Ограничение первого класса

Не путать с первичным ограничением .

Для более широкого освещения этой темы см. Кронштейн Дирака .

В физике ограничение первого класса — это динамическая величина в гамильтоновой системе со связями, скобка Пуассона которой вместе со всеми другими ограничениями обращается в нуль на поверхности ограничений в фазовом пространстве (поверхность, неявно определяемая одновременным исчезновением всех ограничений). нет Чтобы вычислить ограничение первого класса, предполагается, что ограничений второго класса или что они были рассчитаны ранее и сгенерированы их скобки Дирака .

Ограничения первого и второго класса были введены Дираком ( 1950 , стр.136, 1964 , стр.17) как способ квантования механических систем, таких как калибровочные теории, в которых симплектическая форма вырождена.

Терминология ограничений первого и второго класса до степени смешения аналогична терминологии первичных и вторичных ограничений , что отражает способ их создания. Эти подразделения независимы: ограничения как первого, так и второго класса могут быть как первичными, так и вторичными, что в целом дает четыре разных класса ограничений.

Скобки Пуассона

Рассмотрим многообразие Пуассона M с гладким гамильтонианом над ним (для теорий поля M было бы бесконечномерным).

Предположим, у нас есть некоторые ограничения

$f_{i}(x)=0,$

для n гладких функций

$\{f_{i}\}_{i=1}^{n}$

они будут определены только на диаграмме В целом . Предположим, что всюду на ограниченном множестве n производных n функций линейно независимы , а также что скобки Пуассона

$\{f_{i},f_{j}\}$

и

$\{f_{i},H\}$

все исчезают в ограниченном подпространстве.

Это означает, что мы можем написать

$\{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}$

для некоторых гладких функций $c_{ij}^{k}$ ---есть теорема, показывающая это; и

$\{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}$

для некоторых гладких функций $v_{i}^{j}$.

Это можно сделать глобально, используя раздел unity . Тогда мы говорим, что у нас есть неприводимое ограничение первого класса ( неприводимое здесь понимается в другом смысле, чем тот, который используется в теории представлений ).

Геометрическая теория

Для более элегантного способа предположим, что дано векторное расслоение над ${\mathcal {M}}$, с $n$-мерное волокно $V$. Снабдим это векторное расслоение связностью . Предположим также, что у нас есть гладкое сечение f этого расслоения.

Тогда ковариантная производная f линейным по связности является гладким отображением $\nabla f$ из касательного расслоения $T{\mathcal {M}}$ к $V$, который сохраняет базовую точку . Предположим, что это линейное отображение обратимо справа (т. е. существует линейное отображение $g$ такой, что $(\Delta f)g$ — тождественное отображение ) для всех слоев в нулях f . Тогда согласно теореме о неявной функции подпространство нулей f является подмногообразием .

Обычная скобка Пуассона определена только над $C^{\infty }(M)$, пространство гладких функций над M . Однако, используя связность, мы можем распространить ее на пространство гладких сечений f, работать с расслоением алгебр, слоями которого является градуированная алгебра V если -тензоров.

Предположим также, что под этой скобкой Пуассона $\{f,f\}=0$ (обратите внимание, что это неправда, что $\{g,g\}=0$ вообще для этой "расширенной скобки Пуассона" уже нет) и $\{f,H\}=0$ на подмногообразии нулей f (если эти скобки также всюду равны нулю, то мы говорим, что ограничения закрывают оболочку ). Оказывается, правильное условие обратимости и условия коммутативности потоков не зависят от выбора связи. Итак, мы можем разорвать соединение, если работаем исключительно с ограниченным подпространством.

Интуитивное значение

Что все это означает интуитивно? Это означает, что гамильтониан и потоки ограничений коммутируют друг с другом в ограниченном подпространстве; или, альтернативно, если мы начнем с точки ограниченного подпространства, то гамильтониан и потоки ограничений перенесут эту точку в другую точку ограниченного подпространства.

