Джеймс В. Кэннон

Чтобы узнать о других людях с таким же именем, см. Джеймс Кэннон .

Джеймс В. Кэннон
Рожденный	( 1943-01-30 ) 30 января 1943 г. Беллефонте, Пенсильвания
Национальность	Американский
Гражданство	Соединенные Штаты
Альма-матер	Кандидат наук. (1969), Университет Юты
Известный	работа в области низкомерной топологии , геометрической теории групп
Награды	Член Американского математического общества Стипендия Слоана
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Висконсина-Мэдисона Университет Бригама Янга
Докторантура	Сесил Берджесс
Докторанты	Колин Адамс

Джеймс В. Кэннон (родился 30 января 1943 г.) — американский математик , работающий в области низкоразмерной топологии и геометрической теории групп . Он был профессором математики Орсона Пратта в Университете Бригама Янга .

Биографические данные

Джеймс В. Кэннон родился 30 января 1943 года в Беллефонте , штат Пенсильвания . Кэннон получил докторскую степень. Степень бакалавра математики в Университете Юты в 1969 году под руководством К. Эдмунда Берджесса.

Он был профессором Университета Висконсина в Мэдисоне с 1977 по 1985 год. В 1986 году Кэннон был назначен профессором математики Орсона Пратта в Университете Бригама Янга . Эту должность он занимал до выхода на пенсию в сентябре 2012 года.

Кэннон выступил с приглашенной речью AMS на собрании Американского математического общества в Сиэтле в августе 1977 года, с приглашенной речью на Международном конгрессе математиков в Хельсинки в 1978 году и выступил с лекциями Хедрика Математической ассоциации Америки в Торонто , Канада, в 1982 году.

Кэннон был избран в Совет Американского математического общества в 2003 году со сроком полномочий с 1 февраля 2004 года по 31 января 2007 года. В 2012 году он стал членом Американского математического общества .

В 1993 году Кэннон прочитал 30-ю ежегодную лекцию для выдающихся преподавателей Карла Г. Мэзера в Университете Бригама Янга .

Джеймс Кэннон — набожный член Церкви Иисуса Христа Святых последних дней .

Математический

Ранние работы

Ранние работы Кэннона касались топологических аспектов вложенных поверхностей в R. ³ и понимание разницы между «ручными» и «дикими» поверхностями.

Его первый знаменитый результат пришелся на конец 1970-х годов, когда Кэннон дал полное решение давней проблемы «двойной подвески», поставленной Джоном Милнором . Кэннон доказал, что двойная подвеска сферы гомологии является топологической сферой. Р. Д. Эдвардс ранее уже доказал это во многих случаях.

Результаты статьи Кэннона были использованы Кэнноном, Брайантом и Лачером для доказательства (1979) важный случай так называемой характеризационной гипотезы топологических многообразий. Гипотеза гласит, что обобщенное n -многообразие $M$, где $n\geq 5$, удовлетворяющее «свойству непересекающегося диска», является топологическим многообразием. Основание Кэннона, Брайанта и Лачера что гипотеза верна в предположении, что $M$ быть многообразием, за исключением, возможно, набора размерностей $(n-2)/2$. Позже Фрэнк Куинн завершил доказательство того, что гипотеза о характеризации верна, если существует хотя бы одна точка многообразия. В целом гипотеза ложна, что доказали Джон Брайант, Стивен Ферри, Вашингтон Мио и Шмуэль Вайнбергер .

