Система Энона – Хайлеса

Находясь в Принстоне в 1962 году, Мишель Энон и Карл Хайлес работали над нелинейным движением звезды вокруг галактического центра, при этом движение ограничивалось плоскостью. В 1964 году они опубликовали статью под названием «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты». ^{[ 1 ]} Их первоначальная идея заключалась в том, чтобы найти третий интеграл движения в галактической динамике. Для этой цели они взяли упрощенный двумерный нелинейный вращательно-симметричный потенциал и обнаружили, что третий интеграл существует только для ограниченного числа начальных условий. В современной перспективе начальные условия, не имеющие третьего интеграла движения, называются хаотическими орбитами.

Введение

Потенциал Энона – Хейлеса можно выразить как ^{[ 2 ]}

V(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}\right).

Энона – Хейлеса Гамильтониан можно записать как

H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}\right).

Система Энона – Хейлеса (HHS) определяется следующими четырьмя уравнениями:

{\dot {x}}=p_{x},

{\dot {p_{x}}}=-x-2\lambda xy,

{\dot {y}}=p_{y},

{\dot {p_{y}}}=-y-\lambda (x^{2}-y^{2}).

В классическом сообществе хаоса значение параметра $\lambda$ обычно принимается за единицу. Поскольку HHS указан в $\mathbb {R} ^{2}$ , для его моделирования нам нужен гамильтониан с двумя степенями свободы. В некоторых случаях ее можно решить с помощью анализа Пенлеве .

Квантовый гамильтониан Генона – Хейлса

Энона – Хейлса В квантовом случае гамильтониан можно записать в виде двумерного уравнения Шредингера .

Соответствующее двумерное уравнение Шрёдингера имеет вид

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,y)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {1}{3}}y^{3}\right)\right]\Psi (x,y).

Вада собственность выходных бассейнов

Система Энона – Хейлеса демонстрирует богатое динамическое поведение. Обычно свойство Вада нельзя увидеть в гамильтоновой системе , но выходной бассейн Энона-Хейлеса демонстрирует интересное свойство Вада. Видно, что когда энергия превышает критическую, система Энона – Хейлеса имеет три выходных бассейна. В 2001 году MAF Санхуан и др. ^{[ 3 ]} показал, что в системе Энона–Хейлеса выходные бассейны обладают свойством Вада.

Ссылки

^ Энон, М.; Хейлс, К. (1964). «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты». Астрономический журнал . 69 : 73–79. Бибкод : 1964AJ.....69...73H . дои : 10.1086/109234 .
^ Энон, Мишель (1983), «Численное исследование гамильтоновых систем», в Иосс, Г. (редактор), «Хаотическое поведение детерминированных систем» , Elsevier Science Ltd, стр. 53–170, ISBN 044486542X
^ Агирре, Хакобо; Вальехо, Хуан К.; Санхуан, Мигель А.Ф. (27 ноября 2001 г.). «Бассейны Вада и хаотические инвариантные множества в системе Энон-Хейля». Физический обзор E . 64 (6). Американское физическое общество (APS): 066208. doi : 10.1103/physreve.64.066208 . hdl : 10261/342147 . ISSN 1063-651X .

Внешние ссылки

http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html

[1] Энон, М.; Хейлс, К. (1964). «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты». Астрономический журнал . 69 : 73–79. Бибкод : 1964AJ.....69...73H . дои : 10.1086/109234 .

[2] Энон, Мишель (1983), «Численное исследование гамильтоновых систем», в Иосс, Г. (редактор), «Хаотическое поведение детерминированных систем» , Elsevier Science Ltd, стр. 53–170, ISBN 044486542X

[3] Агирре, Хакобо; Вальехо, Хуан К.; Санхуан, Мигель А.Ф. (27 ноября 2001 г.). «Бассейны Вада и хаотические инвариантные множества в системе Энон-Хейля». Физический обзор E . 64 (6). Американское физическое общество (APS): 066208. doi : 10.1103/physreve.64.066208 . hdl : 10261/342147 . ISSN 1063-651X .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]