Лемма Шура

Чтобы узнать о других значениях, см. лемму Шура (значения) .

В математике Шура лемма — элементарное, но чрезвычайно полезное утверждение в представлений групп теории и алгебр . В групповом случае говорится, что если M и N — два конечномерных неприводимых представления группы G и φ — линейное отображение из M в N , коммутирующее с , либо φ = действием группы, то либо φ обратимо 0. Важный частный случай имеет место, когда M = N , т. е. φ является самостоятельным карта; в частности, любой элемент центра группы должен действовать как скалярный оператор (скаляр, кратный единице на M. ) Лемма , названа в честь Иссаи Шура который использовал ее для доказательства соотношений ортогональности Шура и развития основ теории представлений конечных групп . Лемма Шура допускает обобщения на группы Ли и алгебры Ли , наиболее распространенные из которых принадлежат Жаку Диксмье и Дэниелу Квиллену .

Теория представлений групп

Теория представлений — это изучение гомоморфизмов группы G в общую линейную группу GL ( V ) векторного пространства V ; в группу автоморфизмов V т. е . . (Здесь ограничимся случаем, когда поле V равно основное $\mathbb {C}$, поле комплексных чисел .) Такой гомоморфизм называется представлением G на V . Представление на V является частным случаем группового действия на V , но вместо того, чтобы допускать любые произвольные биекции ( перестановки ) основного множества V , мы ограничиваемся обратимыми линейными преобразованиями.

Пусть ρ — представление G на V . Может случиться так, что имеет подпространство W V такое , что для каждого элемента g из G обратимое линейное отображение ρ ( g ) сохраняет или фиксирует W , так что ( ρ ( g ))( w ) находится в W для каждый w в W и ( ρ ( g ))( v ) не находится в W для любого v не из W . Другими словами, каждое линейное отображение ρ ( g ): V → V также является автоморфизмом W , определения ρ ( g ): → W , когда его область ограничена W. W Мы говорим, относительно G W стабильно или стабильно под действием G. что Ясно, что если мы рассматриваем W как векторное пространство, то существует очевидное представление G на W которое мы получаем, ограничивая каждое отображение ρ ( g ) на W. — представление , Когда W обладает этим свойством, мы называем с данным представлением подпредставлением V W . Каждое представление G имеет себя и нулевое векторное пространство как тривиальные подпредставления. Представление группы G без нетривиальных подпредставлений называется неприводимым представлением . Неприводимые представления – например , простые числа или простые группы в теории групп. – являются строительными блоками теории представлений. Многие из первоначальных вопросов и теорем теории представлений связаны со свойствами неприводимых представлений.

как нас интересуют гомоморфизмы между группами и непрерывные отображения между топологическими пространствами , нас также интересуют некоторые функции между представлениями G. Точно так же , Пусть V и W — векторные пространства, и пусть $\rho _{V}$ и $\rho _{W}$ — представления G на V и W соответственно. Затем мы определяем G -линейное отображение f из V в W как линейное отображение из V в W , эквивариантное относительно действия G ; то есть для каждого g в G , $\rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)$. Другими словами, мы требуем, чтобы f коммутировало с действием G . G линейные отображения — это морфизмы в категории представлений G. -

Лемма Шура — это теорема, описывающая, какие - линейные отображения могут существовать между двумя неприводимыми представлениями G. G

Утверждение и доказательство леммы.

Теорема (лемма Шура) : Пусть V и W — векторные пространства; и пусть $\rho _{V}$ и $\rho _{W}$ — неприводимые представления группы G на V и W соответственно.

1. Если $V$ и $W$ не изоморфны нет нетривиальных G -линейных отображений. , то между ними
2. Если $V=W$ конечномерный над алгебраически замкнутым полем (например, $\mathbb {C}$); и если $\rho _{V}=\rho _{W}$, то единственными нетривиальными G -линейными отображениями являются единица и скалярные кратные единицы. (Скалярное кратное тождества иногда называют гомотетией. )

Доказательство: предположим $f$ является ненулевым G -линейным отображением из $V$ к $W$. Мы докажем это $V$ и $W$ изоморфны. Позволять $V'$ быть ядром или нулевым пространством $f$ в $V$, подпространство всего $x$ в $V$ для чего $f(x)=0$. (Легко проверить, что это подпространство.) По предположению, что $f$ является G -линейным для любого $g$ в $G$ и выбор $x$ в $V'$, $f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0$. Но говоря это $f(\rho _{V}(g)(x))=0$ это то же самое, что сказать, что $\rho _{V}(g)(x)$ находится в нулевом пространстве $f:V\rightarrow W$. Так $V'$ устойчив под действием G ; это субпредставительство. Поскольку по предположению $V$ является неприводимым, $V'$ должно быть равно нулю; так $f$ является инъективным .

