Куртозис

В теории вероятностей статистике эксцесс и ( от греч . κυρτός , kyrtos или kurtos ) — это мера «хвостости» распределения вероятностей величины вещественнозначной случайной . , что означает «изогнутый, выгибающийся » Как и асимметрия , эксцесс описывает конкретный аспект распределения вероятностей. Существуют разные способы количественного определения эксцесса для теоретического распределения, а также соответствующие способы его оценки с использованием выборки из совокупности. Различные меры эксцесса могут иметь разные интерпретации .

Стандартная мера эксцесса распределения, предложенная Карлом Пирсоном , ^[1]представляет собой масштабированную версию четвертого момента раздачи. Это число связано с хвостами распределения, а не с его пиком; ^[2]следовательно, иногда встречающаяся характеристика эксцесса как « остроконечности » неверна. Для этой меры более высокий эксцесс соответствует большей предельной величине отклонений (или выбросам ), а не конфигурации данных вблизи среднего значения .

Обычно избыточный эксцесс (определенный ниже) распределения сравнивают с 0. Это значение 0 представляет собой избыточный эксцесс любого одномерного нормального распределения . Распределения с отрицательным эксцессом называются платикуртическими , хотя это не означает, что распределение является «плоским», как иногда утверждают. Скорее, это означает, что распределение дает меньше и/или менее экстремальных выбросов, чем нормальное распределение. Примером платикуртического распределения является равномерное распределение , которое не дает выбросов. Распределения с положительным эксцессом называются лептокуртическими . Примером лептокуртического распределения является распределение Лапласа , хвосты которого асимптотически приближаются к нулю медленнее, чем гауссово, и поэтому производят больше выбросов, чем нормальное распределение. Обычной практикой является использование избыточного эксцесса, который определяется как эксцесс Пирсона минус 3, чтобы обеспечить простое сравнение с нормальным распределением . Некоторые авторы и пакеты программного обеспечения используют термин «эксцесс» отдельно для обозначения избыточного эксцесса. Однако для ясности и общности в этой статье явно указано, где имеется в виду неизбыточный эксцесс.

Альтернативными мерами эксцесса являются: L-эксцесс , который представляет собой масштабированную версию четвертого L-момента ; генеральной совокупности или выборки меры, основанные на четырех квантилях . ^[3] Они аналогичны альтернативным мерам асимметрии , не основанным на обычных моментах. ^[3]

Моменты Пирсона

Эксцесс — это четвертый стандартизированный момент , определяемый как

\operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},

где µ ₄ — четвертый центральный момент , а σ — стандартное отклонение . В литературе для обозначения эксцесса используется несколько букв. Очень распространенным выбором является κ , и это нормально, если ясно, что оно не относится к кумулянту . Другие варианты включают γ ₂ , что аналогично обозначению асимметрии, хотя иногда вместо этого используется избыточный эксцесс.

Эксцесс ограничен снизу квадратом асимметрии плюс 1: ^[4]^: 432

{\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}\geq \left({\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}+1,

где µ ₃ – третий центральный момент . Нижняя оценка реализуется распределением Бернулли . У эксцесса общего распределения вероятностей нет верхнего предела, и он может быть бесконечным.

Причина, по которой некоторые авторы отдают предпочтение избыточному эксцессу, заключается в том, что кумулянты обширны . Формулы, связанные с экстенсивным свойством, более естественно выражать через избыточный эксцесс. Например, пусть X ₁ , ..., X _n — независимые случайные величины, для которых существует четвертый момент, и пусть Y — случайная величина, определяемая суммой X _i . Избыточный эксцесс Y равен

\operatorname {Kurt} [Y]-3={\frac {1}{\left(\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{\,2}\right)^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{\,4}\cdot \left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right),

где

\sigma _{i}

стандартное отклонение

X_{i}

. В частности, если все X _i имеют одинаковую дисперсию, то это упрощается до

\operatorname {Kurt} [Y]-3={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {Kurt} \left[X_{i}\right]-3\right).

Причина, по которой не следует вычитать 3, заключается в том, что голый момент лучше обобщается на многомерные распределения , особенно когда не предполагается независимость. Кокуртозис тензор между парами переменных представляет собой четвертого порядка . Для двумерного нормального распределения тензор кокуртозиса имеет недиагональные члены, которые в целом не равны ни 0, ни 3, поэтому попытка «исправить» избыток становится запутанной. Однако верно, что совместные кумулянты степени больше двух для любого многомерного нормального распределения равны нулю.

