Правило конечного подразделения

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H ³ . Обратите внимание на рекурсивную структуру: каждый пятиугольник содержит меньшие пятиугольники, которые содержат меньшие пятиугольники. Это пример правила подразделения, возникающего из конечной вселенной (т.е. замкнутого трехмерного многообразия ).

В математике правило конечного подразделения — это рекурсивный способ разделения многоугольника или другой двумерной фигуры на все меньшие и меньшие части. Правила подразделения в некотором смысле являются обобщением правильных геометрических фракталов . Вместо того, чтобы повторять один и тот же дизайн снова и снова, они имеют небольшие вариации на каждом этапе, что позволяет создать более богатую структуру, сохраняя при этом элегантный стиль фракталов. Правила подразделения использовались в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий . Тайлинги подстановки — хорошо изученный тип правила подразделения.

Определение

Правило подразделения берет мозаику плоскости многоугольниками и превращает ее в новую мозаику, разделяя каждый многоугольник на меньшие многоугольники. Оно конечно , если существует только конечное число способов разделения каждого многоугольника. Каждый способ подразделения плитки называется типом плитки . Каждый тип плитки представлен меткой (обычно буквой). Каждый тип плитки подразделяется на более мелкие типы плитки. Каждое ребро также подразделяется на конечное число типов ребер . Правила конечного подразделения могут подразделять только мозаики, состоящие из многоугольников, помеченных типами плиток. Такие разбиения называются комплексами подразделений для правила подразделения. Учитывая любой комплекс подразделения для правила подразделения, мы можем подразделять его снова и снова, чтобы получить последовательность мозаик.

Например, двоичное подразделение имеет один тип плитки и один тип края:

The binary subdivision rule

Поскольку единственным типом плитки является четырехугольник, двоичное подразделение может подразделять только плитки, состоящие из четырехугольников. Это означает, что единственными комплексами подразделения являются замощения четырехугольниками. Плитка может быть регулярной , но не обязательно:

We start with a complex with four quadrilaterals and subdivide twice. All squares are type A tiles.

Здесь мы начнем с комплекса, состоящего из четырех четырехугольников, и разделим его дважды. Все четырехугольники представляют собой плитки типа А.

Примеры правил конечного подразделения

Барицентрическое подразделение — это пример правила подразделения с одним типом ребра (которое подразделяется на два ребра) и одним типом плитки (треугольник, который подразделяется на 6 меньших треугольников). Любая триангулированная поверхность представляет собой барицентрический комплекс подразделений.

может Плитка Пенроуза быть создана с помощью правила подразделения на наборе из четырех типов плиток (кривые линии в таблице ниже только помогают показать, как плитки сочетаются друг с другом):

Имя	Начальные плитки	Поколение 1	Поколение 2	Поколение 3
Полукайт
Полудротик
Солнце
Звезда

Некоторые рациональные карты порождают конечные правила подразделения. Сюда входит большинство карт Lattes .

Каждый простой, нерасщепляемый чередующийся узел или дополнение звена имеет правило подразделения, при этом некоторые плитки, которые не делятся, соответствуют границе дополнения звена. Правила подразделения показывают, как будет выглядеть ночное небо для человека, живущего в узле ; поскольку Вселенная вращается вокруг себя (т.е. не просто связана ), наблюдатель увидит, что видимая Вселенная повторяет себя в бесконечном шаблоне. Правило подразделения описывает этот шаблон.

Правило подразделения выглядит по-разному для разных геометрий. Это правило подразделения узла-трилистника , который не является гиперболическим узлом :

Trefoil subdivision rule

А это правило подразделения колец Борромео , которое является гиперболическим:

Borromean subdivision rule

В каждом случае правило подразделения будет действовать на некоторую мозаику сферы (например, ночное небо), но проще просто нарисовать небольшую часть ночного неба, соответствующую многократному подразделению одной плитки. Вот что происходит с узлом трилистник:

Subdivisions of the subdivision complex for the trefoil complement.

А для колец Борромео:

Subdivisions of the subdivision complex for the Borromean rings complement.

Правила подразделения в более высоких измерениях

Правила подразделения можно легко распространить на другие измерения. Например, барицентрическое деление используется во всех измерениях. Кроме того, двоичное подразделение можно обобщить на другие измерения (где гиперкубы делятся каждой средней плоскостью), как при доказательстве теоремы Гейне-Бореля .

Строгое определение

Правило подразделения четырехтора. Лица плиток B, которые делятся, могут касаться только плиток C, а грани плиток B, которые не касаются только плиток A.

Конечное правило подразделения $R$ состоит в следующем.