Таким же рассуждением мы покажем $f$ также сюръективен ; с $f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))$, можно заключить, что при произвольном выборе $f(x)$ в образе ​ $f$, $\rho _{W}(g)$ отправляет $f(x)$ где-то еще на изображении $f$; в частности, он отправляет его на изображение $\rho _{V}(g)x$. Итак, образ $f(x)$ это подпространство $W'$ из $W$ устойчив под действием $G$, так что это подпредставление и $f$ должно быть нулевым или сюръективным. По предположению он не равен нулю, поэтому он сюръективен и в этом случае является изоморфизмом.

В том случае, если $V=W$ конечномерны над алгебраически замкнутым полем и имеют одинаковое представление, пусть $\lambda$ быть собственным значением $f$. (Собственное значение существует для каждого линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем.) Пусть $f'=f-\lambda I$. Тогда, если $x$ является собственным вектором $f$ соответствующий $\lambda ,f'(x)=0$. Ясно, что $f'$ является G -линейным отображением, поскольку сумма или разность G -линейных отображений также является G -линейной . Затем мы возвращаемся к приведенному выше аргументу, где мы использовали тот факт, что отображение было G -линейным, чтобы заключить, что ядро ​​является подпредставлением и, следовательно, либо равно нулю, либо равно всем $V$; потому что оно не равно нулю (оно содержит $x$) это должно быть все из V и так $f'$ тривиально, поэтому $f=\lambda I$.

Следствие леммы Шура.

Важным следствием леммы Шура является наблюдение, что мы часто можем явно построить $G$-линейные отображения между представлениями путем «усреднения» действия отдельных элементов группы на некоторый фиксированный линейный оператор. В частности, при любом неприводимом представлении такие объекты будут удовлетворять предположениям леммы Шура и, следовательно, будут скалярными кратными единицы. Точнее:

Следствие . Используя те же обозначения из предыдущей теоремы, пусть $h$ — линейное отображение V в W и положим $$h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).$$Затем,

1. Если $V$ и $W$ не изоморфны , то $h_{0}=0$.
2. Если $V=W$ конечномерен , над алгебраически замкнутым полем (например $\mathbb {C}$); и если $\rho _{V}=\rho _{W}$, затем $h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n$, где n — размерность V . То есть, $h_{0}$ является гомотетией отношения $\mathrm {Tr} [h]/n$.

Доказательство: Давайте сначала покажем, что $h_{0}$ является G-линейным отображением, т. е. $\rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)$ для всех $g\in G$. Действительно, считайте, что

${\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}$

Теперь, применяя предыдущую теорему для случая 1, получаем, что $h_{0}=0$, а для случая 2 следует, что $h_{0}$ является скалярным кратным единичной матрицы (т. е. $h_{0}=\mu I$). Чтобы определить скалярное кратное $\mu$, считай, что

$\mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]$

Отсюда следует, что $\mu =\mathrm {Tr} [h]/n$.

Этот результат имеет множество приложений. Например, в контексте квантовой информатики он используется для получения результатов о сложных проективных t-проектах . В контексте теории молекулярных орбиталей он используется для ограничения атомных орбитальных взаимодействий на основе молекулярной симметрии .

Формулировка на языке модулей

Теорема: Если M и N — два простых модуля над кольцом R , то любой гомоморфизм f : M → N модулей R - либо обратим, либо равен нулю. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом .

