Тест тренда Джонкхира

В статистике Джонкхира тест тренда (иногда называемый Джонкхир-Терпстра test ) — проверка упорядоченной альтернативной гипотезы в рамках дизайна независимых выборок (между участниками). Он похож на тест Крускала-Уоллиса тем, что нулевая гипотеза заключается в том, что несколько независимых выборок относятся к одной и той же совокупности. Однако с помощью критерия Краскала-Уоллиса нет априорного упорядочения популяций, из которых отбираются выборки. При наличии априорного порядка критерий Джонкира имеет большую статистическую мощность , чем критерий Краскела-Уоллиса. Тест был разработан Эймаблем Робертом Джонкхиром , психологом и статистиком в Университетском колледже Лондона .

Нулевую и альтернативную гипотезы удобно выражать через медианы популяции для k популяций (где k > 2). Полагая, что θ _i популяции — медиана для i -й популяции, нулевая гипотеза такова:

$H_{0}:\theta _{1}=\theta _{2}=\cdots =\theta _{k}$

Альтернативная гипотеза состоит в том, что медианы популяции имеют априорный порядок, например:

$H_{A}:\theta _{1}$ ≤ $\theta _{2}$ ≤ $\cdots$ ≤ $\theta _{k}$

хотя бы с одним строгим неравенством.

Процедура

Этот тест можно рассматривать как частный случай Мориса Кендалла . более общего метода ранговой корреляции и использует S- статистику Кендалла. Это можно вычислить одним из двух способов:

Метод «прямого подсчета»

1. Расположите образцы в предсказанном порядке
2. По очереди для каждого балла подсчитайте, сколько баллов в образцах справа больше, чем рассматриваемый балл. Это П. ​
3. По очереди для каждого балла подсчитайте, сколько баллов в примерах справа меньше рассматриваемого балла. Это Кью .
4. С = П – Q

«Морской» метод

1. Поместите данные в упорядоченную таблицу сопряженности , в которой уровни независимой переменной увеличиваются слева направо, а значения зависимой переменной увеличиваются сверху вниз.
2. Для каждой записи в таблице подсчитайте все остальные записи, расположенные к юго-востоку от конкретной записи. Это П. ​
3. Для каждой записи в таблице подсчитайте все остальные записи, расположенные к юго-западу от конкретной записи. Это Кью .
4. С = П – Q

Обратите внимание, что связи в независимой переменной всегда будут (отдельные лица «связаны» в том смысле, что они находятся в одной группе), но связи в зависимой переменной могут быть, а могут и не быть. Если связей нет – или связи возникают в пределах конкретной выборки (что не влияет на значение статистики теста) – точные таблицы S доступны ; например, Джонкхир предоставил избранные таблицы для значений k от 3 до 6 и равных размеров выборок ( m ) от 2 до 5. Лич представил критические значения S для k = 3 с размерами выборок от 2,2,1 до 5,5,5.

Нормальное приближение к S

Стандартное нормальное распределение можно использовать для аппроксимации распределения S при нулевой гипотезе в случаях, когда точные таблицы недоступны. Среднее значение распределения S всегда будет равно нулю, и если предположить, что между значениями в двух (или более) разных выборках нет связей, дисперсия определяется выражением

$\operatorname {VAR} (S)={\frac {2(n^{3}-\sum t_{i}^{3})+3(n^{2}-\sum t_{i}^{2})}{18}}$

Где n — общее количество баллов, а t _i — количество баллов в i-й выборке. Приближение к стандартному нормальному распределению можно улучшить, используя поправку на непрерывность: S _c = | С | – 1. Таким образом, 1 вычитается из положительного значения S и 1 добавляется к отрицательному S. значению Эквивалент z-оценки тогда определяется выражением

$z={\frac {S_{c}}{\sqrt {\operatorname {VAR} (S)}}}$

Галстуки

Если баллы связаны между значениями в двух (или более) разных выборках, точных таблиц для распределения S не существует и необходимо использовать приближение к нормальному распределению. В этом случае к значению S не применяется поправка на непрерывность , а дисперсия определяется выражением

${\begin{aligned}\operatorname {VAR} (S)=&{\frac {2\left(n^{3}-\sum t_{i}^{3}-\sum u_{i}^{3}\right)+3\left(n^{2}-\sum t_{i}^{2}-\sum u_{i}^{2}\right)+5n}{18}}\\&{}+{\frac {\left(\sum t_{i}^{3}-3\sum t_{i}^{2}+2n\right)\left(\sum u_{i}^{3}-3\sum u_{i}^{2}+2n\right)}{9n(n-1)(n-2)}}\\&{}+{\frac {\left(\sum t_{i}^{2}-n\right)\left(\sum u_{i}^{2}-n\right)}{2n(n-1)}}\end{aligned}}$

