Абсолютная неприводимость

В математике определенный многомерный многочлен, над рациональными числами, является абсолютно неприводимым, если он неприводим над комплексным полем . ^[1]^[2]^[3] Например, $x^{2}+y^{2}-1$ абсолютно неприводима, но хотя $x^{2}+y^{2}$ неприводим по целым и действительным числам, он приводим по комплексным числам как $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ и, следовательно, не является абсолютно нередуцируемым.

В более общем смысле, многочлен, определенный над полем K, является абсолютно неприводимым, если он неприводим над каждым алгебраическим расширением поля K , ^[4]и аффинное алгебраическое множество , определенное уравнениями с коэффициентами в поле K, если оно не является объединением двух алгебраических множеств, определенных уравнениями в алгебраически замкнутом расширении поля K. является абсолютно неприводимым , Другими словами, абсолютно неприводимое алгебраическое множество есть синоним алгебраического многообразия , ^[5] что подчеркивает, что коэффициенты определяющих уравнений не могут принадлежать алгебраически замкнутому полю.

С тем же смыслом термин «Абсолютно неприводимый» применяется и к линейным представлениям алгебраических групп .

Во всех случаях быть абсолютно неприводимым — это то же самое, что быть неприводимым над алгебраическим замыканием основного поля.

Примеры [ править ]

Одномерный многочлен степени больше или равной 2 никогда не является абсолютно неприводимым в соответствии с фундаментальной теоремой алгебры .
Неприводимое двумерное представление симметрической группы S3 _{порядка 6} , первоначально определенное над полем рациональных чисел , абсолютно неприводимо.
Представление группы кругов вращениями на плоскости неприводимо (над полем действительных чисел), но не является абсолютно неприводимым. После расширения поля до комплексных чисел оно распадается на две неприводимые компоненты. Этого и следовало ожидать, поскольку группа окружностей коммутативна и известно, что все неприводимые представления коммутативных групп над алгебраически замкнутым полем одномерны.
Вещественное алгебраическое многообразие, определяемое уравнением

x^{2}+y^{2}=1

абсолютно нередуцируема. ^[3]Это обычный круг над вещественными числами, остающийся неприводимым коническим сечением над полем комплексных чисел. В более общем смысле абсолютная неприводимость справедлива для любого поля, кроме характеристики два. Во второй характеристике уравнение эквивалентно ( x + y −1) ² = 0. Следовательно, он определяет двойную прямую x + y =1, которая является неприведенной схемой .

Алгебраическое многообразие, заданное уравнением

x^{2}+y^{2}=0

не является абсолютно неприводимым. Действительно, левую часть можно представить как

x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),

где

i

является квадратным корнем из −1.

Следовательно, это алгебраическое многообразие состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат, и не является абсолютно неприводимым. Это справедливо либо уже для основного поля, если −1 является квадратом, либо для квадратичного расширения, полученного присоединением i .

Ссылки [ править ]

^ Боревич З.И.; Шафаревич И.Р. (1986), Теория чисел , Чистая и прикладная математика, вып. 20, Академик Пресс, с. 10, ISBN 9780080873329 .
^ Грабмайер, Йоханнес; Кальтофен, Эрих; Вайспфеннинг, Волкер (2003), Справочник по компьютерной алгебре: основы, приложения, системы , Springer, стр. 26, ISBN 9783540654667 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Такер, Аллен Б. (2004), Справочник по информатике (2-е изд.), CRC Press, стр. 8–17–8–18, ISBN 9780203494455 .
^ Степанов, Сергей А. (1994), Арифметика алгебраических кривых , Монографии по современной математике, Springer, с. 53, ISBN 9780306110368 .
^ Нидеррайтер, Харальд ; Син, Чаопин (2009), Алгебраическая геометрия в теории кодирования и криптографии , Princeton University Press, стр. 47, ISBN 9781400831302 .

[1] Боревич З.И.; Шафаревич И.Р. (1986), Теория чисел , Чистая и прикладная математика, вып. 20, Академик Пресс, с. 10, ISBN 9780080873329 .

[2] Грабмайер, Йоханнес; Кальтофен, Эрих; Вайспфеннинг, Волкер (2003), Справочник по компьютерной алгебре: основы, приложения, системы , Springer, стр. 26, ISBN 9783540654667 .

[tucker-3] Перейти обратно: ^а ^б Такер, Аллен Б. (2004), Справочник по информатике (2-е изд.), CRC Press, стр. 8–17–8–18, ISBN 9780203494455 .

[4] Степанов, Сергей А. (1994), Арифметика алгебраических кривых , Монографии по современной математике, Springer, с. 53, ISBN 9780306110368 .

[5] Нидеррайтер, Харальд ; Син, Чаопин (2009), Алгебраическая геометрия в теории кодирования и криптографии , Princeton University Press, стр. 47, ISBN 9781400831302 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]