Буддадброт

Буддаброт . повторил 20 000 раз

Буддхаброт фрактала — это распределение вероятностей по траекториям точек, выходящих за пределы Мандельброта . Его название отражает его парейдолическое сходство с классическими изображениями Гаутамы Будды , сидящего в позе для медитации со знаком на лбу ( тикка ), традиционной овальной короной ( ушниша ) и локонами волос.

Открытие

Технику рендеринга Buddhabrot . открыла Мелинда Грин который позже описал это в сообщении Usenet на sci.fractals в 1993 году.

Предыдущие исследователи подошли очень близко к обнаружению точной техники Буддхаброта. В 1988 году Линас Вепстас передал похожие изображения. Клиффу Пиковеру для включения в готовящуюся к выходу книгу Пиковера « Компьютеры, закономерности, хаос и красота» . Это привело непосредственно к открытию стеблей Пиковера . Ноэль Гриффин также реализовал эту идею в опции «Mandelcloud» 1993 года в средстве рендеринга Fractint . Однако эти исследователи не отфильтровали неускользающие траектории, необходимые для создания призрачных форм, напоминающих индуистское искусство. Обратный фильтр «Анти-Буддаброт» создает изображения, аналогичные отсутствию фильтрации.

Грин впервые назвал этот узор Ганешей, поскольку индийский коллега «мгновенно узнал в нем бога Ганешу , то есть бога с головой слона». Название Буддхаброт было придумано позже Лори Гарди.

Метод рендеринга

Ложный цвет Buddhabrot Zoom, в котором красный, зеленый и синий каналы имели максимальные значения итерации 5000, 500 и 50 соответственно.

Рендеринг Буддаброта размером 20 000 x 25 000 пикселей.

Математически множество Мандельброта состоит из множества точек $c$ в комплексной плоскости, для которой итеративно определенная последовательность

$$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$$

не так стремится к бесконечности, как $n$ уходит в бесконечность за $z_{0}=0$.

Ложный цвет Буддаброта, в котором красный, зеленый и синий каналы имели максимальные значения итерации 5000, 500 и 50 соответственно.

Изображение Буддхаброта можно построить, сначала создав двумерный массив прямоугольников , каждый из которых соответствует последнему пикселю изображения. Каждая коробка $(i,j)$ для $i=1,\ldots ,m$ и $j=1,\ldots ,n$ имеет размер в комплексных координатах $\Delta x$ и $\Delta y$, где $\Delta x=w/m$ и $\Delta y=h/n$ для изображения ширины $w$ и высота $h$. Для каждого ящика соответствующий счетчик инициализируется нулем. Далее случайная выборка $c$ точки перебираются через функцию Мандельброта. Для точек, которые ускользают в течение выбранного максимального числа итераций и, следовательно, не входят в множество Мандельброта, счетчик для каждого поля, введенного во время выхода на бесконечность, увеличивается на 1. Другими словами, для каждой последовательности, соответствующей $c$ который ускользает для каждой точки $z_{n}$ во время побега ящик, который $({\text{Re}}(z_{n}),{\text{Im}}(z_{n}))$ лежит внутри, увеличивается на 1. Точки, которые не выходят за пределы максимального числа итераций (и считаются входящими в множество Мандельброта), отбрасываются. После большого количества $c$ значения повторяются, затем оттенки серого выбираются на основе распределения значений, записанных в массиве. Результатом является график плотности, выделяющий области, где $z_{n}$ ценности тратят большую часть времени на пути к бесконечности.

АнтиБуддаброт

Буддаброт по мере увеличения максимального количества итераций

Нюансы

Рендеринг изображений Буддхаброта обычно требует больше вычислительных ресурсов, чем стандартные методы рендеринга Мандельброта. Частично это связано с тем, что для создания четкого изображения требуется обработать больше случайных точек, чем пикселей на изображении. Рендеринг областей с большим масштабом требует даже больше вычислений, чем для стандартных изображений Мандельброта, в которых данный пиксель может быть вычислен напрямую независимо от уровня масштабирования. И наоборот, на пиксель в увеличенной области изображения Буддхаброта могут влиять начальные точки из областей, находящихся далеко за пределами визуализируемой. Не прибегая к более сложным вероятностным методам, рендеринг увеличенных частей Buddhabrot состоит из простого обрезки большого полноразмерного рендеринга.

Выбранное максимальное количество итераций влияет на изображение: более высокие значения дают более разреженный и детальный вид, поскольку некоторые точки проходят через большое количество пикселей, прежде чем уйти, в результате чего их пути становятся более заметными. Если бы использовался более низкий максимум, эти точки не ускользнули бы во времени и считались бы вообще не ускользающими. Количество выбранных образцов также влияет на изображение, поскольку большее количество образцов не только снижает шум изображения, но и может уменьшить видимость медленно движущихся точек и небольших аттракторов, которые могут проявляться в виде видимых полос при рендеринге с меньшим количеством образцов. . Некоторые из этих полос видны на изображении 1 000 000 итераций ниже.