Поскольку мы хотим ограничиться только ограниченным подпространством, это предполагает, что гамильтониан или любая другая физическая наблюдаемая должна определяться только в этом подпространстве. Эквивалентно, мы можем рассмотреть класс эквивалентности гладких функций над симплектическим многообразием, которые согласуются на ограниченном подпространстве ( факторалгебре по идеалу , порожденному f другими словами, ).

Загвоздка в том, что гамильтоновы потоки в ограниченном подпространстве зависят от градиента гамильтониана, а не от его значения. Но из этой ситуации есть простой выход.

Посмотрите на орбиты ограниченного подпространства под действием симплектических потоков, порождаемых f . Это дает локальное слоение подпространства, поскольку оно удовлетворяет условиям интегрируемости ( теорема Фробениуса ). Оказывается, если мы начнем с двух разных точек на одной и той же орбите в ограниченном подпространстве и будем развивать их обе под двумя разными гамильтонианами соответственно, которые согласуются в ограниченном подпространстве, то временная эволюция обеих точек под действием их соответствующих гамильтоновых потоков будет всегда лежат на одной и той же орбите в одинаковое время. Также оказывается, что у нас есть две гладкие функции A ₁ и B ₁ , которые постоянны на орбитах, по крайней мере, в ограниченном подпространстве (т.е. физических наблюдаемых) (т.е. {A ₁ ,f}={B ₁ ,f}=0 над ограниченное подпространство) и еще два A ₂ и B ₂ , которые также постоянны на орбитах, таких что A ₁ и B ₁ согласуются с A ₂ и B ₂ соответственно в ограниченном подпространстве, то их скобки Пуассона {A ₁ , B ₁ } и {A ₂ , B ₂ } также постоянны на орбитах и ​​согласуются в ограниченном подпространстве.

В общем, нельзя исключать « эргодические » потоки (что по сути означает, что орбита плотна в некотором открытом множестве) или «субергодические» потоки (орбита которых плотна в некотором подмногообразии размерности, большей, чем размерность орбиты). У нас не может быть самопересекающихся орбит.

Для большинства «практических» применений ограничений первого класса мы не видим таких сложностей: факторпространство ограниченного подпространства f-потоками (другими словами, пространство орбит) ведет себя достаточно хорошо, чтобы действовать как дифференцируемое многообразие. , которое можно превратить в симплектическое многообразие , проецируя на него симплектическую форму M (можно показать, что это корректно определено ). В свете упомянутых ранее наблюдений о физических наблюдаемых мы можем работать с этим более «физическим» симплектическим многообразием меньшего размера, но с на 2n меньшим количеством измерений.

В общем, с факторпространством немного сложно работать при выполнении конкретных вычислений (не говоря уже о нелокальности при работе с ограничениями диффеоморфизма ), поэтому вместо этого обычно делают нечто подобное. Обратите внимание, что ограниченное подмногообразие является расслоением (но не расслоением вообще) над фактормногообразием. Таким образом, вместо того, чтобы работать с фактормногообразием, мы можем работать с частью расслоения. Это называется фиксацией манометра .

Основная проблема заключается в том, что этот пакет может не иметь глобального раздела вообще «проблема» глобальных аномалий . Вот тут-то и возникает, например, . Глобальная аномалия отличается от неоднозначности Грибова , которая заключается в том, что, когда фиксация калибровки не позволяет однозначно зафиксировать калибровку, в глобальной аномалии не существует последовательного определения калибровочного поля. Глобальная аномалия является препятствием для определения квантовой калибровочной теории, открытой Виттеном в 1980 году.

То, что было описано, представляет собой неприводимые ограничения первого класса. Другая сложность заключается в том, что Δf может не быть обратимым справа на подпространствах ограниченного подмногообразия коразмерности 1 или больше (что нарушает более сильное предположение, сформулированное ранее в этой статье). Это происходит, например, в котетрады формулировке общей теории относительности в подпространстве конфигураций, где поле котетрады и форма связи оказываются равными нулю в некотором открытом подмножестве пространства. Здесь ограничения представляют собой ограничения диффеоморфизма.