Условие того, что f является гомоморфизмом модулей, означает, что

$f(rm)=rf(m){\text{ for all }}m\in M{\text{ and }}r\in R.$

Доказательство: достаточно показать, что $f$ либо ноль, либо сюръективно и инъективно. Сначала мы покажем, что оба $\ker(f)$ и $\operatorname {im} (f)$ являются $R$-модули. Если $m\in \ker(f),r\in R$ у нас есть $f(rm)=rf(m)=0$, следовательно $rm\in \ker(f)$. Аналогично, если $n=f(m)\in \operatorname {im} (f)$, затем $rn=rf(m)=f(rm)\in \operatorname {im} (f)$ для всех $r\in R$. Теперь, поскольку $\ker(f)\subseteq M$ и $\operatorname {im} (f)\subseteq N$ являются подмодулями простых модулей, они либо тривиальны, либо равны $M,N$, соответственно. Если $f\neq 0$, его ядро ​​не может равняться $M$ и, следовательно, должно быть тривиальным (следовательно, $f$ инъективен), и его образ не может быть тривиальным и поэтому должен быть равен $N$ (следовательно $f$ является сюръективным). Затем $f$ является биективным и, следовательно, изоморфизмом. Следовательно, каждый гомоморфизм $M\to N$ либо равно нулю, либо обратимо, что делает $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ в разделительное кольцо.

группы G можно эквивалентно рассматривать как модуль над групповым кольцом G Групповая версия является частным случаем модульной версии, поскольку любое представление .

Лемма Шура часто применяется в следующем частном случае. Предположим, что R — алгебра над полем k и векторное пространство M = N — простой модуль R . Тогда лемма Шура утверждает, что кольцо эндоморфизмов модуля M является телом над k . Если M конечномерна, то это тело конечномерно. Если k — поле комплексных чисел, единственный вариант — это то, что это алгебра с делением — это комплексные числа. Таким образом, кольцо эндоморфизмов модуля M «наиболее мало». Другими словами, единственные линейные преобразования M , которые коммутируют со всеми преобразованиями, исходящими из R, являются скалярными кратными единицы.

В более общем смысле, если $R$ является алгеброй над алгебраически замкнутым полем $k$ и $M$ это простой $R$-модуль удовлетворяющий $\dim _{k}(M)<\#k$ (мощность $k$), затем $\operatorname {End} _{R}(M)=k$. Так, в частности, если $R$ — алгебра над несчетным алгебраически замкнутым полем $k$ и $M$ — простой модуль, не более чем счетномерный, единственные линейные преобразования $M$ которые коммутируют со всеми преобразованиями, исходящими от $R$ являются скалярными кратными единицы.

Когда поле не является алгебраически замкнутым, особый интерес по-прежнему представляет случай, когда кольцо эндоморфизмов минимально возможно. Простой модуль над $k$-алгебра называется абсолютно простой, ее кольцо эндоморфизмов изоморфно если $k$. Это, вообще говоря, сильнее, чем неприводимость над полем. $k$и означает, что модуль неприводим даже над алгебраическим замыканием $k$.

Применение к центральным персонажам

Определение: Пусть $R$ быть $k$-алгебра. Ан $R$-модуль $M$ Говорят, что он имеет центральный характер $\chi :Z(R)\to k$ (здесь, $Z(R)$ является центром ​ $R$), если для каждого $m\in M,z\in Z(R)$ есть $n\in \mathbb {N}$ такой, что $(z-\chi (z))^{n}m=0$, то есть если каждый $m\in M$ является обобщенным собственным вектором $z$ с собственным значением $\chi (z)$.

Если $\operatorname {End} _{R}(M)=k$, скажем, в случае, описанном выше, каждый элемент $Z(R)$ действует на $M$ как $R$-эндоморфизм и, следовательно, как скаляр. Таким образом, существует кольцевой гомоморфизм $\chi :Z(R)\to k$ такой, что $(z-\chi (z))m=0$ для всех $z\in Z(R),m\in M$. В частности, $M$ имеет центральный характер $\chi$.

Если $R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C}$ является универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли, центральный характер также называется бесконечно малым характером , и предыдущие соображения показывают, что если ${\mathfrak {g}}$ конечномерен (так что $R=U({\mathfrak {g}})$ счетномерна), то любое простое ${\mathfrak {g}}$-модуль имеет бесконечно малый характер.

