Отрицательное гипергеометрическое распределение

Отрицательная гипергеометрическая

Функция массы вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$N\in \left\{0,1,2,\dots \right\}$ - общее количество элементов $K\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}$ - общее количество элементов успеха $r\in \left\{0,1,2,\dots ,N-K\right\}$ - количество неудач при остановке эксперимента
Поддерживать	$k\in \left\{0,\,\dots ,\,K\right\}$ - количество успехов при остановке эксперимента.
ПМФ	${\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}$
Иметь в виду	$r{\frac {K}{N-K+1}}$
Дисперсия	$r{\frac {(N+1)K}{(N-K+1)(N-K+2)}}[1-{\frac {r}{N-K+1}}]$

В теории вероятностей и статистике отрицательное гипергеометрическое распределение описывает вероятности при выборке из конечной совокупности без замены, в которой каждая выборка может быть разделена на две взаимоисключающие категории, такие как «Прошел/Не прошел» или «Занятый/Безработный». Поскольку выборка из популяции производится случайным образом, каждый последующий розыгрыш уменьшает популяцию, в результате чего вероятность успеха меняется с каждым розыгрышем. В отличие от стандартного гипергеометрического распределения , которое описывает количество успехов при фиксированном размере выборки, в отрицательном гипергеометрическом распределении выборки отбираются до тех пор, пока $r$ были обнаружены сбои, а распределение описывает вероятность обнаружения $k$ успехов в такой выборке. Другими словами, отрицательное гипергеометрическое распределение описывает вероятность $k$ успехов в выборке ровно с $r$ неудачи.

Определение

Есть $N$ элементы, из которых $K$ определяются как «успехи», а остальные как «неудачи».

Элементы рисуются один за другим, без замен, до тех пор, пока $r$ встречаются неудачи. Затем рисунок останавливается и число $k$ успехов засчитывается. Отрицательное гипергеометрическое распределение, $NHG_{N,K,r}(k)$ это дискретное распределение этого $k$.

Отрицательное гипергеометрическое распределение является частным случаем бета-биномиального распределения. с параметрами $\alpha =r$ и $\beta =N-K-r+1$ оба являются целыми числами (и $n=K$).

Результат требует, чтобы мы наблюдали $k$ успехи в $(k+r-1)$ рисует и $(k+r){\text{-th}}$ бит должен быть сбоем. Вероятность первого можно найти прямым применением гипергеометрического распределения $(HG_{N,K,k+r-1}(k))$ и вероятность последнего - это просто количество оставшихся отказов $(=N-K-(r-1))$ разделить на численность остального населения $(=N-(k+r-1)$. Вероятность иметь ровно $k$ успехов вплоть до $r{\text{-th}}$ сбой (т.е. розыгрыш останавливается, как только образец включает заранее определенное количество $r$ отказов) тогда является произведением этих двух вероятностей:

${\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\cdot {\frac {N-K-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}.$

Следовательно, случайная величина $X$ следует отрицательному гипергеометрическому распределению, если его функция массы вероятности (pmf) определяется выражением

$f(k;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dotsc ,K$

где

• $N$ численность населения,
• $K$ количество состояний успеха в популяции,
• $r$ это количество неудач,
• $k$ количество наблюдаемых успехов,
• $a \choose b$ представляет собой биномиальный коэффициент

По замыслу сумма вероятностей равна 1. Однако, если мы хотим показать это явно, у нас есть:

$\sum _{k=0}^{K}\Pr(X=k)=\sum _{k=0}^{K}{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}={\frac {1}{N \choose K}}\sum _{k=0}^{K}{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}={\frac {1}{N \choose K}}{N \choose K}=1,$

где мы это использовали,

${\begin{aligned}\sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {n-m-j}{k-j}}&=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {-m-1}{j}}(-1)^{k-j}{\binom {m+1+k-n-2}{k-j}}\\&=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-m-1}{j}}{\binom {k-n-2-(-m-1)}{k-j}}\\&=(-1)^{k}{\binom {k-n-2}{k}}\\&=(-1)^{k}{\binom {k-(n+1)-1}{k}}\\&={\binom {n+1}{k}},\end{aligned}}$

которое можно получить с помощью биномиального тождества ,

${{n \choose k}=(-1)^{k}{k-n-1 \choose k}},$

и тождество Чу-Вандермонда ,

$\sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}},$

которое справедливо для любых комплексных значений $m$ и $n$ и любое неотрицательное целое число $k$.