Один из способов обойти это: для приводимых ограничений мы ослабляем условие правой обратимости ∆ f до следующего: любая гладкая функция, которая обращается в нуль в нулях f, представляет собой послойное сжатие f с (неединственным ) гладкий участок ${\bar {V}}$-векторный пучок, где ${\bar {V}}$ — векторное пространство, двойственное пространству ограничений V. векторному Это называется условием регулярности .

Гамильтонова динамика с ограничениями из лагранжевой калибровочной теории

Прежде всего, мы предположим, что действие представляет собой интеграл локального лагранжиана , который зависит только с точностью до первой производной полей. Анализ более общих случаев хотя и возможен, но более сложен. Переходя к гамильтонову формализму, мы обнаруживаем наличие ограничений. Напомним, что в формализме действий существуют конфигурации в оболочке и вне оболочки . Ограничения, которые удерживают оболочку, называются первичными ограничениями, а те, которые удерживаются только оболочкой, называются вторичными ограничениями.

Примеры

Рассмотрим динамику одиночной точечной частицы массы m без внутренних степеней свободы, движущейся в псевдоримановом пространственно-временном многообразии S с метрикой g . Предположим также, что параметр τ, описывающий траекторию частицы, произволен (т.е. мы настаиваем на репараметризационной инвариантности ). Тогда его симплектическим пространством является кокасательное расслоение T*S с канонической симплектической формой ω .

Если мы координируем T * S по его положению x в базовом многообразии S и по его положению в кокасательном пространстве p , то у нас есть ограничение

ж = м ² - г ( Икс ) ⁻¹ ( п , п ) знак равно 0 .

Гамильтониан H , как ни удивительно, равен H = 0. В свете наблюдения, что гамильтониан определен только до класса эквивалентности гладких функций, согласующихся в ограниченном подпространстве, мы можем вместо этого использовать новый гамильтониан H '= f . Тогда мы имеем интересный случай, когда гамильтониан — это то же самое, что ограничение! см. в гамильтоновом ограничении Дополнительную информацию .

Рассмотрим теперь случай теории Янга–Миллса для вещественной простой алгебры Ли L (с отрицательно определенной формой Киллинга η ), минимально связанной с вещественным скалярным полем σ , которое преобразуется как ортогональное представление ρ с базовым векторным пространством V под действием L. в ( d − 1) + 1 пространстве-времени Минковского . Для l в L пишем

р(л)[с]

как

л[с]

для простоты. Пусть A — форма L -значная связности теории. Обратите внимание, что здесь A отличается от A, раз используемого физиками, в i и g . Это согласуется с соглашением математиков.

Действие S определяется выражением

$S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))$

где g — метрика Минковского, F — форма кривизны

$d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}$

(no is s или g s!), где второй член является формальным сокращением для предположения, что скобка Ли является коммутатором, D — ковариантная производная

Dσ = dσ − A [σ]

и α — ортогональная форма для ρ .

Какова гамильтонова версия этой модели? Ну, во-первых, нам нужно нековариантно разделить A на временную составляющую φ и пространственную часть A → . Затем полученное симплектическое пространство имеет сопряженные переменные σ , π _σ (принимающие значения в базовом векторном пространстве ${\bar {\rho }}$, двойственное представление ρ ), A → , π → _A , φ и π _φ . Для каждой пространственной точки у нас есть ограничения π _φ =0 и гауссово ограничение

${\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0$

где поскольку ρ — переплетчик

$\rho :L\otimes V\rightarrow V$,

ρ ' — дуализованный переплетчик

$\rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L$

( L самодвойственна через η ). Гамильтониан,

$H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).$

Последние два члена представляют собой линейную комбинацию гауссовских ограничений, и мы имеем целое семейство (калибровочных эквивалентов) гамильтонианов, параметризованных f . Фактически, поскольку последние три члена для состояний со связями исчезают, мы можем от них отказаться.

Ограничения второго класса

В гамильтоновой системе со связями динамическая величина является вторым классом , если ее скобка Пуассона хотя бы с одним ограничением не обращается в нуль. Ограничение, имеющее ненулевую скобку Пуассона хотя бы с одним другим ограничением, является ограничением второго класса .

