Распределение Рэлея

Не путать с распределением смеси Рэлея .

Рэлей

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	шкала: $\sigma >0$
Поддерживать	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}$
CDF	$1-e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}$
Квантиль	$Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}$
Иметь в виду	$\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$
медиана	$\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}$
Режим	$\sigma$
Дисперсия	${\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}$
асимметрия	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$
Энтропия	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$
МГФ	$1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)$
CF	$1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)$

В теории вероятностей и статистике представляет распределение Рэлея собой непрерывное распределение вероятностей с неотрицательными значениями для случайных величин . С точностью до масштабирования оно совпадает с распределением ци с двумя степенями свободы .Распределение названо в честь лорда Рэлея ( / ˈ r eɪ l i / ).

Распределение Рэлея часто наблюдается, когда общая величина вектора в плоскости связана с его направленными компонентами . Одним из примеров естественного возникновения распределения Рэлея является ветра анализ скорости в двух измерениях .Если предположить, что каждый компонент некоррелирован , обычно распределен с равной дисперсией и имеет нулевое среднее значение , что случается нечасто, то общая скорость ветра ( векторная величина) будет характеризоваться распределением Рэлея. Второй пример распределения возникает в случае случайных комплексных чисел, действительные и мнимые компоненты которых независимо и одинаково распределены по Гауссу с равной дисперсией и нулевым средним значением. В этом случае абсолютное значение комплексного числа распределяется по Рэлею.

Определение

Функция плотности вероятности распределения Рэлея равна

$f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,$

где $\sigma$ – масштабный параметр распределения. Кумулятивная функция распределения равна

$F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}$

для $x\in [0,\infty ).$

Связь с длиной случайного вектора

Рассмотрим двумерный вектор $Y=(U,V)$ который имеет компоненты, которые являются двумерными, нормально распределенными , с центром в нуле и с равными дисперсиями $\sigma ^{2}$, и независимый. Затем $U$ и $V$ имеют функции плотности

$f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.$

Позволять $X$ быть длиной $Y$. То есть, $X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.$ Затем $X$ имеет кумулятивную функцию распределения

$F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,$

где $D_{x}$ это диск

$D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.$

Записав двойной интеграл в полярных координатах , получим

$F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.$

Наконец, функция плотности вероятности для $X$ является производной его кумулятивной функции распределения, которая по фундаментальной теореме исчисления равна

$f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},$

что является распределением Рэлея. Несложно обобщить вектора размерности, отличной от 2. Существуют также обобщения, когда компоненты имеют неравную дисперсию или корреляцию ( распределение Хойта ) или когда вектор Y следует Стьюдента двумерному t -распределению (см. также: Т-квадрат распределения Хотеллинга ).

показывать Обобщение для двумерного t-распределения Стьюдента

Suppose $Y$ is a random vector with components $u,v$ that follows a multivariate t-distribution. If the components both have mean zero, equal variance and are independent, the bivariate Student's-t distribution takes the form: $f(u,v)={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\left(1+{u^{2}+v^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}$ Let $R={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}$ be the magnitude of $Y$. Then the cumulative distribution function (CDF) of the magnitude is: $F(r)={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{D_{r}}\left(1+{u^{2}+v^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}du\;dv$ where $D_{r}$ is the disk defined by: $D_{r}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq r\right\}$ Converting to polar coordinates leads to the CDF becoming: ${\begin{aligned}F(r)&={1 \over {2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }\rho \left(1+{\rho ^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}d\theta \;d\rho \\&={1 \over {\sigma ^{2}}}\int _{0}^{r}\rho \left(1+{\rho ^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}d\rho \\&=1-\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2}\end{aligned}}$ Finally, the probability density function (PDF) of the magnitude may be derived: $f(r)=F'(r)={r \over {\sigma ^{2}}}\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}$ In the limit as $\nu \rightarrow \infty$, the Rayleigh distribution is recovered because: $\lim _{\nu \rightarrow \infty }\left(1+{r^{2} \over {\nu \sigma ^{2}}}\right)^{-\nu /2-1}=e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}}$

Характеристики

переданы Сырые моменты :

$\mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),$

где $\Gamma (z)$ это гамма-функция .

