Группы Томпсона
В математике группы Томпсона (также называемые группами Томпсона , группами бродяг или группами хамелеонов ) — это три группы , обычно обозначаемые , которые были представлены Ричардом Томпсоном в некоторых неопубликованных рукописных заметках в 1965 году как возможный контрпример к гипотезе фон Неймана . Из этих трех группа F является наиболее широко изученной, и ее иногда называют группой Томпсона или группой Томпсона .
Группы Томпсона, и в частности F , обладают набором необычных свойств, которые сделали их контрпримерами ко многим общим гипотезам теории групп. Все три группы Томпсона бесконечны, но конечно представимы . Группы T и V являются (редкими) примерами бесконечных, но конечно определенных простых групп . Группа F не является простой, но ее производная подгруппа [ F , F ] является простой, а фактор F по ее производной подгруппе является свободной абелевой группой ранга 2. F , полностью упорядочена имеет экспоненциальный рост и не содержит подгруппы. изоморфной в свободную группу 2 ранга.
Предполагается, что F не поддается и, следовательно, является еще одним контрпримером к давнему, но недавно опровергнутому Гипотеза фон Неймана для конечно определенных групп: известно, что F не элементарно аменабельна .
Хигман (1974) ввел бесконечное семейство конечно определенных простых групп, включая группу Томпсона V как частный случай.
Презентации
[ редактировать ]Конечное представление F : задается следующим выражением
![{\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\ mathrm {id} \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa741bdc915a1f7baea62d1f970a171b87b476a)
где [ x , y ] — обычный теоретико-групповой коммутатор , xyx −1 и −1 .
Хотя F имеет конечное представление с двумя генераторами и двумя отношениями,проще всего и интуитивно описывается бесконечным представлением:
Эти две презентации связаны соотношением x 0 = A , x n = A 1− н НЕТ п -1 для n >0.
Другие представления
[ редактировать ]
Группа F также имеет реализации в терминах операций над упорядоченными корневыми двоичными деревьями и как подгруппа кусочно-линейных гомеоморфизмов единичного интервала , которые сохраняют ориентацию и недифференцируемые точки которых являются двоично-рациональными числами и все наклоны которых являются степенями 2.
Группу F также можно рассматривать как действующую на единичную окружность, отождествляя две конечные точки единичного интервала, а группа T тогда является группой автоморфизмов единичной окружности, полученной добавлением гомеоморфизма x → x +1/2 mod 1 до Ф. от В двоичных деревьях это соответствует замене двух деревьев ниже корня. Группа V получается из T добавлением разрывного отображения, фиксирующего точки полуинтервала [0,1/2) и меняющего местами [1/2,3/4) и [3/4,1) в очевидный способ. В двоичных деревьях это соответствует замене двух деревьев ниже правого потомка корня (если он существует).
Группа Томпсона F — это группа сохраняющих порядок автоморфизмов свободной алгебры Йонссона–Тарского с одним образующим.
Податливость
[ редактировать ]Гипотеза Томпсона о том, что F неприемлема , была далее популяризирована Р. Геогхеганом — см. также статью Кэннона–Флойда–Пэрри, цитируемую в ссылках ниже. Текущий статус открыт: Э. Шавгулидзе [1] опубликовал в 2009 году статью, в которой утверждал, что доказал, что F поддается лечению, но была обнаружена ошибка, как поясняется в обзоре MR .
Известно, что F не является элементарно аменабельным , см. теорему 4.10 в книге Кэннона–Флойда–Пэрри.
Если F не о конечно представленных группах, которая утверждает , аменабельна, то это будет еще одним контрпримером к ныне опровергнутой гипотезе фон Неймана что конечно представленная группа аменабельна тогда и только тогда, когда она не содержит копию свободной группы ранг 2.
Связи с топологией
[ редактировать ]Группа F была переоткрыта топологами как минимум дважды в 1970-е годы. В статье, которая была опубликована намного позже, но в то время находилась в обращении в виде препринта, П. Фрейд и А. Хеллер [2] показал, что отображение сдвига на F индуцирует нерасщепляемый гомотопический идемпотент в пространстве Эйленберга – Маклейна K(F,1) и что он универсален в интересном смысле. Это подробно объяснено в книге Геохегана (см. ссылки ниже). Независимо Ж. Дыдак и П. Минк [3] создал менее известную модель F в связи с проблемой теории формы.