см. в скобках Дирака Разнообразные иллюстрации .

Пример: частица, заключенная в сферу.

Прежде чем перейти к общей теории, поэтапно рассмотрим конкретный пример, чтобы мотивировать общий анализ.

Начнём с действия, описывающего ньютоновскую частицу массы m, прикованную к сферической поверхности радиуса R внутри однородного гравитационного поля g . Когда кто-то работает с механикой Лагранжа, есть несколько способов реализовать ограничение: можно переключиться на обобщенные координаты, которые явно решают ограничение, или можно использовать множитель Лагранжа, сохраняя при этом избыточные координаты, ограниченные таким образом.

В этом случае частица ограничена сферой, поэтому естественным решением было бы использовать угловые координаты для описания положения частицы вместо декартовых и решить (автоматически устранить) ограничение таким способом (первый вариант). Вместо этого по педагогическим причинам рассмотрим задачу в (избыточных) декартовых координатах с множителем Лагранжа, обеспечивающим ограничение.

Действие дается

$S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]$

где последний член — это член множителя Лагранжа, обеспечивающий ограничение.

Конечно, как уже отмечалось, мы могли бы просто использовать другие, неизбыточные, сферические координаты и записать это как

$S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]$

вместо этого без дополнительных ограничений; но мы рассматриваем прежнюю координацию, чтобы проиллюстрировать ограничения.

Сопряженные импульсы имеют вид

$p_{x}=m{\dot {x}}$, $p_{y}=m{\dot {y}}$, $p_{z}=m{\dot {z}}$, $p_{\lambda }=0$ .

Обратите внимание, что мы не можем определить • λ по импульсам.

Гамильтониан выражением определяется

$H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})$.

На данном этапе мы пока не можем исключить • λ . Здесь мы рассматриваем • λ как сокращение функции симплектического пространства , которую нам еще предстоит определить, а не как независимую переменную. Для обеспечения единообразия обозначений определите u ₁ = • λ с этого момента . Приведенный выше гамильтониан с членом p _λ является «наивным гамильтонианом». Обратите внимание: поскольку на оболочке ограничение должно выполняться, на оболочке нельзя отличить наивный гамильтониан от приведенного выше гамильтониана с неопределенным коэффициентом: • λ = u ₁ .

У нас есть основное ограничение

п _λ =0 .

Из соображений непротиворечивости мы требуем, чтобы скобка Пуассона всех ограничений с гамильтонианом обращалась в нуль в ограниченном подпространстве. Другими словами, ограничения не должны меняться во времени, если они хотят быть тождественно равными нулю по уравнениям движения.

Из этого условия согласованности мы сразу получаем вторичное ограничение

${\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}$

Это ограничение следует добавить в гамильтониан с неопределенным (не обязательно постоянным) коэффициентом u2 _, увеличивая гамильтониан до

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.$

Аналогично, из этого вторичного ограничения мы находим третичное ограничение

${\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}$

Опять же, следует добавить это ограничение в гамильтониан, поскольку на оболочке никто не сможет заметить разницу. Поэтому пока гамильтониан имеет вид

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,$

где u ₁ , u ₂ и u ₃ еще полностью не определены.

Обратите внимание, что часто все ограничения, найденные из условий согласованности, называются вторичными ограничениями , а вторичные, третичные, четверичные и т. д. ограничения не различаются.

Мы продолжаем поворачивать рукоятку, требуя, чтобы это новое ограничение имело исчезающую скобку Пуассона.

$0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.$

Мы могли бы отчаяться и подумать, что этому нет конца, но поскольку появился один из новых множителей Лагранжа, это не новое ограничение, а условие, фиксирующее множитель Лагранжа:

$u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).$

Подстановка этого значения в наш гамильтониан дает нам (после небольшой алгебры)

$H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}$

Теперь, когда в гамильтониане появились новые члены, следует вернуться назад и проверить условия согласованности первичного и вторичного ограничений. Условие согласованности вторичного ограничения дает

${\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.$

Опять же, это не новое ограничение; это только определяет, что

$u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.$

На этом этапе больше нет ограничений или условий согласованности, которые нужно проверять !