где t _i — предельный итог строки, а u _{i —} предельный итог столбца в таблице непредвиденных обстоятельств. Эквивалент z -оценки тогда определяется выражением

$z={\frac {S}{\sqrt {\operatorname {VAR} (S)}}}$

Числовой пример

В частичном повторении исследования Лофтуса и Палмера участники были случайным образом распределены в одну из трех групп, а затем им показали фильм, в котором две машины врезаются друг в друга. После просмотра фильма участникам одной группы был задан следующий вопрос: «Как быстро ехали машины в момент контакта друг с другом?» Участников второй группы спросили: «Как быстро ехали машины, когда они столкнулись друг с другом?» Участников третьей группы спросили: «Как быстро ехали машины, когда они врезались друг в друга?» Лофтус и Палмер предсказали, что используемый глагол действия (контактировал, ударился, разбил) повлияет на оценку скорости в милях в час (миль в час), так что глаголы действия, подразумевающие большую энергию, приведут к более высоким расчетным скоростям. Были получены следующие результаты (моделированные данные):

	Связались	Наткнулся	разбитый
Результаты	10	12	20
	12	18	25
	14	20	27
	16	22	30
медиана	13	19	26

Метод «прямого подсчета»

• Образцы уже расположены в предсказанном порядке
• Для каждого балла по очереди подсчитайте, сколько баллов в выборках справа больше, чем рассматриваемый балл, чтобы получить P :

Р = 8 + 7 + 7 + 7 + 4 + 4 + 3 + 3 = 43

• По очереди для каждого балла подсчитайте, сколько баллов в выборках справа меньше рассматриваемого балла, чтобы получить Q :

Q = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3

• С = П – К = 43 – 3
• С = 40

«Морской» метод

• Преобразуйте данные в упорядоченную таблицу непредвиденных обстоятельств.

миль в час	Связались	Наткнулся	разбитый	Итоги т я
10	1	0	0	1
12	1	1	0	2
14	1	0	0	1
16	1	0	0	1
18	0	1	0	1
20	0	1	1	2
22	0	1	0	1
25	0	0	1	1
27	0	0	1	1
30	0	0	1	1
Итоги у я	4	4	4	12

• Для каждой записи в таблице подсчитайте все остальные записи, расположенные к юго-востоку от конкретной записи. Это П :

P = (1 × 8) + (1 × 7) + (1 × 7) + (1 × 7) + (1 × 4) + (1 × 4) + (1 × 3) + ( 1 × 3) = 43

• Для каждой записи в таблице подсчитайте все остальные записи, расположенные к «юго-западу» конкретной записи. Это К :

Q = (1 × 2) + (1 × 1) = 3

• С = П - Q = 43 - 3
• С = 40

Использование точных таблиц

Когда связей между выборками мало (как в этом примере), Лич предположил, что игнорирование связей и использование точных таблиц обеспечит достаточно точный результат. Джонкхир предложил разорвать связи с альтернативной гипотезой и затем использовать точные таблицы. В текущем примере, где одинаковые оценки появляются только в соседних группах, значение S не меняется, если связи разрываются вопреки альтернативной гипотезе. Это можно проверить, заменив 11 миль в час вместо 12 миль в час в выборке Bumped и 19 миль в час вместо 20 миль в час в выборке Smashed и повторно вычислив статистику теста. Из таблиц с k = 3 и m = 4 критическое значение S для α = 0,05 равно 36, и, таким образом, результат будет объявлен статистически значимым на этом уровне.

Вычисление стандартного нормального приближения

Как $n=12$, $n^{2}=144$, и $n^{3}=1728$, и

$\sum t_{i}^{2}=16,$

$\sum t_{i}^{3}=24,$

$\sum u_{i}^{2}=48,$

$\sum u_{i}^{3}=192,$

тогда дисперсия S равна

${\begin{aligned}\operatorname {VAR} (S)=&{\frac {2(1728-24-192)+3(144-16-48)+60}{18}}\\&+{\frac {(24-48+24)(192-144+24)}{9\times 12\times 11\times 10}}\\&+{\frac {(16-12)(48-12)}{2\times 12\times 11}}\\&=185.212\end{aligned}}$

И z определяется выражением

$z={\frac {S}{\sqrt {\operatorname {VAR} (S)}}}={\frac {40}{\sqrt {185.212}}}=2.939$

Для α = 0,05 (одностороннее) критическое значение z составляет 1,645, поэтому результат снова будет объявлен значимым на этом уровне. Подобный тест на тенденцию в контексте повторяющихся измерений (внутри участников) и на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена был разработан Пейджем .

Дальнейшее чтение

• Дэниел, Уэйн В. (1990). «Тест Джонкхира – Терпстра для упорядоченных альтернатив» . Прикладная непараметрическая статистика (2-е изд.). Бостон: PWS-Кент. стр. 234–240. ISBN  0-534-91976-6 .