Диапазон функции

$f$ является функцией из области X в область Y. значений Желтый овал внутри Y это изображение — $f$ . Иногда «диапазон» относится к изображению, а иногда к кодомену.

В математике диапазон функции может относиться к любому из двух тесно связанных понятий:

кодомен функции или
образ функции .

В некоторых случаях кодомен и образ функции представляют собой один и тот же набор; такая функция называется сюръективной или на . Для любой несюръективной функции $f:X\to Y,$ кодомен $Y$ и изображение ${\tilde {Y}}$ разные; однако новая функция может быть определена с изображением исходной функции в качестве кодомена, ${\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}$ где ${\tilde {f}}(x)=f(x).$ Эта новая функция сюръективна.

Определения [ править ]

Учитывая два набора $X$ и $Y$ , бинарное отношение $f$ между $X$ и $Y$ является функцией (от $X$ до $Y$ ), если для каждого элемента $x$ в $X$ существует ровно один $y$ в $Y$ такой, что $f$ связывает $x$ с $y$ . Множества $X$ и $Y$ называются областью определения и областью определения соответственно $f$ . Образ , функции $f$ — это подмножество Y $Y$ состоящее только из тех элементов $y$ из $,$ есть хотя бы один $x$ что в $X$ с $f (x) = y$ .

Использование [ править ]

Поскольку термин «диапазон» может иметь разные значения, считается хорошей практикой давать его определение при первом использовании в учебнике или статье. В старых книгах, когда используется слово «диапазон», они имеют тенденцию использовать его для обозначения того, что сейчас называется кодоменом . ^[1] Более современные книги, если они вообще используют слово «диапазон», обычно используют его для обозначения того, что сейчас называется изображением . ^[2] Во избежание путаницы в ряде современных книг слово «диапазон» вообще не используется. ^[3]

Разработка и пример [ править ]

Дана функция

f\colon X\to Y

с доменом $X$ , диапазон $f$ , иногда обозначаемый $\operatorname {ran} (f)$ или $\operatorname {Range} (f)$ , ^[4] может относиться к кодомену или целевому набору $Y$ (т. е. набор, в который входят все выходные данные $f$ вынужден падать) или $f(X)$ , образ области $f$ под $f$ (т.е. подмножество $Y$ состоящий из всех фактических результатов $f$ ). Образ функции всегда является подмножеством кодомена функции. ^[5]

В качестве примера двух различных вариантов использования рассмотрим функцию $f(x)=x^{2}$ поскольку он используется в реальном анализе (то есть как функция, которая вводит действительное число и выводит его квадрат). В этом случае его кодоменом является набор действительных чисел. $\mathbb {R}$ , но его изображением является набор неотрицательных действительных чисел $\mathbb {R} ^{+}$ , с $x^{2}$ никогда не бывает отрицательным, если $x$ реально. Если для этой функции мы используем «диапазон» для обозначения кодомена , это относится к $\mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}}$ ; если мы используем «диапазон» для обозначения изображения , это относится к $\mathbb {R} ^{+}$ .

Для некоторых функций изображение и кодомен совпадают; эти функции называются сюръективными или на . Например, рассмотрим функцию $f(x)=2x,$ который вводит действительное число и выводит его двойное значение. Для этой функции и кодомен, и изображение представляют собой набор всех действительных чисел, поэтому диапазон слов однозначен.

Даже в тех случаях, когда образ и кодомен функции различны, новая функция может быть однозначно определена с ее кодоменом как образом исходной функции. Например, как функция преобразования целых чисел в целые числа, функция удвоения $f(n)=2n$ не является сюръективным, поскольку только четные целые числа частью изображения являются . Однако новая функция ${\tilde {f}}(n)=2n$ областью определения которого являются целые числа, а кодоменом которого являются четные целые числа, является сюръективным. Для ${\tilde {f}},$ слов диапазон однозначен.

См. также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

^ Хангерфорд 1974 , с. 3; Чайлдс 2009 , с. 140.
^ Даммит и Фут 2004 , с. 2.
^ Рудин 1991 , с. 99.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Диапазон» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
^ Никамп, Дуэйн. «Определение диапазона» . Математическое понимание . Проверено 28 августа 2020 г.

Библиография [ править ]

Чайлдс, Линдси Н. (2009). Чайлдс, Линдси Н. (ред.). Конкретное введение в высшую алгебру . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-74725-5 . ISBN 978-0-387-74527-5 . OCLC 173498962 .
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7 . OCLC 52559229 .
Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том. 73. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-6101-8 . ISBN 0-387-90518-9 . OCLC 703268 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 0-07-054236-8 .

[FOOTNOTEHungerford19743Childs2009140-1] Хангерфорд 1974 , с. 3; Чайлдс 2009 , с. 140.

[FOOTNOTEDummitFoote20042-2] Даммит и Фут 2004 , с. 2.

[FOOTNOTERudin199199-3] Рудин 1991 , с. 99.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Диапазон» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.

[5] Никамп, Дуэйн. «Определение диапазона» . Математическое понимание . Проверено 28 августа 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]