Распределение фон Мизеса – Фишера

В направленной статистике распределение фон Мизеса-Фишера (названное в честь Рихарда фон Мизеса и Рональда Фишера ) представляет собой распределение вероятностей на $(p-1)$- сфера в $\mathbb {R} ^{p}$. Если $p=2$ распределение сводится к распределению Мизеса на окружности .

Определение

Функция плотности вероятности распределения фон Мизеса–Фишера для случайного p -мерного единичного вектора $\mathbf {x}$ дается:

$f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=C_{p}(\kappa )\exp \left({\kappa {\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }\right),$

где $\kappa \geq 0,\left\Vert {\boldsymbol {\mu }}\right\Vert =1$ и константа нормализации $C_{p}(\kappa )$ равно

$C_{p}(\kappa )={\frac {\kappa ^{p/2-1}}{(2\pi )^{p/2}I_{p/2-1}(\kappa )}},$

где $I_{v}$ обозначает модифицированную функцию Бесселя первого рода при порядке $v$. Если $p=3$, константа нормировки сводится к

$C_{3}(\kappa )={\frac {\kappa }{4\pi \sinh \kappa }}={\frac {\kappa }{2\pi (e^{\kappa }-e^{-\kappa })}}.$

Параметры ${\boldsymbol {\mu }}$ и $\kappa$ называются средним направлением и параметром концентрации соответственно. Чем больше значение $\kappa$, тем выше концентрация распределения вокруг среднего направления ${\boldsymbol {\mu }}$. Распределение является унимодальным для $\kappa >0$, и является однородным на сфере для $\kappa =0$.

Распределение фон Мизеса-Фишера для $p=3$ также называется распределением Фишера . Впервые он был использован для моделирования взаимодействия электрических диполей в электрическом поле . Другие приложения можно найти в геологии , биоинформатике и текстовом анализе .

Обратите внимание на константу нормализации

В учебнике Статистика направленности Мардиа и Юппа, константа нормализации , данная для плотности вероятности фон Мизеса-Фишера, по-видимому, отличается от приведенной здесь: $C_{p}(\kappa )$. В этой книге константа нормализации определяется как:

$C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {({\frac {\kappa }{2}})^{p/2-1}}{\Gamma (p/2)I_{p/2-1}(\kappa )}}$

где $\Gamma$ это гамма-функция . Эту проблему можно решить, отметив, что Мардиа и Юпп дают плотность «относительно равномерного распределения», тогда как здесь плотность задается обычным способом, относительно меры Лебега . Плотность (по мере Лебега) равномерного распределения является обратной величиной площади поверхности (p-1)-сферы , так что функция однородной плотности задается константой:

$C_{p}(0)={\frac {\Gamma (p/2)}{2\pi ^{p/2}}}$

Отсюда следует, что:

$C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {C_{p}(\kappa )}{C_{p}(0)}}$

В то время как значение для $C_{p}(0)$ было получено выше через площадь поверхности, тот же результат можно получить, полагая $\kappa =0$ в приведенной выше формуле для $C_{p}(\kappa )$. Это можно сделать, заметив, что разложение в ряд для $I_{p/2-1}(\kappa )$ разделенный на $\kappa ^{p/2-1}$ имеет только один ненулевой член в $\kappa =0$. (Чтобы оценить этот термин, необходимо использовать определение $0^{0}=1$.)

Поддерживать

Опорой , распределения Фон Мизеса-Фишера является гиперсфера а точнее, $(p-1)$-сфера , обозначаемая как

$S^{p-1}=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}:\left\|\mathbf {x} \right\|=1\right\}$

Это $(p-1)$-мерное многообразие , вложенное в $p$-мерное евклидово пространство, $\mathbb {R} ^{p}$.

Отношение к нормальному распределению

Начиная с нормального распределения с изотропной ковариацией $\kappa ^{-1}\mathbf {I}$ и имею в виду ${\boldsymbol {\mu }}$ длины $r>0$, функция плотности которого:

$G_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=\left({\sqrt {\frac {\kappa }{2\pi }}}\right)^{p}\exp \left(-\kappa {\frac {(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}{2}}\right),$

распределение фон Мизеса-Фишера получается путем обусловления $\left\|\mathbf {x} \right\|=1$. Расширяя

$(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\mu }}-2{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ,$

и используя тот факт, что первые два члена в правой части фиксированы, плотность фон Мизеса-Фишера, $f_{p}(\mathbf {x} ;r^{-1}{\boldsymbol {\mu }},r\kappa )$ восстанавливается путем пересчета константы нормализации путем интегрирования $\mathbf {x}$ над единичной сферой. Если $r=0$, мы получаем равномерное распределение с плотностью $f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {0}},0)$.