Для двух случайных величин X и Y , не обязательно независимых, эксцесс суммы X + Y равен

{\begin{aligned}\operatorname {Kurt} [X+Y]={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big (}&\sigma _{X}^{4}\operatorname {Kurt} [X]+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}\operatorname {Cokurt} [X,X,X,Y]\\&{}+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}\operatorname {Cokurt} [X,X,Y,Y]\\[6pt]&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}\operatorname {Cokurt} [X,Y,Y,Y]+\sigma _{Y}^{4}\operatorname {Kurt} [Y]{\big )}.\end{aligned}}

четвертой степени биномиальные коэффициенты Обратите внимание, что в приведенном выше уравнении фигурируют (1, 4, 6, 4, 1).

Интерпретация [ править ]

Точная интерпретация меры эксцесса Пирсона (или избыточного эксцесса) раньше оспаривалась, но теперь решена. Как отмечает Westfall в 2014 году ^[2], «...его единственная однозначная интерпретация - это с точки зрения хвостового конца; т.е. либо существующие выбросы (для эксцесса выборки), либо склонность производить выбросы (для эксцесса распределения вероятностей)». Логика проста: куртозис — это среднее (или ожидаемое значение ) стандартизированных данных, возведенное в четвертую степень. Стандартизированные значения меньше 1 (т. е. данные в пределах одного стандартного отклонения от среднего значения, где должен находиться «пик») практически не способствуют эксцессу, поскольку возведение числа меньше 1 в четвертую степень приближает его к эксцессу. нуль. Единственные значения данных (наблюдаемые или наблюдаемые), которые каким-либо значимым образом способствуют эксцессу, - это значения за пределами области пика; то есть выбросы. Следовательно, эксцесс измеряет только выбросы; он ничего не измеряет относительно «пика».

Было дано множество неправильных интерпретаций эксцесса, включающих понятие остроты. Во-первых, эксцесс измеряет как «остроконечность» распределения, так и тяжесть его хвоста . ^[5] Были предложены различные другие неправильные интерпретации, такие как «отсутствие плеч» (где «плечо» неопределенно определяется как область между пиком и хвостом или, более конкретно, как область примерно на одно стандартное отклонение от среднего значения) или « бимодальность». ^[6] Баланда и МакГилливрей утверждают, что стандартное определение эксцесса «является плохой мерой эксцесса, остроты или хвостовой массы распределения». ^[5]^: 114 и вместо этого предложить «расплывчато определить эксцесс как движение вероятностной массы без учета местоположения и масштаба от плеч распределения к его центру и хвостам». ^[5]

Толкование мавров [ править ]

В 1986 году Мавр дал интерпретацию эксцесса. ^[7] Позволять

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},

где X — случайная величина, μ — среднее значение, а σ — стандартное отклонение.

Теперь по определению эксцесса $\kappa$ , и по известному тождеству $E\left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+[E[V]]^{2},$

\kappa =E\left[Z^{4}\right]=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\left[E\left[Z^{2}\right]\right]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+[\operatorname {var} [Z]]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1.

Эксцесс теперь можно рассматривать как меру дисперсии Z ²вокруг своего ожидания. В качестве альтернативы его можно рассматривать как меру дисперсии Z вокруг +1 и -1. κ достигает своего минимального значения в симметричном двухточечном распределении. В терминах исходной переменной X эксцесс является мерой дисперсии X вокруг двух значений μ ± σ .

Высокие значения κ возникают в двух случаях:

где масса вероятности сосредоточена вокруг среднего значения, а процесс генерации данных периодически дает значения, далекие от среднего значения,
где вероятностная масса сосредоточена в хвостах распределения.

Максимальная энтропия [ править ]

Энтропия распределения $\int p(x)\ln p(x)\,dx$ .

Для любого $\mu \in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$ с $\Sigma$ положительно определенное среди всех распределений вероятностей на $\mathbb {R} ^{n}$ со средним $\mu$ и ковариация $\Sigma$ , нормальное распределение ${\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )$ имеет наибольшую энтропию.