Позже Грин понял, что это обеспечивает естественный способ создания цветных изображений Буддхаброта, взяв три таких изображения в оттенках серого , отличающихся только максимальным количеством используемых итераций, и объединив их в одно цветное изображение, используя тот же метод, который используют астрономы для создания ложных цветов. изображения туманностей и других небесных объектов. Например, можно назначить изображение с максимальным количеством итераций 2000 для красного канала, изображение с максимальным количеством итераций 200 для зеленого канала и изображение с максимальным количеством итераций 20 для синего канала изображения в цветовом пространстве RGB . Некоторые, используя эту технику, пометили изображения Буддхабротов как Небулабротов .

Максимальное количество итераций: 20

Максимальное количество итераций: 100

Максимальное количество итераций: 1000.

Максимальное количество итераций: 20 000.

Максимальное количество итераций: 1 000 000.

Связь с логистической картой

Буддхаброт и его логистическая карта.

Анимация, изображающая Буддаброта и его логистическую карту.

Связь между множеством Мандельброта , определяемая итерацией $z^{2}+c$и логистическая карта $\lambda x(1-x)$ хорошо известен. Они связаны квадратичным преобразованием:

$${\begin{aligned}c_{r}&={\frac {\lambda (2-\lambda )}{4}}\\c_{i}&=0\\z_{r}&=-{\frac {\lambda (2x-1)}{2}}\\z_{i}&=0\end{aligned}}$$

Традиционным способом иллюстрации этой взаимосвязи является сопоставление логистической карты и множества Мандельброта через соотношение между $c_{r}$ и $\lambda$, используя общую ось X и другую ось Y, показывая одномерную связь.

Мелинда Грин обнаружила, что антибуддийская парадигма полностью интегрирует логистическую карту. Оба основаны на отслеживании путей из невыходных точек, повторяющихся от (случайной) начальной точки, а итерационные функции связаны преобразованием, приведенным выше. Тогда легко увидеть, что АнтиБуддаброт для $z^{2}+c$, прокладывая пути с $c=({\text{random}},0)$ и $z_{0}=(0,0)$, просто генерирует логистическую карту на плоскости $\{c_{r},z_{r}\}$, при использовании данного преобразования. Для целей рендеринга мы используем $z_{0}=({\text{random}},0)$. На логистической карте все $z_{r0}$ в конечном итоге создайте тот же путь.

Поскольку и множество Мандельброта, и логистическая карта являются неотъемлемой частью Анти-Буддаброта, теперь мы можем показать трехмерную связь между ними, используя трехмерные оси. $\{c_{r},c_{i},z_{r}\}$. В анимации показан классический Анти-Буддаброт с $c=({\text{random}},{\text{random}})$ и $z_{0}=(0,0)$, это 2D-множество Мандельброта на плоскости $\{c_{r},c_{i}\}$, а также Анти-Буддаброт с $c=({\text{random}},0)$ и $z_{0}=(0,0)$, это 2D логистическая карта в плоскости $\{c_{r},z_{r}\}$. Мы вращаем плоскость $\{c_{i},z_{r}\}$ вокруг $c_{r}$-ось, первый показ $\{c_{r},c_{i}\}$, затем поверните на 90°, чтобы отобразить $\{c_{r},z_{r}\}$, затем повернув еще на 90°, чтобы отобразить $\{c_{r},-c_{i}\}$. Мы могли бы повернуть еще на 180°, но это даст те же изображения, зеркально отраженные вокруг $c_{r}$-ось.

Логистическая карта «Анти-Буддаброт» на самом деле является подмножеством классической карты «Анти-Буддаброт», расположенной в плоскости $\{c_{r},z_{r}\}$ (или $c_{i}=0$) 3D $\{c_{r},c_{i},z_{r}\}$, перпендикулярно плоскости $\{c_{r},c_{i}\}$. Мы подчеркиваем это, кратко показывая при повороте на 90° только проецируемую плоскость. $c_{i}=0$, не «возмущенный» проекциями плоскостей с ненулевыми $c_{i}$.

Внешние ссылки

• Лобо, Альберт. «Знакомьтесь с техникой Буддхаброта» . Молекулярная плотность . Архивировано из оригинала 3 сентября 2018 г. Проверено 21 ноября 2011 г.
• Матолог. «Темная сторона множества Мандельброта» . Ютуб . Архивировано из оригинала 22 декабря 2021 г.