Более кратко, ограничение любой изотропной многомерной нормальной плотности на единичную гиперсферу дает плотность фон Мизеса-Фишера с точностью до нормализации.

Эту конструкцию можно обобщить, начав с нормального распределения с общей ковариационной матрицей, и в этом случае условие на $\left\|\mathbf {x} \right\|=1$ дает распределение Фишера-Бингама .

Оценка параметров

Среднее направление

Серия N независимых единичных векторов $x_{i}$ взяты из распределения фон Мизеса-Фишера. Оценки максимального правдоподобия среднего направления $\mu$ — это просто нормализованное среднее арифметическое , достаточная статистика :

$\mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,$

Параметр концентрации

Используя модифицированную функцию Бесселя первого рода, определим

$A_{p}(\kappa )={\frac {I_{p/2}(\kappa )}{I_{p/2-1}(\kappa )}}.$

Затем:

$\kappa =A_{p}^{-1}({\bar {R}}).$

Таким образом $\kappa$ это решение

$A_{p}(\kappa )={\frac {\left\|\sum _{i}^{N}x_{i}\right\|}{N}}={\bar {R}}.$

Простое приближение к $\kappa$ есть (Сра, 2011)

${\hat {\kappa }}={\frac {{\bar {R}}(p-{\bar {R}}^{2})}{1-{\bar {R}}^{2}}},$

Более точную инверсию можно получить, повторив метод Ньютона несколько раз.

${\hat {\kappa }}_{1}={\hat {\kappa }}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }})^{2}-{\frac {p-1}{\hat {\kappa }}}A_{p}({\hat {\kappa }})}},$

${\hat {\kappa }}_{2}={\hat {\kappa }}_{1}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})^{2}-{\frac {p-1}{{\hat {\kappa }}_{1}}}A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})}}.$

Стандартная ошибка

Для N ≥ 25 расчетная сферическая стандартная ошибка среднего направления выборки может быть рассчитана как:

${\hat {\sigma }}=\left({\frac {d}{N{\bar {R}}^{2}}}\right)^{1/2}$

где

$d=1-{\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}\left(\mu ^{T}x_{i}\right)^{2}$

Тогда можно аппроксимировать $100(1-\alpha )\%$ сферический доверительный интервал ( доверительный конус ) примерно $\mu$ с полувертикальным углом:

$q=\arcsin \left(e_{\alpha }^{1/2}{\hat {\sigma }}\right),$ где $e_{\alpha }=-\ln(\alpha ).$

Например, для конуса достоверности 95 %: $\alpha =0.05,e_{\alpha }=-\ln(0.05)=2.996,$ и таким образом $q=\arcsin(1.731{\hat {\sigma }}).$

Ожидаемая стоимость

Ожидаемое значение распределения Фон Мизеса-Фишера не находится на единичной гиперсфере, а имеет длину меньше единицы. Эта длина определяется выражением $A_{p}(\kappa )$ как определено выше. Для распределения Фон Мизеса – Фишера со средним направлением ${\boldsymbol {\mu }}$ и концентрация $\kappa >0$, ожидаемое значение:

$A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }}$.

Для $\kappa =0$, ожидаемое значение находится в начале координат. Для конечного $\kappa >0$, длина ожидаемого значения находится строго между нулем и единицей и является монотонной возрастающей функцией $\kappa$.

Эмпирическое среднее ( среднее арифметическое ) набора точек на единичной гиперсфере ведет себя аналогичным образом: оно близко к началу координат для широко распространенных данных и близко к сфере для концентрированных данных. Действительно, для распределения фон Мизеса-Фишера ожидаемое значение оценки максимального правдоподобия, основанной на наборе точек, равно эмпирическому среднему значению этих точек.

Энтропия и дивергенция KL

Ожидаемое значение можно использовать для вычисления дифференциальной энтропии и расхождения KL .

