Эквивариантная карта
В математике из одного пространства , эквивариантность — это форма симметрии функций симметричным обладающих симметрией к другому (например, пространствам ). Функция называется эквивариантным отображением, если на ее область определения и кодомен действует одна и та же группа симметрии и когда функция коммутирует с действием группы. То есть применение преобразования симметрии и последующее вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции и последующее применение преобразования.
Эквивариантные карты обобщают концепцию инвариантов — функций, значение которых не меняется при преобразовании симметрии их аргумента. Значение эквивариантного отображения часто (неточно) называют инвариантом.
В статистическом выводе эквивалентность при статистических преобразованиях данных является важным свойством различных методов оценки; см . в инвариантной оценке подробности . В чистой математике эквивариантность является центральным объектом изучения эквивариантной топологии и ее подтем, эквивариантных когомологий и эквивариантной стабильной теории гомотопий .
Примеры
[ редактировать ]Элементарная геометрия
[ редактировать ]
В геометрии треугольников площадь . и периметр треугольника являются инвариантами относительно евклидовых преобразований : перемещение, вращение или отражение треугольника не изменяет его площадь или периметр Однако центры треугольников, такие как центроид , центр описанной окружности , центр и ортоцентр, не являются инвариантными, поскольку перемещение треугольника также приведет к перемещению его центров. Вместо этого эти центры эквивариантны: применение любого евклидова сравнения (комбинации перемещения и вращения) к треугольнику, а затем построение его центра дает ту же точку, что и сначала построение центра, а затем применение того же сравнения к центру. В более общем смысле, все центры треугольников также эквивариантны относительно преобразований подобия (комбинаций перемещения, вращения, отражения и масштабирования). [1] и центроид эквивариантен относительно аффинных преобразований . [2]
Одна и та же функция может быть инвариантом для одной группы симметрий и эквивариантом для другой группы симметрий. Например, при преобразованиях подобия вместо сравнений площадь и периметр перестают быть инвариантными: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется в s раз , периметр также масштабируется в s , а площадь масштабируется в s. 2 . Таким образом, функцию, отображающую каждый треугольник на его площадь или периметр, можно рассматривать как эквивариантную для мультипликативного группового действия масштабирующих преобразований на положительные действительные числа.
Статистика
[ редактировать ]Другой класс простых примеров связан со статистической оценкой . Среднее значение выборки (набор действительных чисел) обычно используется в качестве центральной тенденции выборки. Он эквивариантен относительно линейных преобразований действительных чисел, поэтому, например, на него не влияет выбор единиц, используемых для представления чисел. Напротив, среднее значение не эквивариантно по отношению к нелинейным преобразованиям, таким как экспоненты.
Медиана монотонных выборки эквивариантна для гораздо большей группы преобразований — (строго) функций действительных чисел. Этот анализ показывает, что медиана более устойчива к определенным видам изменений в наборе данных и что (в отличие от среднего значения) она имеет смысл для порядковых данных . [3]
Понятия инвариантной оценки и эквивариантной оценки использовались для формализации этого стиля анализа.
Теория представлений
[ редактировать ]В теории представлений конечных групп векторное пространство, снабженное группой, действующей линейными преобразованиями пространства, называется линейным представлением группы.Линейное отображение , коммутирующее с действием, называется переплетателем . То есть переплетчик — это просто эквивариантное линейное отображение между двумя представлениями. Альтернативно, переплетчик для представлений группы G над полем K — это то же самое, что K [ G ] -модулей , где гомоморфизм K [ G ] — групповое кольцо группы G. модулей [4]
При некоторых условиях, если X и Y являются неприводимыми представлениями , то переплетатель (отличный от нулевого отображения ) существует только в том случае, если два представления эквивалентны (то есть изоморфны как модули ). Тогда этот переплетатель уникален с точностью до мультипликативного множителя (ненулевого скаляра из K ). Эти свойства сохраняются, когда образ K [ G ] является простой алгеброй с центром K (согласно так называемой лемме Шура : см. простой модуль ). Как следствие, в важных случаях построения переплетателя достаточно, чтобы показать, что представления фактически одинаковы. [5]
Формализация
[ редактировать ]используя понятие G -множества группы формализовать , G. Эквивариантность можно Это математический объект, состоящий из множества S и группового действия (слева) G на S. математического Если X и Y оба являются G -множествами для одной и той же группы G , то функция f : X → Y называется эквивариантной, если
- ж ( г · Икс ) знак равно г · ж ( Икс )
для всех g ∈ G всех x в X. и [6]
Если одно или оба действия являются правильными, условие эквивалентности можно соответствующим образом модифицировать:
- ж ( Икс · г ) знак равно ж ( Икс )· г ; (право-право)
- ж ( Икс · г ) знак равно г −1 · ж ( Икс ) ; (право-лево)
- ж ( г · Икс ) знак равно ж ( Икс )· г −1 ; (слева-права)
Эквивариантные отображения являются гомоморфизмами в категории G -множеств (при фиксированном G ). [7] Следовательно, они также известны как G -морфизмы . [7] G -карты , [8] или G -гомоморфизмы . [9] Изоморфизмы -множеств G представляют собой просто биективные эквивариантные отображения. [7]
Условие эквивалентности можно также понимать как следующую коммутативную диаграмму . Обратите внимание, что обозначает карту, которая принимает элемент и возвращается .