1. Конечный двумерный комплекс CW $S_{R}$, называемый комплексом подразделения , с фиксированной структурой ячеек, такой что $S_{R}$ является объединением его замкнутых 2-клеток. Предположим, что для каждой замкнутой 2-клетки ${\tilde {s}}$ из $S_{R}$ есть структура CW $s$ на закрытом 2-диске таком, что $s$ имеет по крайней мере две вершины: вершины и ребра $s$ содержатся в $\partial s$, и характеристическое отображение $\psi _{s}:s\rightarrow S_{R}$ который отображается на ${\tilde {s}}$ ограничивается гомеоморфизмом на каждую открытую ячейку.

2. Конечный двумерный комплекс CW $R(S_{R})$, который является подразделением $S_{R}$.

3. Непрерывная карта сотовой связи. $\phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}$ называется картой подразделения , ограничение которой на каждую открытую клетку является гомеоморфизмом на открытую клетку.

Каждый комплекс ХО $s$ в определении выше (с заданным характеристическим отображением $\psi _{s}$) называется типом плитки .

Ан $R$-комплекс для правила подразделения $R$ представляет собой двумерный комплекс CW $X$ которое представляет собой объединение его замкнутых 2-клеток вместе с непрерывной клеточной картой $f:X\rightarrow S_{R}$ ограничение которого на каждую открытую ячейку является гомеоморфизмом. Мы можем разделить $X$ в комплекс $R(X)$ потребовав, чтобы индуцированное отображение $f:R(X)\rightarrow R(S_{R})$ ограничивается гомеоморфизмом на каждую открытую ячейку. $R(X)$ снова является $R$-комплекс с картой $\phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}$. Повторяя этот процесс, мы получаем последовательность разделенных $R$-комплексы $R^{n}(X)$ с картами $\phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}$.

Двоичное подразделение является одним из примеров:

The binary subdivision rule.

Комплекс подразделений можно создать, склеив противоположные края квадрата, сделав комплекс подразделений $S_{R}$ в тор . Карта подразделений $\phi$ это удвоенная карта на торе, дважды обертывающая меридиан вокруг себя и дважды долготу вокруг себя. Это четырехкратная покрывающая карта . Плоскость, замощенная квадратами, представляет собой комплекс подразделений для этого правила подразделения со структурной картой $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})$ заданное стандартной картой покрытия. При подразделении каждый квадрат на плоскости делится на квадраты размером в одну четвертую.

Свойства квазиизометрии

График истории правила разделения средних третей .

Правила подразделения можно использовать для изучения свойств квазиизометрии определенных пространств. Учитывая правило подразделения $R$ и комплекс подразделений $X$, мы можем построить график , называемый графом истории , который записывает действие правила подразделения. Граф состоит из двойственных графов каждого этапа $R^{n}(X)$, вместе с ребрами, соединяющими каждую плитку в $R^{n}(X)$ со своими подразделениями в $R^{n+1}(X)$.

Свойства квазиизометрии графа истории можно изучить с помощью правил подразделения. Например, граф истории квазиизометричен гиперболическому пространству именно тогда, когда правило подразделения конформно , как описано в комбинаторной теореме об отображении Римана .

Приложения

Применение правил подразделения.

Пример правила подразделения, используемого в исламском искусстве, известном как гирих .

Первые три шага подразделения Катмулла-Кларка куба с поверхностью подразделения ниже.

Ветвление бронхов можно смоделировать с помощью правил конечного деления.

Исламские плитки Гири в исламской архитектуре представляют собой самоподобные плитки, которые можно моделировать с помощью правил конечного подразделения. В 2007 году Питер Дж. Лу из Гарвардского университета и профессор Пол Дж. Стейнхардт из Принстонского университета статью, в которой опубликовали в журнале Science предполагалось, что мозаики гирих обладают свойствами, согласующимися с самоподобными фрактальными квазикристаллическими мозаиками, такими как мозаики Пенроуза (презентация 1974 года, предшествующие работы). начиная примерно с 1964 года), на пять столетий раньше их.

Поверхности подразделения в компьютерной графике используют правила подразделения для уточнения поверхности до любого заданного уровня точности. Эти поверхности подразделения (такие как поверхность подразделения Кэтмулла-Кларка ) берут полигональную сетку (тип, используемый в 3D-анимационных фильмах) и преобразуют ее в сетку с большим количеством полигонов путем добавления и смещения точек в соответствии с различными рекурсивными формулами. Хотя в этом процессе многие точки смещаются, каждая новая сетка комбинаторно является подразделением старой сетки (это означает, что для каждого ребра и вершины старой сетки вы можете идентифицировать соответствующее ребро и вершину в новой, а также еще несколько ребер). и вершины).