Поскольку имею в виду $\mu$ и ковариация $\Sigma$ являются первые два момента, то естественно рассмотреть распространение и на более высокие моменты. Фактически, с помощью метода множителей Лагранжа для любых заданных первых n моментов, если существует некоторое распределение вероятностей вида $p(x)\propto e^{\sum _{i}a_{i}x_{i}+\sum _{ij}b_{ij}x_{i}x_{j}+\cdots +\sum _{i_{1}\cdots i_{n}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{n}}}$ которое имеет предписанные моменты (если это возможно), то это максимальное распределение энтропии при данных ограничениях. ^[8]^[9]

Путем последовательного расширения,

{\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]={}&{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]={}&\sum _{k}{\frac {1}{k!}}(-g/4)^{k}(2n+4k-1)!!\\[6pt]={}&(2n-1)!!-{\frac {1}{4}}g(2n+3)!!+O(g^{2})\end{aligned}}

поэтому, если случайная величина имеет распределение вероятностей

p(x)=e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}/Z

, где

Z

– константа нормировки, то ее эксцесс равен

3-6g+O(g^{2})

. ^[10]

Избыточный эксцесс [ править ]

Избыточный эксцесс определяется как эксцесс минус 3. Существует 3 различных режима, описанных ниже.

Мезокуртический [ править ]

Распределения с нулевым избыточным эксцессом называются мезокуртическими , или мезокуртотическими . Наиболее ярким примером мезокуртического распределения является семейство нормального распределения, независимо от значений его параметров . Некоторые другие известные распределения могут быть мезокуртическими в зависимости от значений параметров: например, биномиальное распределение является мезокуртическим для ${\textstyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}$ .

Лептокуртический [ править ]

Распределение с положительным эксцессом называется лептокуртическим , или лептокуртотическим . «Лепто-» означает «стройный». ^[11]С точки зрения формы лептокуртическое распределение имеет более толстые хвосты . Примеры лептокуртических распределений включают t-распределение Стьюдента , распределение Рэлея , распределение Лапласа , экспоненциальное распределение , распределение Пуассона и логистическое распределение . Такие распределения иногда называют супергауссовскими . ^[12]

Платикуртик [ править ]

Распределение с отрицательным эксцессом называется платикуртическим , или платикуртотическим . «Плати-» означает «широкий». ^[13]По форме платикуртное распределение имеет более тонкие хвосты . Примеры платикуртовых распределений включают непрерывное и дискретное равномерное распределение , а также распределение приподнятого косинуса . Самым платикуртовым распределением из всех является распределение Бернулли с p = 1/2 (например, сколько раз выпадает «орел» при однократном подбрасывании монеты, подбрасывании монеты ), для которого избыточный эксцесс равен -2.

Графические примеры [ править ]

Пирсона Семейство типа VII

Эффекты эксцесса иллюстрируются с помощью параметрического семейства распределений, эксцесс которых можно регулировать, в то время как их младшие моменты и кумулянты остаются постоянными. Рассмотрим семейство Пирсона типа VII , которое является частным случаем семейства Пирсона типа IV, ограниченным симметричными плотностями. Функция плотности вероятности определяется выражением

f(x;a,m)={\frac {\Gamma (m)}{a\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (m-1/2)}}\left[1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right]^{-m},

где a — параметр масштаба , а m — параметр формы .

Все плотности в этом семействе симметричны. k - й момент существует, если m > ( k + 1)/2. Для существования эксцесса необходимо m > 5/2. Тогда среднее значение и асимметрия существуют и оба тождественно равны нулю. Установка ²= 2 m − 3 делает дисперсию равной единице. Тогда единственным свободным параметром является m , который управляет четвертым моментом (и кумулянтом) и, следовательно, эксцессом. Можно перепараметризовать с помощью $m=5/2+3/\gamma _{2}$ , где $\gamma _{2}$ – это избыточный эксцесс, определенный выше. Это дает однопараметрическое лептокуртическое семейство с нулевым средним значением, единичной дисперсией, нулевой асимметрией и произвольным неотрицательным избыточным эксцессом. Репараметризованная плотность равна

g(x;\gamma _{2})=f\left(x;\;a={\sqrt {2+{\frac {6}{\gamma _{2}}}}},\;m={\frac {5}{2}}+{\frac {3}{\gamma _{2}}}\right).

В пределе как $\gamma _{2}\to \infty$ получается плотность

g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}},

которая показана красной кривой на изображениях справа.

В другом направлении, как $\gamma _{2}\to 0$ в качестве предельного распределения получается стандартная нормальная плотность, показанная черной кривой.