: Гиперболическая геометрия, 3-многообразия и геометрическая теория

В 1980-х годах фокус работы Кэннона сместился на изучение трехмерных многообразий , гиперболической геометрии и клейнианских групп , и он считается одной из ключевых фигур в зарождении геометрической теории групп как отдельного предмета в конце 1980-х - начале 1990-х годов. Статья Кэннона 1984 года «Комбинаторная структура кокомпактных дискретных гиперболических групп» был одним из предшественников в развитии теории словесно-гиперболических групп , понятия, которое было введено и развито три года спустя в плодотворной монографии Михаила Громова 1987 года . В статье Кэннона исследовались комбинаторные и алгоритмические аспекты графов Кэли клейновых групп и связывались с ними геометрические особенности действий этих групп на гиперболическом пространстве . В частности, Кэннон доказал, что выпукло-кокомпактные клейновы группы допускают конечные представления , в которых алгоритм Дена решает проблему слов . Последнее условие, как позже выяснилось, дает одну из эквивалентных характеристик словесной гиперболичности, и, более того, оригинальное доказательство Кэннона, по существу, прошло без изменений и показало, что проблема слов в словесно-гиперболических группах разрешима с помощью алгоритма Дена. Статья Кэннона 1984 года также ввел важное понятие конусного типа элемента конечно порожденной группы (грубо говоря, множества всех геодезических расширений элемента). Кэннон доказал, что выпукло-кокомпактная клейнинова группа имеет только конечное число типов конусов (относительно фиксированного конечного порождающего множества этой группы), и показал, как использовать этот факт, чтобы заключить, что ряд роста группы является рациональной функцией . Эти аргументы также оказались применимыми к контексту словесно-гиперболической группы . Теперь стандартные доказательства Тот факт, что множество геодезических слов в словесно-гиперболической группе является регулярным языком, также использует конечность числа типов конусов.

Работа Кэннона также ввела важное понятие почти выпуклости графов Кэли конечно порожденных групп : идея, которая привела к существенным дальнейшим исследованиям и обобщениям.

Влиятельная статья Кэннона и Уильяма Терстона «Групповые инвариантные кривые Пеано». который впервые был распространен в виде препринта в середине 1980-х годов, ввел понятие того, что сейчас называется картой Кэннона-Терстона . Они рассмотрели случай замкнутого гиперболического 3-многообразия M , расслоенного по окружности, причем слой представляет собой замкнутую гиперболическую поверхность S . В этом случае универсальное накрытие S , отождествляемое с гиперболической плоскостью , допускает вложение в универсальное накрытие M , которое является гиперболическим 3-пространством . Кэннон и Терстон доказали, что это вложение продолжается до непрерывного π ₁ ( S )-эквивариантного сюръективного отображения (теперь называемого отображением Кэннона–Тёрстона ) от идеальной границы гиперболической плоскости (округа) до идеальной границы гиперболической 3- пространство ( 2-сфера ). Хотя статья Кэннона и Терстона была наконец опубликована только в 2007 году, тем временем она породила значительные дальнейшие исследования и ряд существенных обобщений (как в контексте кляйнианских групп, так и словесно-гиперболических групп), включая работу Махана Митра , Эрика Кларрайх, Брайан Боудич и другие.

Кэннона

Кэннон был одним из соавторов книги 1992 года « Обработка слов в группах». который ввёл, формализовал и развил теорию автоматических групп . Теория автоматических групп принесла новые вычислительные идеи из информатики в геометрическую теорию групп и сыграла важную роль в развитии этого предмета в 1990-х годах.

В статье Кэннона 1994 года было дано доказательство « комбинаторной теоремы Римана об отображении ». это было мотивировано классической теоремой Римана об отображении в комплексном анализе . Целью было понять, когда действие группы гомеоморфизмами на 2-сфере является (с точностью до топологического сопряжения) действием на стандартной сфере Римана преобразованиями Мёбиуса . «Теорема о комбинаторном римановом отображении» Кэннона дала набор достаточных условий, когда последовательность все более и более тонких комбинаторных подразделений топологической поверхности определяет в соответствующем смысле и после предельного перехода действительную конформную структуру на этой поверхности. Эта статья Кэннона привела к важной гипотезе, впервые явно сформулированной Кэнноном и Свенсоном в 1998 году. (но также предложено в неявной форме в разделе 8 статьи Кэннона 1994 года) и теперь известно как гипотеза Кэннона , касающаяся характеристики словесно-гиперболических групп с 2-сферой в качестве границы. Гипотеза (гипотеза 5.1 в что если идеальная граница словесно-гиперболической группы G гомеоморфна ) утверждает , , 2-сфере то G допускает собственно разрывное кокомпактное изометрическое действие на гиперболическом 3-пространстве (так что G по существу является 3-мерной клейновой группой ) . В аналитических терминах гипотеза Кэннона эквивалентна утверждению, что если идеальная граница словесно -гиперболической группы G гомеоморфна 2-сфере, то эта граница с визуальной метрикой, полученной из графа Кэли группы G , квазисимметрична стандартной 2 -сфере. -сфера.

