Смешанное распределение Пуассона

смешанное распределение Пуассона

Обозначения	$\operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )$
Параметры	$\lambda \in (0,\infty )$
Поддерживать	$k\in \mathbb {N} _{0}$
ПМФ	$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$
Иметь в виду	$\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Дисперсия	$\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
асимметрия	${\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }[(\lambda -\mu _{\pi })^{3}+3(\lambda -\mu _{\pi })^{2}]\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}$
МГФ	$M_{\pi }(e^{t}-1)$, с $M_{\pi }$ МГФ π
CF	$M_{\pi }(e^{it}-1)$
ПГФ	$M_{\pi }(z-1)$

Смешанное распределение Пуассона — это одномерное дискретное распределение вероятностей в стохастике. Это следует из предположения, что условное распределение случайной величины при заданном значении параметра скорости является распределением Пуассона и что сам параметр скорости рассматривается как случайная величина. Следовательно, это частный случай сложного распределения вероятностей . Смешанные распределения Пуассона можно найти в актуарной математике как общий подход к распределению количества претензий, а также рассматривать как эпидемиологическую модель . Его не следует путать со сложным распределением Пуассона или сложным процессом Пуассона .

Определение

Случайная величина X удовлетворяет смешанному распределению Пуассона с плотностью π ( λ ), если она имеет распределение вероятностей

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

Если обозначить вероятности распределения Пуассона через q _λ ( k ), то

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

Характеристики

• Отклонение ожидаемого всегда больше значения . Это свойство называется сверхдисперсией . Это контрастирует с распределением Пуассона, где среднее значение и дисперсия одинаковы.
• На практике практически только плотности гамма-распределений , логарифмических нормальных распределений и обратных гауссовских распределений ) используются в качестве плотностей π ( λ . Если мы выберем плотность гамма-распределения , мы получим отрицательное биномиальное распределение , что объясняет, почему его еще называют гамма-распределением Пуассона.

В дальнейшем пусть $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ быть ожидаемым значением плотности $\pi (\lambda )\,$ и $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ быть дисперсией плотности.

Ожидаемая стоимость

Ожидаемое значение смешанного распределения Пуассона равно

$\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.$

Дисперсия

Для дисперсии получаем

$\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.$

асимметрия

Асимметрию как можно представить

$\operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.$

Характеристическая функция

Характеристическая функция имеет вид

$\varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,$

Где $M_{\pi }$ – производящая момент функция плотности.

Функция, генерирующая вероятность

Для производящей функции вероятности получаем

$m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,$

Функция генерации момента

смешанного Создающая момент функция распределения Пуассона равна

$M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,$

Примеры

Теорема . Соединение распределения Пуассона с параметром скорости, распределенным в соответствии с гамма-распределением, дает отрицательное биномиальное распределение . Доказательство Позволять $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ быть плотностью a $\operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)$ распределенная случайная величина. ${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1-p}}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,\mathrm {d} \lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}$ Поэтому мы получаем $X\sim \operatorname {NegB} (r,p).$

Теорема . Составление распределения Пуассона с параметром скорости, распределенным в соответствии с экспоненциальным распределением, дает геометрическое распределение . Доказательство Позволять $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ быть плотностью a $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ распределенная случайная величина. Использование интегрирования по частям n раз дает: $${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&=\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}$$Поэтому мы получаем $X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .$

Таблица смешанных распределений Пуассона

распределение смешивания	смешанное распределение Пуассона
гамма	отрицательный бином
экспоненциальный	геометрический
обратная гауссова	серп
Пуассон	Нейман
обобщенная обратная гауссиана	Обобщенный Пуассоном обратный Гауссиан
обобщенная гамма	Обобщенная Пуассоном гамма
обобщенный Парето	Обобщенный по Пуассону Парето
обратная гамма	Гамма, обратная Пуассону
логарифмически нормальный	Логарифм Пуассона нормальный
Ломакс	Пуассон – Ломакс
Парето	Пуассон – Парето
Семейство распределений Пирсона	Семья Пуассон-Пирсон
усеченный нормальный	Усеченный по Пуассону нормальный
униформа	Равномерность Пуассона
сдвинутая гамма	Делапорте
бета-версия с конкретными значениями параметров	тот

Литература

• Ян Гранделл: Смешанные пуассоновские процессы. Chapman & Hall, Лондон, 1997, ISBN 0-412-78700-8.
• Том Бриттон: стохастические модели эпидемий с логическими выводами. Спрингер, 2019, дои : 10.1007/978-3-030-30900-8