На изображениях справа синяя кривая представляет плотность. $x\mapsto g(x;2)$ с избыточным эксцессом, равным 2. Верхнее изображение показывает, что плотности лептокуртов в этом семействе имеют более высокий пик, чем нормальная плотность мезокуртов, хотя этот вывод справедлив только для этого избранного семейства распределений. Сравнительно более толстые хвосты лептокуртических плотностей показаны на втором изображении, на котором изображен натуральный логарифм плотностей Пирсона типа VII: черная кривая — это логарифм стандартной нормальной плотности, которая представляет собой параболу . Можно видеть, что нормальная плотность распределяет небольшую вероятностную массу областям, далеким от среднего значения («имеет тонкие хвосты»), по сравнению с синей кривой лептокуртической плотности Пирсона VII типа с избыточным эксцессом 2. Между синей кривой и черные — другие плотности Пирсона типа VII с γ ₂ = 1, 1/2, 1/4, 1/8 и 1/16. Красная кривая снова показывает верхний предел семейства Пирсона VII типа, при этом $\gamma _{2}=\infty$ (что, строго говоря, означает, что четвертого момента не существует). Красная кривая уменьшается медленнее всего по мере движения наружу от начала координат («имеет толстые хвосты»).

Другие известные дистрибутивы [ править ]

Здесь сравниваются несколько известных унимодальных и симметричных распределений из разных параметрических семейств. Каждый из них имеет среднее значение и асимметрию, равные нулю. Параметры были выбраны так, чтобы в каждом случае получить дисперсию, равную 1. На изображениях справа показаны кривые для следующих семи плотностей в линейном и логарифмическом масштабе :

D: Распределение Лапласа , также известное как двойное экспоненциальное распределение, красная кривая (две прямые линии на логарифмическом графике), избыточный эксцесс = 3
S: гиперболическое секущее распределение , оранжевая кривая, избыточный эксцесс = 2.
L: логистическое распределение , зеленая кривая, избыточный эксцесс = 1,2.
N: нормальное распределение , черная кривая (перевернутая парабола на логарифмическом графике), избыточный эксцесс = 0
C: повышенное косинусное распределение , голубая кривая, избыточный эксцесс = -0,593762...
W: полукруговое распределение Вигнера , синяя кривая, избыточный эксцесс = -1
U: равномерное распределение , кривая пурпурного цвета (для наглядности показана прямоугольником на обоих изображениях), избыточный эксцесс = -1,2.

Заметим, что в этих случаях платикуртические плотности имеют ограниченную поддержку , тогда как плотности с положительным или нулевым эксцессом поддерживаются на всей действительной прямой .

Нельзя сделать вывод, что распределения с высоким или низким эксцессом обладают характеристиками, указанными в этих примерах. Существуют платикуртические плотности с бесконечной поддержкой,

например, экспоненциальные распределения мощности с достаточно большим параметром формы b

и существуют лептокуртические плотности с конечным носителем.

например, распределение, равномерное между -3 и -0,3, между -0,3 и 0,3 и между 0,3 и 3, с одинаковой плотностью в интервалах (-3, -0,3) и (0,3, 3), но с 20 раз больше плотности в интервале (−0,3, 0,3)

Также существуют платикуртные плотности с бесконечной остроконечностью,

например, равная смесь бета -распределения с параметрами 0,5 и 1 с его отражением около 0,0

существуют лептокуртические плотности, которые кажутся плоскими,

например, смесь распределения, которая является однородной между -1 и 1 с t-распределением Стьюдента T(4,0000001) с вероятностями смешивания 0,999 и 0,001.

Пример эксцесса [ править ]

Определения [ править ]

оценщик но предвзятый , Естественный

Для выборки из n значений метод оценки моментов избыточного эксцесса совокупности можно определить как

g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{2}}}-3

где m ₄ — четвертый момент выборки относительно среднего значения , m ₂ — второй момент выборки относительно среднего значения (т. е. выборочная дисперсия ), x _i — i ^й ценность и

{\overline {x}}

– это выборочное среднее .

Эта формула имеет более простое представление:

g_{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{4}-3

где

z_{i}

значения — это стандартизированные значения данных с использованием стандартного отклонения, определенного с использованием n , а не n - 1 в знаменателе.

Например, предположим, что значения данных: 0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999.

Тогда $z_{i}$ значения: -0,239, -0,225, -0,221, -0,234, -0,230, -0,225, -0,239, -0,230, -0,234, -0,225, -0,230, -0,239, -0,230, -0,230, -0,225, -0,230, -0,216, -0,230, -0,225, 4,359

и $z_{i}^{4}$ значения: 0,003, 0,003, 0,002, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,003, 0,002, 0 0,003, 0,003, 360,976.