Статья Кэннона и Свенсона 1998 года. дал первоначальный подход к этой гипотезе, доказав, что гипотеза верна при дополнительном предположении, что семейство стандартных «дисков» на границе группы удовлетворяет комбинаторному «конформному» свойству. Основной результат статьи Кэннона 1994 г. сыграло решающую роль в доказательстве. Этот подход к гипотезе Кэннона и связанным с ней проблемам получил дальнейшее развитие позже в совместной работе Кэннона, Флойда и Пэрри.

Гипотеза Кэннона мотивировала большую часть последующих работ других математиков и в значительной степени повлияла на последующее взаимодействие между геометрической теорией групп и теорией анализа метрических пространств. Гипотеза Кэннона была мотивирована (см. ) на основе гипотезы о геометризации Терстона и попыток понять, почему в третьем измерении переменная отрицательная кривизна может быть повышена до постоянной отрицательной кривизны. Хотя гипотеза о геометризации была недавно решена Перельманом , гипотеза Кэннона остается широко открытой и считается одной из ключевых нерешенных открытых проблем в геометрической теории групп и геометрической топологии .

Приложения к биологии

Идеи комбинаторной конформной геометрии, лежащие в основе доказательства Кэннона «комбинаторной теоремы Римана об отображении», были применены Кэнноном, Флойдом и Парри (2000) для изучения крупномасштабных моделей роста биологических организмов. Кэннон, Флойд и Парри разработали математическую модель роста, которая продемонстрировала, что некоторые системы, определяемые простыми правилами конечного подразделения, могут привести к созданию объектов (в их примере - ствола дерева), крупномасштабная форма которого сильно колеблется с течением времени, даже несмотря на то, что локальные законы подразделения остаются неизменными. одинаковый. Кэннон, Флойд и Парри также применили свою модель для анализа закономерностей роста тканей крыс. Они предположили, что «отрицательно изогнутая» (или неевклидова) природа микроскопических моделей роста биологических организмов является одной из ключевых причин, почему крупномасштабные организмы не выглядят как кристаллы или многогранные формы, а на самом деле во многих случаях напоминают самостоятельные формы. подобные фракталы . В частности, они предложили (см. раздел 3.4 ), что такая «отрицательно изогнутая» локальная структура проявляется в сильно складчатом и сильно связанном характере мозга и легочной ткани.

Избранные публикации

• Кэннон, Джеймс В. (1979), «Сжимающиеся клеточные разложения многообразий. Коразмерность три», Annals of Mathematics , Second Series, 110 (1): 83–112, doi : 10.2307/1971245 , JSTOR   1971245 , MR   0541330
• Кэннон, Джеймс В. (1984), «Комбинаторная структура кокомпактных дискретных гиперболических групп», Geometriae Dedicata , 16 (2): 123–148, doi : 10.1007/BF00146825 , MR   0758901 , S2CID   120759717
• Кэннон, Джеймс В. (1987), «Почти выпуклые группы», Geometriae Dedicata , 22 (2): 197–210, doi : 10.1007/BF00181266 , MR   0877210 , S2CID   121345025
• Эпштейн, Дэвид Б.А.; Кэннон, Джеймс В.; Холт, Дерек Ф.; Леви, Сильвио В.; Патерсон, Майкл С.; Терстон, Уильям П. (1992), Обработка текста в группах. , Бостон, Массачусетс: Издательство Jones and Bartlett, ISBN  978-0-86720-244-1
• Кэннон, Джеймс В. (1994), «Комбинаторная теорема об отображении Римана», Acta Mathematica , 173 (2): 155–234, doi : 10.1007/BF02398434 , MR   1301392
• Кэннон, Джеймс В .; Терстон, Уильям П. (2007), «Групповые инвариантные кривые Пеано», Геометрия и топология , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , MR   2326947

См. также

• Геометрическая теория групп
• Низкоразмерная топология
• Слово-гиперболическая группа
• Гипотеза геометризации
• Гиперболическое многообразие
• Кляйнианская группа

Внешние ссылки

• Джеймс В. Кэннон в проекте «Математическая генеалогия»
• Веб-страница Джеймса Кэннона в BYU