Собрав все это вместе,

$H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }$.

При нахождении уравнений движения следует использовать приведенный выше гамильтониан, и, если стараться никогда не использовать ограничения перед взятием производных в скобке Пуассона, можно получить правильные уравнения движения. То есть уравнения движения имеют вид

${\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.$

Прежде чем анализировать гамильтониан, рассмотрим три ограничения:

$\varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.$

Обратите внимание на нетривиальную в скобках Пуассона структуру ограничений . В частности,

$\{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.$

Вышеупомянутая скобка Пуассона не просто не исчезает вне оболочки, как можно было бы ожидать, но даже на оболочке она отлична от нуля . Следовательно, φ ₂ и φ ₃ являются ограничениями второго класса , а φ ₁ — ограничениями первого класса. Обратите внимание, что эти ограничения удовлетворяют условию регулярности.

Здесь мы имеем симплектическое пространство, в котором скобка Пуассона не обладает «хорошими свойствами» на ограниченном подпространстве. Однако Дирак заметил, что мы можем превратить основное дифференциальное многообразие симплектического пространства в многообразие Пуассона , используя его одноименную модифицированную скобку, называемую скобкой Дирака , так что эта скобка Дирака любой (гладкой) функции с любым из ограничений второго класса всегда исчезает .

По сути, эти скобки (проиллюстрированные для этой сферической поверхности в статье о скобках Дирака ) проецируют систему обратно на поверхность ограничений.Если затем пожелать канонически проквантовать эту систему, то необходимо ввести канонические скобки Дирака: а не канонические скобки Пуассона для коммутационных соотношений.

Изучение приведенного выше гамильтониана показывает, что происходит ряд интересных вещей. Следует отметить, что на оболочке, когда ограничения удовлетворены, расширенный гамильтониан идентичен наивному гамильтониану, как и требовалось. Также обратите внимание, что λ выпала из расширенного гамильтониана. Поскольку φ ₁ является первичным ограничением первого класса, его следует интерпретировать как генератор калибровочного преобразования. Калибровочная свобода — это свобода выбора λ , которая перестала оказывать какое-либо влияние на динамику частицы. Следовательно, то, что λ выпало из гамильтониана, что u ₁ не определено и что φ ₁ = p _λ является первым классом, все это тесно взаимосвязано.

Обратите внимание, что было бы более естественно не начинать с лагранжиана с множителем Лагранжа, а вместо этого взять r ² − R ² в качестве основного ограничения и продолжить формализм: результатом будет исключение посторонней динамической величины λ . Однако этот пример более поучителен в его нынешнем виде.

См. Также: Кронштейн Дирака.

Пример: действие Прока

Другой пример, который мы будем использовать, — это действие Proca . Поля $A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )$ и действие

$S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]$

где

${\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}$

и

$B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}$.

$({\vec {A}},-{\vec {E}})$ и $(\phi ,\pi )$ являются каноническими переменными . Ограничения второго класса:

$\pi \approx 0$

и

$\nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0$.

Гамильтониан определяется выражением

$H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]$.

См. также

• Кронштейн Дирака
• Голономное ограничение
• Анализ потоков

Дальнейшее чтение

• Фальк, Северная Каролина; Хиршфельд, AC (1983). «Квантование нелинейной системы с ограничениями в скобках Дирака: жесткий ротатор». Европейский журнал физики . 4 (1): 5–9. Бибкод : 1983EJPh....4....5F . дои : 10.1088/0143-0807/4/1/003 . S2CID   250845310 .
• Хомма, Т.; Инамото, Т.; Миядзаки, Т. (1990). «Уравнение Шредингера для нерелятивистской частицы, ограниченной на гиперповерхности в искривленном пространстве». Физический обзор D . 42 (6): 2049–2056. Бибкод : 1990PhRvD..42.2049H . doi : 10.1103/PhysRevD.42.2049 . ПМИД   10013054 .