Функция идентификации
В математике тождественная функция , также называемая тождественным отношением , тождественной картой или тождественным преобразованием , — это функция , которая всегда возвращает неизменным значение, которое использовалось в качестве ее аргумента . То есть, когда f является тождественной функцией, равенство f ( x ) = x верно для всех значений x , к которым f может быть применено .
Определение [ править ]
Формально, если X — множество , тождественная функция f на X определяется как функция с X в качестве области определения и кодомена , удовлетворяющая условиям
Другими словами, значение функции f ( x ) в кодомене X всегда совпадает со входным элементом x в домене X . Функция идентичности на X , очевидно, является инъективной функцией , а также сюръективной функцией (ее кодомен также является ее областью значений ), поэтому она биективна . [2]
Тождественная функция f на X часто обозначается id X .
В теории множеств функция определяется как особый вид бинарного отношения тождественная функция задается тождественным отношением или диагональю X. , , где [3]
Алгебраические свойства [ править ]
Если f : X → Y — любая функция, то f ∘ id X = f = id Y ∘ f , где «∘» обозначает композицию функции . [4] В частности, id X является элементом моноида единичным всех функций от X до X (при композиции функций).
Поскольку единичный элемент моноида уникален , [5] альтернативно можно определить тождественную функцию на M как этот тождественный элемент. Такое определение обобщает концепцию тождественного морфизма в теории категорий , где эндоморфизмы M . не обязательно должны быть функциями
Свойства [ править ]
- Функция тождества является линейным оператором при применении к векторным пространствам . [6]
- В n - мерном векторном пространстве тождественная функция представлена единичной матрицей I n независимо от базиса . выбранного для этого пространства [7]
- Функция тождества натуральных чисел — это полностью мультипликативная функция (по сути, умножение на 1), рассматриваемая в теории чисел . [8]
- В метрическом пространстве тождественная функция тривиально является изометрией . Объект без какой-либо симметрии имеет в качестве группы симметрии тривиальную группу, содержащую только эту изометрию (тип симметрии C 1 ). [9]
- В топологическом пространстве тождественная функция всегда непрерывна . [10]
- Тождественная функция идемпотентна . [11]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Кнапп, Энтони В. (2006), Основная алгебра , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
- ^ Мапа, Садхан Кумар (7 апреля 2014 г.). Абстрактная и линейная высшая алгебра (11-е изд.). Книжный дом Сарат. п. 36. ISBN 978-93-80663-24-1 .
- ^ Труды симпозиумов по чистой математике . Американское математическое общество. 1974. с. 92. ИСБН 978-0-8218-1425-3 .
...тогда диагональный набор, определяемый M, является тождественным отношением...
- ^ Нел, Луи (2016). Теория непрерывности . п. 21. дои : 10.1007/ 978-3-319-31159-3 ISBN 978-3-319-31159-3 .
- ^ Росалес, JC; Гарсия-Санчес, Пенсильвания (1999). Конечно порожденные коммутативные моноиды . Издательство Нова. п. 1. ISBN 978-1-56072-670-8 .
Элемент 0 обычно называют идентификационным элементом, и если он существует, он уникален.
- ^ Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
- ^ ТС Шорс (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. ISBN 978-038-733-195-9 .
- ^ Д. Маршалл; Э. Оделл; М. Старберд (2007). Теория чисел посредством исследования . Учебники Математической ассоциации Америки. Математический Ассн. амер. ISBN 978-0883857519 .
- ^ Джеймс В. Андерсон , Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
- ^ Коновер, Роберт А. (21 мая 2014 г.). Первый курс топологии: введение в математическое мышление . Курьерская корпорация. п. 65. ИСБН 978-0-486-78001-6 .
- ^ Конференции, Лето инженерного дела Мичиганского университета (1968). Основы инженерии информационных систем .
мы видим, что единичный элемент полугруппы идемпотентен.