Таким образом, среднее значение случайной величины Рэлея равно:

$\mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .$

Стандартное отклонение случайной величины Рэлея составляет:

$\operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx 0.655\ \sigma$

Дисперсия случайной величины Рэлея равна:

$\operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}$

Режим ​ ​ $\sigma ,$ и максимальный PDF-файл

$f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.$

Асимметрия определяется :

$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631$

Избыточный эксцесс определяется выражением:

$\gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245$

Характеристическая функция определяется выражением:

$\varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]$

где $\operatorname {erfi} (z)$ – мнимая функция ошибок . определяется Производящая функция момента выражением

$M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]$

где $\operatorname {erf} (z)$ это функция ошибки .

Дифференциальная энтропия

Дифференциальная энтропия определяется выражением

$H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$

где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони .

Оценка параметров

Дана выборка из N независимых и одинаково распределенных случайных величин Рэлея. $x_{i}$ с параметром $\sigma$,

${\widehat {\sigma ^{2}}}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}$ является оценкой максимального правдоподобия и также является несмещенной .

${\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}$ представляет собой смещенную оценку, которую можно исправить по формуле

$\sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma \left(N+{\frac {1}{2}}\right)}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}$ $={\frac {\hat {\sigma }}{c_{4}(2N+1)}}$, где c ₄ — поправочный коэффициент, используемый для несмещения оценок стандартного отклонения для нормальных случайных величин .

Доверительные интервалы

Чтобы найти доверительный интервал (1 − α ), сначала найдите границы $[a,b]$ где:

  $P\left(\chi _{2N}^{2}\leq a\right)=\alpha /2,\quad P\left(\chi _{2N}^{2}\leq b\right)=1-\alpha /2$

тогда параметр масштаба будет находиться в пределах

  ${\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma ^{2}}}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}$

Генерация случайных переменных

Учитывая случайную величину U, взятую из равномерного распределения в интервале (0, 1), тогда переменная

$X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,$

имеет распределение Рэлея с параметром $\sigma$. Это достигается применением метода выборки обратного преобразования .

Связанные дистрибутивы

• $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ распределено по Рэлею, если $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$, где $X\sim N(0,\sigma ^{2})$ и $Y\sim N(0,\sigma ^{2})$ являются независимыми нормальными случайными величинами . Это дает мотивацию к использованию символа $\sigma$ в приведенной выше параметризации плотности Рэлея.
• Величина $|z|$ стандартной комплексной нормально распределенной переменной z распределена по Рэлею.
• Распределение хи с v = 2 эквивалентно распределению Рэлея с σ = 1: $R(\sigma )\sim \sigma \chi _{2}^{\,}\ .$
• Если $R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)$, затем $R^{2}$ имеет распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы: $[Q=R(\sigma )^{2}]\sim \sigma ^{2}\chi _{2}^{2}\ .$
• Если $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$, затем $\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}$ имеет гамма-распределение с параметрами $N$ и ${\frac {1}{2\sigma ^{2}}}$

  $\left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma \left(N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right).$

• Распределение Райса является нецентральным обобщением распределения Рэлея: $\mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )$.
• с Распределение Вейбулла параметром формы k = 2 дает распределение Рэлея. Тогда параметр распределения Рэлея $\sigma$ связано с параметром масштаба Вейбулла согласно $\lambda =\sigma {\sqrt {2}}.$
• Если $X$ имеет показательное распределение $X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )$, затем $Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).$
• Полунормальное распределение является одномерным эквивалентом распределения Рэлея.
• Распределение Максвелла -Больцмана является трехмерным эквивалентом распределения Рэлея.

Приложения

Применение оценки σ можно найти в магнитно-резонансной томографии (МРТ). Поскольку изображения МРТ записываются как сложные изображения, но чаще всего рассматриваются как изображения магнитуды, фоновые данные распределены по Рэлею. Следовательно, приведенную выше формулу можно использовать для оценки дисперсии шума на изображении МРТ на основе фоновых данных.

Распределение Рэлея также использовалось в области питания для связи в рационе уровней питательных веществ и реакций человека и животных . Таким образом, параметр σ можно использовать для расчета зависимости реакции питательных веществ.

В области баллистики распределение Рэлея используется для расчета вероятной круговой ошибки — меры точности оружия.

В физической океанографии распределение значительной высоты волн примерно соответствует распределению Рэлея.

См. также

• Возможна круговая ошибка
• Рэлеевское затухание
• Распределение смеси Рэлея
• Раздача риса