Распределение Ломакса

Ломакс

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\alpha >0$ форма (настоящая) $\lambda >0$ масштаб (реальный)
Поддерживать	$x\geq 0$
PDF	${\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)}$
CDF	$1-\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-\alpha }$
Квантиль	$\lambda \left[\left(1-p\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}-1\right]$
Иметь в виду	${\lambda \over {\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1$; не определено в противном случае
медиана	$\lambda \left({\sqrt[{\alpha }]{2}}-1\right)$
Режим	0
Дисперсия	${\begin{cases}{{\lambda ^{2}\alpha } \over {(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&\alpha >2\\\infty &1<\alpha \leq 2\\{\text{Undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
асимметрия	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,$
Избыточный эксцесс	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,$

Распределение Ломакса , условно также называемое распределением Парето типа II , представляет собой с тяжёлым хвостом, распределение вероятностей используемое в бизнесе, экономике, актуарной науке, теории массового обслуживания и моделировании интернет-трафика. Назван в честь К. С. Ломакса. По сути, это распределение Парето , которое было сдвинуто так, что его поддержка начинается с нуля.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) для распределения Ломакса определяется выражением

$p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,$

с параметром формы $\alpha >0$ и параметр масштабирования $\lambda >0$. Плотность можно переписать так, чтобы более наглядно показать ее связь с распределением Парето типа I. То есть:

$p(x)={{\alpha \lambda ^{\alpha }} \over {(x+\lambda )^{\alpha +1}}}$.

Нецентральные моменты

The $\nu$нецентральный момент $E\left[X^{\nu }\right]$ существует только в том случае, если параметр формы $\alpha$ строго превышает $\nu$, когда момент имеет значение

$E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}$

Связанные дистрибутивы

Связь с распределением Парето

Распределение Ломакса представляет собой распределение Парето типа I, сдвинутое так, что его поддержка начинается с нуля. Конкретно:

${\text{If }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ then }}Y-x_{m}\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ).$

Распределение Ломакса представляет собой распределение Парето типа II с x _m = λ и μ = 0:

${\text{If }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ then }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).$

Связь с обобщенным распределением Парето

Распределение Ломакса является частным случаем обобщенного распределения Парето . Конкретно:

$\mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.$

Связь с бета-простым распределением

Распределение Ломакса с масштабным параметром λ = 1 является частным случаем простого бета-распределения . Если X имеет распределение Ломакса, то ${\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$.

Связь с распределением F

Распределение Ломакса с параметром формы α = 1 и параметром масштаба λ = 1 имеет плотность $f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$, то же распределение, что и распределение F (2,2) . Это распределение отношения двух независимых и одинаково распределенных случайных величин с экспоненциальным распределением .

Связь с q-экспоненциальным распределением

Распределение Ломакса является частным случаем q-экспоненциального распределения . q-экспонента расширяет это распределение для поддержки ограниченного интервала. Параметры Ломакса определяются следующим образом:

$\alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.$

Связь с (логарифмическим) логистическим распределением

Логарифм переменной, распределенной по Lomax (форма = 1,0, масштаб = λ), соответствует логистическому распределению с местоположением log (λ) и масштабом 1,0.Это означает, что Lomax(shape = 1,0, масштаб = λ)-распределение равно логарифмическому логистическому распределению с формой β = 1,0 и масштабом α = log(λ).

Связь гамма-экспоненциальной (масштабной) смеси

Распределение Ломакса возникает как смесь экспоненциальных распределений , где распределение скорости смешивания представляет собой гамма-распределение .Если λ|k,θ ~ Gamma (форма = k, масштаб = θ) и X |λ ~ Экспонента (скорость = λ), то предельное распределение X |k,θ равно Lomax (форма = k, масштаб = 1/θ). ).Поскольку параметр скорости может быть эквивалентно перепараметризован в параметр масштаба , распределение Ломакса представляет собой масштабную смесь экспонент (при этом параметр экспоненциального масштаба следует за обратным гамма-распределением ).

См. также

• степенной закон
• сложное распределение вероятностей
• гиперэкспоненциальное распределение (конечная смесь экспонент)
• нормально-экспоненциальное гамма-распределение (смесь нормального масштаба с распределением смешивания Ломакса)