Ожидание

При подсчете числа $k$ успехов перед $r$ неудач, ожидаемое число успехов равно ${\frac {rK}{N-K+1}}$ и может быть получено следующим образом.

${\begin{aligned}E[X]&=\sum _{k=0}^{K}k\Pr(X=k)=\sum _{k=0}^{K}k{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}}{N \choose K}}={\frac {r}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{\frac {(k+r)}{r}}{{k+r-1} \choose {r-1}}{{N-r-k} \choose {K-k}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {r}}{{N-r-k} \choose {K-k}}\right]-r={\frac {r}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {k}}{{N-r-k} \choose {K-k}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[{{N+1} \choose K}\right]-r={\frac {rK}{N-K+1}},\end{aligned}}$

где мы использовали отношения $\sum _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {n-m-j}{k-j}}={\binom {n+1}{k}}$, который мы получили выше, чтобы показать, что отрицательное гипергеометрическое распределение было правильно нормализовано.

Дисперсия

Дисперсия может быть получена путем следующего расчета.

${\begin{aligned}E[X^{2}]&=\sum _{k=0}^{K}k^{2}\Pr(X=k)=\left[\sum _{k=0}^{K}(k+r)(k+r+1)\Pr(X=k)\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \choose K}}\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r+1} \choose {r+1}}{{N+1-(r+1)-k} \choose {K-k}}\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \choose K}}\left[{{N+2} \choose K}\right]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r={\frac {rK(N-r+Kr+1)}{(N-K+1)(N-K+2)}}\end{aligned}}$

Тогда дисперсия ${\textrm {Var}}[X]=E[X^{2}]-\left(E[X]\right)^{2}={\frac {rK(N+1)(N-K-r+1)}{(N-K+1)^{2}(N-K+2)}}$

Связанные дистрибутивы

Если рисование останавливается после постоянного числа $n$ ничьих (независимо от количества неудач), то число успехов имеет гипергеометрическое распределение , $HG_{N,K,n}(k)$. Эти две функции связаны следующим образом:

$NHG_{N,K,r}(k)=1-HG_{N,N-K,k+r}(r-1)$

Отрицательно-гипергеометрическое распределение (как и гипергеометрическое распределение) имеет дело с розыгрышами без замены , поэтому вероятность успеха в каждом розыгрыше разная. Напротив, отрицательно-биномиальное распределение (как и биномиальное распределение) имеет дело с розыгрышами с заменой , так что вероятность успеха одинакова, а испытания независимы. В следующей таблице приведены четыре распределения, относящиеся к элементам чертежа:

	С заменами	Нет замен
Количество успехов в постоянном количестве розыгрышей	биномиальное распределение	гипергеометрическое распределение
# успехов при постоянном # неудач	отрицательное биномиальное распределение	отрицательное гипергеометрическое распределение

Некоторые авторы определим отрицательное гипергеометрическое распределение как количество розыгрышей, необходимое для получения $r$й провал. Если мы позволим $Y$ обозначим это число, то ясно, что $Y=X+r$ где $X$ такое, как определено выше. Следовательно, ПМФ

$\Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {N-y}{N-K-r}}{\binom {N}{N-K}}}.$

Если допустить количество неудач $N-K$ обозначаться $M$ означает, что у нас есть

$\Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {N-y}{M-r}}{\binom {N}{M}}}.$

Поддержка $Y$ это набор $\{r,r+1,\dots ,N-M+r\}$. Понятно, что:

$E[Y]=E[X]+r={\frac {r(N+1)}{M+1}}$

и ${\textrm {Var}}[X]={\textrm {Var}}[Y]$.