Абсолютная неприводимость

В математике определенный многомерный многочлен, над рациональными числами, является абсолютно неприводимым, если он неприводим над комплексным полем . Например, $x^{2}+y^{2}-1$ абсолютно неприводима, но хотя $x^{2}+y^{2}$ неприводим по целым и действительным числам, он приводим по комплексным числам как $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ и, следовательно, не является абсолютно нередуцируемым.

В более общем смысле, многочлен, определенный над полем K, является абсолютно неприводимым, если он неприводим над каждым алгебраическим расширением поля K , и аффинное алгебраическое множество , определенное уравнениями с коэффициентами в поле K, если оно не является объединением двух алгебраических множеств, определенных уравнениями в алгебраически замкнутом расширении поля K. является абсолютно неприводимым , Другими словами, абсолютно неприводимое алгебраическое множество является синонимом алгебраического многообразия , что подчеркивает, что коэффициенты определяющих уравнений не могут принадлежать алгебраически замкнутому полю.

С тем же смыслом термин «Абсолютно неприводимый» применяется и к линейным представлениям алгебраических групп .

Во всех случаях быть абсолютно неприводимым — это то же самое, что быть неприводимым над алгебраическим замыканием основного поля.

Примеры

• Одномерный многочлен степени больше или равной 2 никогда не является абсолютно неприводимым в соответствии с фундаментальной теоремой алгебры .
• Неприводимое двумерное представление симметрической группы S3 _. порядка 6, первоначально определенное над полем рациональных чисел , абсолютно неприводимо
• Представление группы кругов вращениями на плоскости неприводимо (над полем действительных чисел), но не является абсолютно неприводимым. После расширения поля до комплексных чисел оно распадается на две неприводимые компоненты. Этого и следовало ожидать, поскольку группа окружностей коммутативна и известно, что все неприводимые представления коммутативных групп над алгебраически замкнутым полем одномерны.
• Вещественное алгебраическое многообразие, определяемое уравнением

$x^{2}+y^{2}=1$

абсолютно нередуцируема. Это обычный круг над вещественными числами, остающийся неприводимым коническим сечением над полем комплексных чисел. В более общем смысле абсолютная неприводимость справедлива для любого поля, кроме характеристики два. Во второй характеристике уравнение эквивалентно ( x + y −1) ² = 0. Следовательно, он определяет двойную прямую x + y =1, которая является неприведенной схемой .

• Алгебраическое многообразие, заданное уравнением

$x^{2}+y^{2}=0$

не является абсолютно неприводимым. Действительно, левую часть можно представить как

$x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),$ где $i$ является квадратным корнем из −1.

Следовательно, это алгебраическое многообразие состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат, и не является абсолютно неприводимым. Это справедливо либо уже для основного поля, если −1 является квадратом, либо для квадратичного расширения, полученного присоединением i .