Постоянная движения

В механике константа движения — это физическая величина, сохраняющаяся на протяжении всего движения, фактически накладывающая ограничение на движение. Однако это математическое ограничение , естественное следствие уравнений движения , а не физическое ограничение (которое потребовало бы дополнительных ограничивающих сил ). Общие примеры включают энергию , линейный момент , угловой момент и вектор Лапласа-Рунге-Ленца (для законов обратных квадратов силы ).

Приложения

Константы движения полезны, потому что они позволяют получить свойства движения без решения уравнений движения . В удачных случаях даже траекторию движения можно получить как пересечение изоповерхностей , соответствующих константам движения. Например, конструкция Пуансо крутящего момента показывает, что вращение без твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траектории, которую иначе было бы трудно получить и визуализировать. Поэтому выявление констант движения является важной задачей механики .

Методы определения констант движения

Существует несколько методов определения констант движения.

• Самый простой, но наименее систематический подход — это интуитивный («психический») вывод, при котором предполагается, что величина постоянна (возможно, из-за экспериментальных данных ), а затем математически показано, что она сохраняется на протяжении всего движения.
• Уравнения Гамильтона-Якоби представляют собой широко используемый и простой метод определения констант движения, особенно когда гамильтониан принимает узнаваемые функциональные формы в ортогональных координатах .
• Другой подход состоит в том, чтобы признать, что величина соответствует симметрии лагранжиана сохраняющаяся . Теорема Нётер обеспечивает систематический способ вывода таких величин из симметрии. Например, сохранение энергии является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат времени , сохранение линейного момента является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала координат пространства ( трансляционная симметрия ), а сохранение углового момента является результатом инвариантность лагранжиана относительно вращений . Обратное также верно; каждая симметрия лагранжиана соответствует константе движения, часто называемой сохраняющимся зарядом или током .
• Количество $A$ является константой движения, если ее полная производная по времени равна нулю $$0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},$$ что происходит, когда $A$ с Скобка Пуассона гамильтонианом равна минус его частная производная по времени $${\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.$$

Еще одним полезным результатом является теорема Пуассона , которая утверждает, что если две величины $A$ и $B$ являются константами движения, как и их скобка Пуассона $\{A,B\}$.

Система с п степенями свободы и п константами движения, такая, что скобка Пуассона любой пары констант движения обращается в нуль, называется полностью интегрируемой системой . Говорят, что такой набор констант движения находится в инволюции друг с другом. Для замкнутой системы ( лагранжиана , не зависящего явно от времени) энергия системы является константой движения ( сохраняющейся величиной ).

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q будет константой движения, если она и сама не зависит коммутирует с гамильтонианом H явно от времени. Это потому, что $${\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,$$где $$[H,Q]=HQ-QH\,$$является коммутаторным отношением.

Вывод

Скажем, существует некоторая наблюдаемая величина Q , которая зависит от положения, импульса и времени: $$Q=Q(x,p,t)$$

А также, что существует волновая функция , подчиняющаяся уравнению Шрёдингера $$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .$$

Взятие производной по времени от ожидаемого значения Q требует использования правила произведения и приводит к $${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}$$

Итак, наконец,

$${\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {dQ}{dt}}|\psi \rangle \,$$

Комментарий

Для произвольного состояния квантовомеханической системы, если H и Q коммутируют, т. е. если $$\left[H,Q\right]=0$$и Q не зависит явно от времени, то $${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$$

Но если $\psi$ является собственной функцией гамильтониана, то даже если $$\left[H,Q\right]\neq 0$$это все еще тот случай, что $${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0$$при условии, что Q не зависит от времени.

Вывод

$${\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle$$С $$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,$$затем $${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}$$По этой причине собственные состояния гамильтониана также называют стационарными состояниями.

Актуальность для квантового хаоса

В общем случае интегрируемая система имеет константы движения, отличные от энергии. Напротив, энергия — единственная константа движения в неинтегрируемой системе ; такие системы называются хаотическими. В общем, классическую механическую систему можно квантовать, только если она интегрируема; по состоянию на 2006 год не существует известного последовательного метода квантования хаотических динамических систем.

Интеграл движения

Константа движения может быть определена в данном силовом поле как любая функция координат в фазовом пространстве (положение и скорость или положение и импульс) и времени, которая постоянна на протяжении всей траектории. Подмножеством констант движения являются интегралы движения или первые интегралы , определяемые как любые функции только координат фазового пространства, которые постоянны вдоль орбиты. Каждый интеграл движения является константой движения, но обратное неверно, поскольку константа движения может зависеть от времени. Примерами интегралов движения являются вектор углового момента, $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v}$, или гамильтониан без зависимости от времени, например ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$. Примером функции, которая является константой движения, но не интегралом движения, может быть функция $C(x,v,t)=x-vt$ для объекта, движущегося с постоянной скоростью в одном измерении.

Наблюдаемые Дирака

Чтобы извлечь физическую информацию из калибровочных теорий , нужно либо построить калибровочно-инвариантные наблюдаемые, либо фиксировать калибровку. На каноническом языке это обычно означает либо построение функций, коммутирующих по Пуассону на поверхности ограничений с калибровкой, порождающей ограничения первого класса , либо фиксирование потока последних путем выделения точек внутри каждой калибровочной орбиты . Таким образом, такие калибровочно-инвариантные наблюдаемые являются «константами движения» калибровочных генераторов и называются наблюдаемыми Дирака.

Ссылки

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-Х .