Нецентральное бета-распределение

Нецентральная бета
Обозначения	Бета(α, β, λ)
Параметры	α > 0 форма ( реальная ) ; β > 0 форма ( реальная ) ; λ ≥ 0 нецентральность ( действительная )
Поддерживать
PDF	(тип I)
CDF	(тип I)
Иметь в виду	(тип I) (см. Вырожденная гипергеометрическая функция )
Дисперсия	(тип I) где это среднее значение. (см. Вырожденная гипергеометрическая функция )

В теории вероятностей и статистике нецентральное бета-распределение — это непрерывное распределение вероятностей , которое является нецентральным обобщением (центрального) бета-распределения .

Нецентральное бета-распределение (тип I) представляет собой распределение отношения

X={\frac {\chi _{m}^{2}(\lambda )}{\chi _{m}^{2}(\lambda )+\chi _{n}^{2}}},

где $\chi _{m}^{2}(\lambda )$ это нецентральная случайная величина хи-квадрат со степенями свободы m и параметром нецентральности $\lambda$ , и $\chi _{n}^{2}$ — центральная случайная величина хи-квадрат со степенями свободы n , независимая от $\chi _{m}^{2}(\lambda )$ . ^[1]В этом случае, $X\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}},\lambda \right)$

Нецентральное бета-распределение типа II — это распределениесоотношения

Y={\frac {\chi _{n}^{2}}{\chi _{n}^{2}+\chi _{m}^{2}(\lambda )}},

где нецентральная переменная хи-квадрат находится только в знаменателе. ^[1] Если $Y$ следует распределение типа II, тогда $X=1-Y$ следует распределению типа I.

Кумулятивная функция распределения

типа I Кумулятивную функцию распределения обычно представляют как пуассоновскую смесь центральных бета- случайных величин: ^[1]

F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha +j,\beta ),

где λ — параметр нецентральности, P (.) — массовая функция вероятности Пуассона(λ/2), \alpha=m/2 и \beta=n/2 — параметры формы, и $I_{x}(a,b)$ – неполная бета-функция . То есть,

F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}I_{x}(\alpha +j,\beta ).

типа II Кумулятивная функция распределения в форме смеси равна

F(x)=\sum _{j=0}^{\infty }P(j)I_{x}(\alpha ,\beta +j).

Алгоритмы вычисления нецентральных функций бета-распределения предоставлены Постеном. ^[2] и Чаттамвелли. ^[1]

Функция плотности вероятности

(тип I) Функция плотности вероятности для нецентрального бета-распределения:

f(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}e^{-\lambda /2}{\frac {x^{\alpha +j-1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha +j,\beta )}}.

где $B$ это бета-функция , $\alpha$ и $\beta$ – параметры формы, а $\lambda$ – параметр нецентральности . Плотность Y такая же, как и у 1-X с обратными степенями свободы. ^[1]

Связанные дистрибутивы

Преобразования

Если $X\sim {\mbox{Beta}}\left(\alpha ,\beta ,\lambda \right)$ , затем ${\frac {\beta X}{\alpha (1-X)}}$ следует нецентральному F-распределению с $2\alpha ,2\beta$ степени свободы и параметр нецентральности $\lambda$ .

Если $X$ следует нецентральному F-распределению $F_{\mu _{1},\mu _{2}}\left(\lambda \right)$ с $\mu _{1}$ числитель степеней свободы и $\mu _{2}$ знаменатель степеней свободы, то

Z={\cfrac {\cfrac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}{{\cfrac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}+X^{-1}}}

следует нецентральному бета-распределению:

Z\sim {\mbox{Beta}}\left({\frac {1}{2}}\mu _{1},{\frac {1}{2}}\mu _{2},\lambda \right)

.

Это получается в результате прямого преобразования.

Особые случаи

Когда $\lambda =0$ , нецентральное бета-распределение эквивалентно (центральному) бета-распределению .

Ссылки

Цитаты

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Чаттамвелли, Р. (1995). «Заметка о нецентральной бета-функции распределения». Американский статистик . 49 (2): 231–234. дои : 10.1080/00031305.1995.10476151 .
^ Постен, Х.О. (1993). «Эффективный алгоритм нецентральной бета-функции распределения». Американский статистик . 47 (2): 129–131. дои : 10.1080/00031305.1993.10475957 . JSTOR 2685195 .

Источники

М. Абрамовиц и И. Стегун , редакторы (1965) « Справочник по математическим функциям », Дувр: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.
Ходжес, Дж. Л. младший (1955). «О нецентральном бета-распределении» . Анналы математической статистики . 26 (4): 648–653. дои : 10.1214/aoms/1177728424 .
Себер, ГАФ (1963). «Нецентральные хи-квадрат и бета-распределения». Биометрика . 50 (3–4): 542–544. дои : 10.1093/biomet/50.3-4.542 .
Кристиан Вальк, «Справочник по статистическим распределениям для экспериментаторов».

[Chat-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Чаттамвелли, Р. (1995). «Заметка о нецентральной бета-функции распределения». Американский статистик . 49 (2): 231–234. дои : 10.1080/00031305.1995.10476151 .

[2] Постен, Х.О. (1993). «Эффективный алгоритм нецентральной бета-функции распределения». Американский статистик . 47 (2): 129–131. дои : 10.1080/00031305.1993.10475957 . JSTOR 2685195 .

[1]

[2]

Нецентральная бета
Обозначения	Бета(α, β, λ)
Параметры	α > 0 форма ( реальная ) β > 0 форма ( реальная ) λ ≥ 0 нецентральность ( действительная )
Поддерживать	$x\in [0;1]\!$
PDF	(тип I) $\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {x^{\alpha +j-1}\left(1-x\right)^{\beta -1}}{\mathrm {B} \left(\alpha +j,\beta \right)}}$
CDF	(тип I) $\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{j}}{j!}}I_{x}\left(\alpha +j,\beta \right)$
Иметь в виду	(тип I) $e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +1\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +1;\alpha ,\alpha +\beta +1;{\frac {\lambda }{2}}\right)$ (см. Вырожденная гипергеометрическая функция )
Дисперсия	(тип I) $e^{-{\frac {\lambda }{2}}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +2\right)}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\frac {\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta +2\right)}}{}_{2}F_{2}\left(\alpha +\beta ,\alpha +2;\alpha ,\alpha +\beta +2;{\frac {\lambda }{2}}\right)-\mu ^{2}$ где $\mu$ это среднее значение. (см. Вырожденная гипергеометрическая функция )