Диапазон (статистика)

Не путать со средним уровнем .

Чтобы узнать о других значениях, см. Диапазон (значения) § Математика .

В описательной статистике диапазон интервала набора данных — это размер самого узкого , который содержит все данные.Он рассчитывается как разница между наибольшим и наименьшим значениями, результат вычитания выборочного максимума и минимума . Он выражается в тех же единицах , что и данные. Этот диапазон указывает на статистическую дисперсию . Поскольку он зависит только от двух наблюдений, он наиболее полезен для представления дисперсии небольших наборов данных.

Для непрерывных случайных величин IID

Для n независимых и одинаково распределенных непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G( x ) и функцией плотности вероятности g( x ), пусть T обозначает диапазон их значений, то есть , T= max( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )-min( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ).

Распространение

Диапазон T имеет кумулятивную функцию распределения.

$F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}\,{\text{d}}x.$

Гамбель отмечает, что «красота этой формулы полностью омрачена тем фактом, что, вообще говоря, мы не можем выразить G ( x + t ) через G ( x ), и что численное интегрирование является длительным и утомительным».

Если распределение каждого X _i ограничено справа (или слева), то асимптотическое распределение диапазона равно асимптотическому распределению наибольшего (наименьшего) значения. Для более общих распределений асимптотическое распределение можно выразить как функцию Бесселя .

Моменты

Средний диапазон определяется выражением

$n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G$

где x ( G ) — обратная функция. В случае, когда каждый из X _i имеет стандартное нормальное распределение , средний диапазон определяется выражением

$\int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.$

Для непрерывных случайных величин, не относящихся к IID

Для n неидентично распределенных независимых непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивными функциями распределения G ₁ ( x ), G ₂ ( x ), ..., G _n ( x ) и функциями плотности вероятности g ₁ ( x ), g ₂ ( x ), ..., g _n ( x ), диапазон имеет кумулятивную функцию распределения

$F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j}(x)]\,{\text{d}}x.$

Для дискретных случайных величин IID

Для n независимых и одинаково распределенных дискретных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G ( x ) и функцией массы вероятности g ( x ) диапазон X _i представляет собой диапазон выборки размер n из популяции с функцией распределения G ( x ). мы можем предположить Без ограничения общности , что носитель каждого X _i равен {1,2,3,..., N }, где N — целое положительное число или бесконечность.

Распространение

Диапазон имеет функцию массы вероятности

$f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}$

Пример

Если мы предположим, что g ( x ) = 1/ N , дискретное равномерное распределение для всех x , то мы найдем

$f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}$

Вывод

Вероятность наличия определенного значения диапазона t может быть определена путем сложения вероятностей наличия двух выборок, отличающихся на t , и каждой другой выборки, имеющей значение между двумя крайними значениями.Вероятность того, что одна выборка будет иметь значение x, равна $ng(x)$. Вероятность того, что другое значение t будет больше x, равна:

$(n-1)g(x+t).$

Вероятность всех других значений, лежащих между этими двумя крайностями, равна:

$\left(\int _{x}^{x+t}g(x)\,{\text{d}}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.$

Объединение трех вместе дает:

$f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)[G(x+t)-G(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x$

Сопутствующие количества

Диапазон представляет собой конкретный пример статистики заказов . В частности, диапазон является линейной функцией статистики порядка, что подводит его к области L-оценки .

См. также

• Междецильный диапазон
• Межквартильный размах
• Студенческий диапазон