Правила подразделения были применены Кэнноном, Флойдом и Парри (2000) для изучения крупномасштабных моделей роста биологических организмов. Кэннон, Флойд и Парри разработали математическую модель роста, которая продемонстрировала, что некоторые системы, определяемые простыми правилами конечного подразделения, могут привести к созданию объектов (в их примере — ствола дерева), крупномасштабная форма которого сильно колеблется с течением времени, даже несмотря на то, что локальные законы подразделения оставаться прежним. Кэннон, Флойд и Парри также применили свою модель для анализа закономерностей роста тканей крыс. Они предположили, что «отрицательно изогнутая» (или неевклидова) природа микроскопических моделей роста биологических организмов является одной из ключевых причин, почему крупномасштабные организмы не выглядят как кристаллы или многогранные формы, а на самом деле во многих случаях напоминают самостоятельные формы. подобные фракталы . В частности, они предположили, что такая «отрицательно изогнутая» локальная структура проявляется в сильно складчатом и сильно связанном характере мозга и легочной ткани.

Гипотеза Кэннона

Кэннон , Флойд и Парри впервые изучили правила конечного подразделения как попытку доказать следующую гипотезу:

Гипотеза Кэннона : каждая Громова гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности действует геометрически на гиперболическом 3-пространстве .

Здесь геометрическое действие — это кокомпактное, собственно разрывное действие по изометриям. Эта гипотеза была частично решена Григорием Перельманом в его доказательстве. , гипотезы геометризации которая утверждает (частично), что любая гиперболическая группа Громова, являющаяся группой 3-многообразия, должна действовать геометрически на гиперболическом 3-пространстве. Однако еще предстоит показать, что гиперболическая группа Громова с 2-сферой на бесконечности является группой 3-многообразия.

Кэннон и Свенсон показали что гиперболическая группа с двумерной сферой на бесконечности имеет связанное с ней правило подразделения. Если это правило подразделения в определенном смысле конформно, группа будет группой трехмерного многообразия с геометрией гиперболического трехмерного пространства.

Комбинаторная теорема Римана об отображении

Правила подразделения задают последовательность мозаики поверхности, а мозаики дают представление о расстоянии, длине и площади (полагая, что длина и площадь каждой плитки равны 1). В пределе расстояния, возникающие из этих мозаик, могут в некотором смысле сходиться к аналитической структуре на поверхности. Комбинаторная теорема об отображении Римана дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы это произошло.

Его заявление требует некоторой предыстории. плитка $T$ кольца $R$ (т. е. замкнутое кольцо) дает два инварианта: $M_{\sup }(R,T)$ и $m_{\inf }(R,T)$, называемые приближенными модулями . Они аналогичны классическому модулю кольца . Они определяются с помощью весовых функций . Весовая функция $\rho$ присваивает неотрицательное число, называемое весом , каждой плитке $T$. Каждый путь в $R$ может быть задана длина, определяемая как сумма весов всех плиток на пути. Определить высоту $H(\rho )$ из $R$ под $\rho$ быть нижней границей длины всех возможных путей, соединяющих внутреннюю границу $R$ до внешней границы. Окружность ​ $C(\rho )$ из $R$ под $\rho$ является нижней границей длины всех возможных путей, описывающих кольцо (т. е. не нульгомотопно в R). Район ​ $A(\rho )$ из $R$ под $\rho$ определяется как сумма квадратов всех весов в $R$. Затем определите

$M_{\sup }(R,T)=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},$

$m_{\inf }(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.$

Обратите внимание, что они инвариантны относительно масштабирования метрики.

Последовательность $T_{1},T_{2},\ldots$ разбиений конформно ( $K$), если сетка приближается к 0 и:

1. За каждое кольцо $R$, приближенные модули $M_{\sup }(R,T_{i})$ и $m_{\inf }(R,T_{i})$, для всех $i$ достаточно велики, лежат в одном интервале вида $[r,Kr]$; и
2. Учитывая точку $x$ на поверхности, окрестности $N$ из $x$и целое число $I$, есть кольцо $R$ в $N\smallsetminus \{x\}$ отделение x от дополнения к $N$, такой, что для всех больших $i$ приблизительные модули $R$ все больше, чем $I$.

Формулировка теоремы

Если последовательность $T_{1},T_{2},\ldots$ разбиений поверхности конформно ( $K$ имеется конформная структура и константа ) в указанном выше смысле, то на поверхности $K'$ в зависимости только от $K$ в котором классические модули и приближенные модули (из $T_{i}$ для $i$ достаточно большие) любого заданного кольца $K'$-сопоставимы, то есть лежат в одном интервале. $[r,K'r]$.

Последствия

Из комбинаторной теоремы об отображении Римана следует, что группа $G$ действует геометрически на $\mathbb {H} ^{3}$ тогда и только тогда, когда он является гиперболическим по Громову, имеет сферу на бесконечности, а естественное правило подразделения сферы порождает последовательность мозаик, конформную в указанном выше смысле. Таким образом, гипотеза Кэннона была бы верной, если бы все такие правила подразделения были конформными.

Внешние ссылки

• Страница исследования Билла Флойда . На этой странице содержится большинство исследовательских работ Кэннона, Флойда и Пэрри по правилам подразделения, а также галерея правил подразделения.