В 1979 году Р. Геохеган выдвинул четыре гипотезы относительно F : (1) F имеет тип FP ∞ ; (2) Все гомотопические группы F на бесконечности тривиальны; (3) F не имеет неабелевых свободных подгрупп; (4) F неаменабельна. (1) было доказано К. С. Брауном и Р. Геогхеганом в сильной форме: существует K(F,1) с двумя ячейками в каждом положительном измерении. [4] (2) было также доказано Брауном и Геогхеганом. [5] в том смысле, что когомологии H*(F, ZF) оказались тривиальными; поскольку предыдущая теорема М. Михалика [6] следует, что F односвязно на бесконечности, а из сформулированного результата следует, что все гомологии на бесконечности равны нулю, отсюда следует утверждение о гомотопических группах. (3) доказали М. Брин и К. Сквайер. [7] Статус (4) обсуждался выше.
Неизвестно, ли F удовлетворяет гипотезе Фаррелла-Джонса . Даже неизвестно, ли группа Уайтхеда F (см. Кручение Уайтхеда ) или группа проективных классов F (см. Препятствие конечности Уолла тривиальна ), хотя легко показать, что F удовлетворяет сильной гипотезе Басса.
Д. Фарли [8] показал, что F действует как преобразования колоды на локально конечном кубическом комплексе CAT (0) (обязательно бесконечной размерности). Следствием этого является то, что F удовлетворяет гипотезе Баума – Конна .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Шавгулидзе, Э. (2009), «Группа Томпсона F аменабельна», Бесконечномерный анализ, квантовая вероятность и смежные темы , 12 (2): 173–191, doi : 10.1142/s0219025709003719 , MR 2541392
- ^ Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), «Расщепление гомотопических идемпотентов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 89 (1–2): 93–106, doi : 10.1016/0022-4049(93)90088-b , MR 1239554
- ^ Дыдак, Ежи; Минц, Петр (1977), «Простое доказательство того, что заостренные FANR-пространства являются регулярными фундаментальными ретрактами ANR», Бюллетень Польской академии наук, Серия математических, астрономических и физических наук , 25 : 55–62, MR 0442918
- ^ Браун, Канзас; Геохеган, Росс (1984), Бесконечномерная группа FP_infinity без кручения , вып. 77, стр. 367–381, Bibcode : 1984InMat..77..367B , doi : 10.1007/bf01388451 , MR 0752825
- ^ Браун, Канзас; Геохеган, Росс (1985), «Когомологии со свободными коэффициентами фундаментальной группы графа групп», Commentarii Mathematici Helvetici , 60 : 31–45, doi : 10.1007/bf02567398 , MR 0787660
- ^ Михалик, М. (1985), «Концы групп с целыми числами в качестве частного», Журнал чистой и прикладной алгебры , 35 : 305–320, doi : 10.1016/0022-4049(85)90048-9 , MR 0777262
- ^ Брин, Мэтью; Сквайер, Крейг (1985), «Группы кусочно-линейных гомеоморфизмов вещественной прямой», Inventiones Mathematicae , 79 (3): 485–498, Bibcode : 1985InMat..79..485B , doi : 10.1007/bf01388519 , MR 0782231
- ^ Фарли, Д. (2003), «Конечность и свойства CAT(0) групп диаграмм», Топология , 42 (5): 1065–1082, doi : 10.1016/s0040-9383(02)00029-0 , MR 1978047
- Кэннон, Дж.В .; Флойд, У.Дж .; Парри, WR (1996), «Вводные заметки о группах Ричарда Томпсона» (PDF) , L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 42 (3): 215–256, ISSN 0013-8584 , MR 1426438
- Кэннон, Дж.В.; Флойд, WJ (сентябрь 2011 г.). «ЧТО ТАКОЕ… Группа Томпсона?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 58 (8): 1112–1113. ISSN 0002-9920 . Проверено 27 декабря 2011 г.
- Геохеган, Росс (2008), Топологические методы в теории групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 243, Springer Verlag , arXiv : math/0601683 , doi : 10.1142/S0129167X07004072 , ISBN 978-0-387-74611-1 , МР 2325352
- Хигман, Грэм (1974), Конечно представленные бесконечные простые группы , Заметки по чистой математике, том. 8, факультет чистой математики, факультет математики, IAS Австралийского национального университета, Канберра, ISBN 978-0-7081-0300-5 , МР 0376874