Обобщение
[ редактировать ] |
обобщить на произвольные категории Эквивариантные карты можно легко . Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом ( морфизмы в этой категории — это просто элементы G ). произвольной C представление в G в категории C является функтором из G Для C. категории функтор выбирает объект C и подгруппу автоморфизмов Такой этого объекта. Например, G -множество эквивалентно функтору из G в категорию множеств Set , а линейное представление эквивалентно функтору в категорию векторных пространств над полем Vect K .
, ρ и σ Учитывая два представления G в C , эквивариантное отображение между этими представлениями является просто естественным преобразованием ρ в σ. преобразования как морфизмы, можно сформировать категорию всех представлений G в C. Используя естественные Это всего лишь функтор категории C Г .
В качестве другого примера возьмем C = Top , категорию топологических пространств . Представление G в Top — это топологическое пространство , на котором G действует непрерывно . Тогда эквивариантное отображение — это непрерывное отображение f : X → Y между представлениями, которое коммутирует с действием G .
См. также
[ редактировать ]- Теорема Кертиса–Хедлунда–Линдона , характеристика клеточных автоматов в терминах эквивариантных отображений.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.2307/2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 . «Подобные треугольники имеют одинаково расположенные центры», с. 164.
- ^ Центроид - единственный аффинно-эквивариантный центр треугольника, но более общие выпуклые тела могут иметь другие аффинно-эквивариантные центры; см., например Нейман, Б.Х. (1939), «О некоторых аффинных инвариантах замкнутых выпуклых областей», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 14 (4): 262–272, doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.262 , MR 0000978 .
- ^ Сарл, Уоррен С. (14 сентября 1997 г.), Теория измерений: Часто задаваемые вопросы (Версия 3) (PDF) , SAS Institute Inc. Пересмотр главы в публикации Международного института статистических приложений (4-е изд.), vol. 1, 1995, Уичито: ACG Press, стр. 61–66.
- ^ Фукс, Юрген; Швайгерт, Кристоф (1997), Симметрии, алгебры Ли и представления: аспирантура для физиков , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press, Кембридж, с. 70, ISBN 0-521-56001-2 , МР 1473220 .
- ^ Сексл, Роман У.; Урбантке, Хельмут К. (2001), Относительность, группы, частицы: Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц , Springer Physics, Вена: Springer-Verlag, стр. 165, номер домена : 10.1007/978-3-7091-6234-7 , ISBN 3-211-83443-5 , МР 1798479 .
- ^ Питтс, Эндрю М. (2013), Номинальные наборы: имена и симметрия в информатике , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, vol. 57, Издательство Кембриджского университета, определение 1.2, с. 14, ISBN 9781107244689 .
- ^ Перейти обратно: а б с Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Дэвид (2014), Группы, кольца, модули , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, стр. 86–87, ISBN 9780486490823 .
- ^ Сигал, ГБ (1971), «Эквивариантная стабильная гомотопическая теория», Труды Международного конгресса математиков (Ницца, 1970), Том 2 , Готье-Виллар, Париж, стр. 59–63, МР 0423340 .
- ^ Адхикари, Махима Ранджан; Адхикари, Авишек (2014), Основная современная алгебра с приложениями , Нью-Дели: Springer, стр. 142, номер домена : 10.1007/978-81-322-1599-8 , ISBN 978-81-322-1598-1 , МР 3155599 .