Контрагармоническое среднее

В математике контргармоническое среднее — это функция, дополнительная к гармоническому среднему . Контрагармоническое среднее является частным случаем Лемера среднего . $L_{p}$, где р = 2.

Определение

Среднее контргармоническое набора положительных чисел определяется как среднее арифметическое квадратов чисел, деленное на среднее арифметическое чисел: $${\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \over n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \over {1 \over n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}$$

Характеристики

Легко показать, что это удовлетворяет характерным свойствам среднего значения некоторого списка значений. ${\textstyle \mathbf {x} }$:

• $$\min \left(\mathbf {x} \right)\leq \operatorname {C} \left(\mathbf {x} \right)\leq \max \left(\mathbf {x} \right)$$
• $$\operatorname {C} \left(t\cdot \mathbf {x} _{1},t\cdot \mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,t\cdot \mathbf {x} _{n}\right)=t\cdot C\left(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {x} _{n}\right){\text{ for }}t>0$$

Первое свойство подразумевает свойство неподвижной точки , то есть для всех k > 0,

C ( k , k , ..., k ) знак равно k

Среднее контргармоническое значение выше, чем среднее арифметическое , а также выше среднеквадратического значения : $$\min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )$$где x — список значений, H — среднее гармоническое, G — среднее геометрическое , L — среднее логарифмическое , A — среднее арифметическое , R — среднеквадратическое значение , а C — среднее контргармоническое. Если все значения x не одинаковы, знаки ≤, указанные выше, можно заменить на <.

Название «контрагармонический» может быть связано с тем, что при взятии среднего значения только двух переменных среднее контргармоническое настолько выше среднего арифметического , насколько среднее арифметическое выше среднего гармонического (т. е. среднее арифметическое двух переменных равно к среднему арифметическому их гармонических и контргармонических средних).

Формулы с двумя переменными

Из формул для среднего арифметического и среднего гармонического двух переменных имеем: $${\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что для двух переменных среднее гармонического и контргармонического среднего точно равно среднему арифметическому:

А ( ЧАС ( а , б ), C ( а , б )) знак равно А ( а , б )

Когда a приближается к 0, тогда H ( a , b ) также приближается к 0. Среднее гармоническое очень чувствительно к низким значениям. С другой стороны, контргармоническое среднее чувствительно к большим значениям, поэтому, когда a приближается к 0, тогда C ( a , b ) приближается к b (поэтому их среднее остается A ( a , b )).

Есть еще две примечательные взаимосвязи между средними значениями с двумя переменными. Во-первых, среднее геометрическое средних арифметических и гармонических равно среднему геометрическому двух значений: $$\operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)$$

Второе соотношение заключается в том, что среднее геометрическое арифметических и контргармонических средних является среднеквадратическим: $${\begin{aligned}&\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)={}\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\={}&{\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}={}{\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\\[2pt]={}&\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}$$

Контрагармоническое среднее двух переменных можно построить геометрически с помощью трапеции (см. [1] ).

Дополнительные конструкции

Контрагармоническое среднее можно построить на окружности аналогично тому, как пифагорейские средние строятся двух переменных. Среднее контргармоническое — это оставшаяся часть диаметра, на котором лежит среднее гармоническое.

Характеристики

Среднее контргармоническое случайной величины равно сумме среднего арифметического и дисперсии, деленной на среднее арифметическое. Поскольку дисперсия всегда ≥0, среднее контргармоническое всегда больше или равно среднему арифметическому.

Отношение дисперсии и среднего было предложено Клэпхэмом в качестве тестовой статистики. Эта статистика представляет собой контргармоническое среднее за вычетом.

Это также связано со статистикой Каца. $$J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}$$где m — среднее значение, с ² дисперсия, а n — размер выборки.

J _n имеет асимптотически нормальное распределение со средним значением, равным нулю, и дисперсией, равной 1.

Использование в статистике

Проблема выборки со смещением по размеру обсуждалась Коксом в 1969 году по проблеме отбора проб волокон. Ожидание выборки , смещенной по размеру, равно ее среднему контргармоническому значению.

Вероятность того, что волокно будет выбрано, пропорциональна его длине. Из-за этого обычное выборочное среднее (среднее арифметическое) является смещенной оценкой истинного среднего. Чтобы увидеть это, рассмотрите $$g(x)={\frac {xf(x)}{m}}$$где f ( x ) — истинное распределение населения, g ( x ) — взвешенное по длине распределение, а m — выборочное среднее. Принимая здесь обычное ожидание среднего значения, мы получаем контргармоническое среднее, а не обычное (арифметическое) среднее значение выборки. Эту проблему можно решить, взяв вместо этого математическое ожидание среднего гармонического значения (1/ x ). Ожидание и дисперсия 1/ x равны $$\operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}$$и имеет дисперсию $$\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {mE\left[{\frac {1}{x}}-1\right]}{nm^{2}}}$$ где E — оператор ожидания. Асимптотически E[1/ x ] распределяется нормально.

Асимптотическая эффективность выборки со смещением длины зависит от основного распределения по сравнению со случайной выборкой. если f ( x ) логарифмически нормально, эффективность равна 1, а если популяция имеет гамма-распределение с индексом b , эффективность равна b /( b − 1) .

Этот дистрибутив использовался в нескольких областях.

Его использовали при анализе изображений.

История

Контрагармоническое среднее было открыто греческим математиком Евдоксом в IV веке до нашей эры.

См. также

• Гармоническое среднее
• Лемер означает
• Пифагорейские средства

Ссылки

• Эссе №3 — Некоторые «злые» трапеции, Шеннон Умбергер: [2]
• Построение контргармонического среднего в трапеции: [3]
• Средние в трапеции: [4]
• Средства комплексных чисел: [5]
• Доказательства без слов / Упражнения по визуальному мышлению, Роджер Б. Нельсен, стр. 56, ISBN   0-88385-700-6
• Средние Пифагора: [6] (продлите сегмент, представляющий среднее гармоническое, через центр круга на другую сторону, создавая диаметр. Длина сегмента диаметра после гармонического сегмента является средним контргармоническим.)
• Пахиккала, Юсси (2010), О контргармоническом среднем и пифагорейских тройках , Elemente der Mathematik 65 (2): 62–67.

Внешние ссылки

• Контрагармоническая пропорция в PlanetMath .