смитом (1976) . Они построили ее как группу автоморфизмов некоторой решетки в 248-мерной алгебре Ли группы E8 . Она не сохраняет скобку Ли этой решетки, но сохраняет скобку Ли mod 3, поэтому является подгруппой группы Шевалле E 8 (3). Подгруппа, сохраняющая скобку Ли (над целыми числами), является максимальной подгруппой группы Томпсона, называемой группой Демпвольфа (которая в отличие от группы Томпсона является подгруппой компактной группы Ли E 8 ).
Представительства
[ редактировать ]Централизатор элемента порядка 3 типа 3C в группе Монстра является произведением группы Томпсона и группы порядка 3, в результате чего группа Томпсона действует на алгебре вершинных операторов над полем из 3 элементов. Эта алгебра вершинных операторов содержит алгебру Ли E 8 над F 3 , обеспечивающую вложение Th в E 8 (3).
Полный нормализатор элемента 3C в группе Monster равен S 3 × Th, поэтому Th централизует 3 инволюции рядом с 3-циклом. Эти инволюции централизованы группой Baby monster , которая, следовательно, содержит Th в качестве подгруппы.
Мультипликатор Шура и внешняя группа автоморфизмов группы Томпсона тривиальны.
Обобщенный чудовищный самогон
[ редактировать ]Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон характерен не только для монстров, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для Th соответствующий ряд Маккея-Томпсона равен ( ОЭИС : A007245 ),
и j ( τ ) — j-инвариант .
Максимальные подгруппы
[ редактировать ]Линтон (1989) нашел 16 классов сопряженности максимальных подгрупп Th следующим образом:
| Нет. | Структура | Заказ | Комментарии |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 Д 4 (2) : 3 | 634,023,936 = 2 12 ·3 5 ·7 2 ·13 | |
| 2 | 2 5 · Л 5 (2) | 319,979,520 = 2 15 ·3 2 ·5·7·31 | группа Демпвольфа |
| 3 | 2 1+8 + · AА9 | 92,897,280 = 2 15 ·3 4 ·5·7 | централизатор инволюции |
| 4 | Ю 3 (8): 6 | 33,094,656 = 2 10 ·3 5 ·7·19 | |
| 5 | (3 х Г 2 (3)) : 2 | 25,474,176 = 2 7 ·3 7 ·7·13 | нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А) |
| 6 | (3 3 × 3 1+2 + ) · 3 1+2 + : 2 С 4 | 944,784 = 2 4 ·3 10 | нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3В) |
| 7 | 3 2 · 3 7 : 2 С 4 | 944,784 = 2 4 ·3 10 | |
| 8 | (3 × 3 4 : 2 · А 6 ) : 2 | 349,920 = 2 5 ·3 7 ·5 | нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3С) |
| 9 | 5 1+2 + : 4 С 4 | 12,000 = 2 5 ·3·5 3 | нормализатор подгруппы порядка 5 |
| 10 | 5 2 : ГЛ 2 (5) | 12,000 = 2 5 ·3·5 3 | |
| 11 | 7 2 : (3 × 2 S 4 ) | 7,056 = 2 4 ·3 2 ·7 2 | |
| 12 | Л 2 (19): 2 | 6,840 = 2 3 ·3 2 ·5·19 | |
| 13 | Л 3 (3) | 5,616 = 2 4 ·3 3 ·13 | |
| 14 | М 10 | 720 = 2 4 ·3 2 ·5 | |
| 15 | 31 : 15 | 465 = 3·5·31 | |
| 16 | С 5 | 120 = 2 3 ·3·5 |
Ссылки
[ редактировать ]- Линтон, Стивен А. (1989), «Максимальные подгруппы группы Томпсона», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 39 (1): 79–88, doi : 10.1112/jlms/s2-39.1.79 , ISSN 0024-6107 , МР 0989921
- Смит, PE (1976), «Простая подгруппа M? и E 8 (3)», Бюллетень Лондонского математического общества , 8 (2): 161–165, doi : 10.1112/blms/8.2.161 , ISSN 0024-6093 , МР 0409630
- Томпсон, Джон Г. (1976), «Теорема о сопряженности для E 8 », Journal of Algebra , 38 (2): 525–530, doi : 10.1016/0021-8693(76)90235-0 , ISSN 0021-8693 , МР 0399193