В случае, когда $k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]$ является групповой алгеброй конечной группы $G$, следует тот же вывод. Здесь центр г. $R$ состоит из элементов формы $\sum _{g\in G}a(g)g$ где $a:G\to \mathbb {C}$ является функцией класса , т.е. инвариантной относительно сопряжения. Поскольку набор функций класса состоит из символов $\chi _{\pi }$ неприводимых представлений $\pi \in {\hat {G}}$, центральный персонаж определяется тем, что он отображает $u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g$ чтобы (для всех $\pi \in {\hat {G}}$). Поскольку все $u_{\pi }$ идемпотентны, каждый из них отображается либо в 0, либо в 1, и поскольку $u_{\pi }u_{\pi '}=0$ для двух разных неприводимых представлений только одно $u_{\pi }$ может быть сопоставлен с 1: тот, который соответствует модулю $M$.

Представления групп Ли и алгебр Ли

Опишем теперь лемму Шура в том виде, в каком она обычно формулируется в контексте представлений групп Ли и алгебр Ли . Результат состоит из трех частей.

Во-первых, предположим, что $V_{1}$ и $V_{2}$ являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над любым полем и что $\phi :V_{1}\rightarrow V_{2}$ это переплетающаяся карта . Затем $\phi$ либо ноль, либо изоморфизм.

Во-вторых, если $V$ является неприводимым представлением группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и $\phi :V\rightarrow V$ является переплетающейся картой, то $\phi$ является скалярным кратным карты идентичности.

В-третьих, предположим $V_{1}$ и $V_{2}$ являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и $\phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}$ являются ненулевыми переплетающимися отображениями . Затем $\phi _{1}=\lambda \phi _{2}$ для некоторого скаляра $\lambda$.

Простое следствие второго утверждения состоит в том, что любое комплексное неприводимое представление абелевой группы одномерно.

Приложение к элементу Казимира

Предполагать ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли и $U({\mathfrak {g}})$ — универсальная обертывающая алгебра ${\mathfrak {g}}$. Позволять $\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)$ быть неприводимым представлением ${\mathfrak {g}}$ над алгебраически замкнутым полем. Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что $\pi$ распространяется на представление $U({\mathfrak {g}})$ действующие в одном и том же векторном пространстве. Из второй части леммы Шура следует, что если $x$ принадлежит центру г. $U({\mathfrak {g}})$, затем $\pi (x)$ должно быть кратно идентификационному оператору. В случае, когда ${\mathfrak {g}}$ — комплексная полупростая алгебра Ли , важным примером предыдущей конструкции является тот, в котором $x$ - (квадратичный) элемент Казимира $C$. В этом случае, $\pi (C)=\lambda _{\pi }I$, где $\lambda _{\pi }$ — константа, которую можно явно вычислить через старший вес $\pi$. Действие элемента Казимира играет важную роль в доказательстве полной сводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.

Обобщение на непростые модули

Одномодульная версия леммы Шура допускает обобщения, включающие модули M , которые не обязательно являются простыми. Они выражают связи между теоретико-модульными свойствами M и свойствами эндоморфизмов кольца M .

Модуль называется сильно неразложимым , если его кольцо эндоморфизмов является локальным . Для важного класса модулей конечной длины следующие свойства эквивалентны ( Lam 2001 , §19):

• Модуль М неразложим ​ ;
• M сильно неразложимо;
• Любой эндоморфизм M либо нильпотентен, либо обратим.

В общем случае лемму Шура нельзя перевернуть: существуют модули, которые не являются простыми, но их алгебра эндоморфизмов является телом . Такие модули обязательно неразложимы и поэтому не могут существовать над полупростыми кольцами, такими как комплексное групповое кольцо конечной группы . Однако даже над кольцом целых чисел модуль рациональных чисел имеет кольцо эндоморфизмов, которое является телом, а именно полем рациональных чисел. Даже для групповых колец имеются примеры, когда характеристика поля делит порядок группы: радикал Джекобсона проективного накрытия одномерного представления знакопеременной группы A ₅ над конечным полем с тремя элементами F ₃ имеет F ₃ как кольцо его эндоморфизмов.

См. также

• дополнение Шура
• Лемма Квиллена

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. 337. ИСБН  0-471-36857-1 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-95325-0 .
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп . Нью-Йорк. стр. 235–248. дои : 10.1007/978-1-4614-1231-1_8 . ISBN  9781461412311 . OCLC   769756134 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Штерн, А.И.; Ломоносов, В.И. (2001) [1994], «Лемма Шура» , Энциклопедия Математики , EMS Press