Среднее из этих значений составляет 18,05, а избыточный эксцесс составляет, таким образом, 18,05 - 3 = 15,05. Этот пример проясняет, что данные вблизи «середины» или «пика» распределения не вносят вклад в статистику эксцесса, следовательно, эксцесс не измеряет «остроконечность». Это просто мера выброса, в данном примере 999.

Стандартная несмещенная оценка [ править ]

Учитывая подмножество выборок из совокупности, избыточный эксцесс выборки $g_{2}$ Выше приведена смещенная оценка избыточного эксцесса населения. Альтернативная оценка эксцесса генеральной совокупности, которая является несмещенной в случайных выборках нормального распределения, определяется следующим образом: ^[3]

{\begin{aligned}G_{2}&={\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}}\\[6pt]&={\frac {n^{2}\,[(n+1)\,m_{4}-3\,(n-1)\,m_{2}^{2}]}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {(n-1)^{2}}{n^{2}\,m_{2}^{2}}}\\[6pt]&={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left[(n+1)\,{\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3\,(n-1)\right]\\[6pt]&={\frac {n-1}{(n-2)\,(n-3)}}\left[(n+1)\,g_{2}+6\right]\\[6pt]&={\frac {(n+1)\,n\,(n-1)}{(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)\,(n-3)}}\\[6pt]&={\frac {(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)}}\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{k_{2}^{2}}}-3\,{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}\end{aligned}}

где k ₄ — уникальная симметричная несмещенная оценка четвертого кумулянта , k ₂ — несмещенная оценка второго кумулянта (идентична несмещенной оценке выборочной дисперсии), m ₄ — четвертый момент выборки относительно среднего значения, m ₂ — второй момент выборки относительно среднего значения, x _i - это i ^й ценность и

{\bar {x}}

– выборочное среднее. Этот скорректированный стандартизированный коэффициент момента Фишера-Пирсона.

G_{2}

это версия, найденная в Excel и нескольких статистических пакетах, включая Minitab , SAS и SPSS . ^[14]

К сожалению, в ненормальных образцах $G_{2}$ само по себе, как правило, предвзято.

Верхняя граница [ править ]

Верхняя граница выборочного эксцесса n ( n > 2) действительных чисел равна ^[15]

g_{2}\leq {\frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3.

где

g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}

– соответствующая асимметрия выборки.

Отклонение при нормальности [ править ]

Отклонение выборочного эксцесса выборки размера n от нормального распределения равно ^[16]

\operatorname {var} (g_{2})={\frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}

Другими словами, в предположении, что основная случайная величина $X$ нормально распределено, можно показать, что ${\sqrt {n}}g_{2}\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,24)$ . ^[17]^{: Нужен номер страницы.}

Приложения [ править ]

Эксцесс выборки является полезным показателем того, существует ли проблема с выбросами в наборе данных. Больший эксцесс указывает на более серьезную проблему выбросов и может побудить исследователя выбрать альтернативные статистические методы.

Критерий K-квадрата Д'Агостино представляет собой критерий согласия нормальности, основанный на сочетании асимметрии выборки и эксцесса выборки, а также критерий Жарка-Бера на нормальность.

Для ненормальных выборок дисперсия выборочной дисперсии зависит от эксцесса; для получения подробной информации см. отклонение .

Определение эксцесса, данное Пирсоном, используется как индикатор перемежаемости турбулентности . ^[18] Он также используется в магнитно-резонансной томографии для количественной оценки негауссовой диффузии. ^[19]

Конкретным примером является следующая лемма Хэ, Чжана и Чжана: ^[20] Предположим, случайная величина $X$ имеет ожидание $E[X]=\mu$ , дисперсия $E\left[(X-\mu )^{2}\right]=\sigma ^{2}$ и эксцесс $\kappa ={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}E\left[(X-\mu )^{4}\right].$ Предположим, мы отбираем $n={\tfrac {2{\sqrt {3}}+3}{3}}\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }}$ много независимых копий. Затем

\Pr \left[\max _{i=1}^{n}X_{i}\leq \mu \right]\leq \delta \quad {\text{and}}\quad \Pr \left[\min _{i=1}^{n}X_{i}\geq \mu \right]\leq \delta .

Это показывает, что с $\Theta (\kappa \log {\tfrac {1}{\delta }})$ много образцов, мы увидим тот, который с вероятностью выше ожидания, по крайней мере $1-\delta$ . Другими словами: если эксцесс велик, мы можем увидеть множество значений либо ниже, либо выше среднего.