Дифференциальная энтропия ​ ${\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )$ является:

${\bigl \langle }-\log f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa ){\bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}=-\log f_{p}(A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }};{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=-\log C_{p}(\kappa )-\kappa A_{p}(\kappa )$

где угловые скобки обозначают ожидание. Обратите внимание, что энтропия является функцией $\kappa$ только.

Расхождение KL между ${\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})$ и ${\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})$ является:

${\Bigl \langle }\log {\frac {f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}{\Bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}=\log {\frac {f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}$

Трансформация

Распределения фон Мизеса-Фишера (ВМФ) замкнуты относительно ортогональных линейных преобразований. Позволять $\mathbf {U}$ быть $p$-к- $p$ ортогональная матрица . Позволять $\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )$ и примените обратимое линейное преобразование: $\mathbf {y} =\mathbf {Ux}$. Обратное преобразование $\mathbf {x} =\mathbf {U'y}$, поскольку обратная ортогональная матрица является ее транспонированием : $\mathbf {U} ^{-1}=\mathbf {U} '$. Якобиан равен преобразования $\mathbf {U}$, для которого абсолютное значение его определителя равно 1, также из-за ортогональности. Используя эти факты и форму плотности ВМП, следует, что:

$\mathbf {y} \sim {\text{VMF}}(\mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }},\kappa ).$

Можно убедиться, что, поскольку ${\boldsymbol {\mu }}$ и $\mathbf {x}$ являются единичными векторами, то в силу ортогональности $\mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }}$ и $\mathbf {y}$.

Генерация псевдослучайных чисел

Общий случай

Алгоритм рисования псевдослучайных выборок из распределения фон Мизеса Фишера (VMF) был предложен Ульрихом. и позже исправлено Вудом. Реализация на R предоставлена ​​Хорником и Грюном; а быстрая реализация Python описана Пинсоном и Юнгом.

Чтобы смоделировать распределение VMF на $(p-1)$-мерная единичная сфера , $S^{p-1}$, со средним направлением ${\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}$, эти алгоритмы используют следующее радиально-тангенциальное разложение для точки $\mathbf {x} \in S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}$ :

$\mathbf {x} =t{\boldsymbol {\mu }}+{\sqrt {1-t^{2}}}\mathbf {v}$

где $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{p}$ живет в тангенциальном $(p-2)$-мерная единица-субсфера, центрированная и перпендикулярная ${\boldsymbol {\mu }}$; пока $t\in [-1,1]$. Чтобы нарисовать образец $\mathbf {x}$ из VMF с параметрами ${\boldsymbol {\mu }}$ и $\kappa$, $\mathbf {v}$ должно быть получено из равномерного распределения на тангенциальной подсфере; и радиальная составляющая, $t$, необходимо рисовать независимо от распределения с плотностью:

$f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})I_{\nu }(\kappa )}}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}$

где $\nu ={\frac {p}{2}}-1$. Константу нормализации для этой плотности можно проверить, используя:

$I_{\nu }(\kappa )={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,dt$

как указано в Приложении 1 (A.3) в Статистике направлений . Рисование $t$ выборки из этой плотности с использованием алгоритма браковочной выборки объясняется в приведенных выше ссылках. Чтобы нарисовать униформу $\mathbf {v}$ образцы перпендикулярно ${\boldsymbol {\mu }}$, см. алгоритм в, или иначе преобразование Хаусхолдера , как описано в алгоритме 1. можно использовать

3-D сфера

Чтобы создать распределенный псевдослучайный сферический трехмерный единичный вектор Фон Мизеса-Фишера. ${\textstyle \mathbf {X} _{s}}$ на ${\textstyle S^{2}}$сфера для данного ${\textstyle \mu }$ и ${\textstyle \kappa }$, определять

$\mathbf {X} _{s}=[r,\theta ,\phi ]$

где ${\textstyle \theta }$ это полярный угол, ${\textstyle \phi }$ азимутальный угол и ${\textstyle r=1}$ расстояние до центра сферы

для ${\textstyle \mathbf {\mu } =[0,(.),1]}$ тогда псевдослучайная тройка определяется выражением

$\mathbf {X} _{s}=[1,\arccos W,V]$

где ${\textstyle V}$ выбирается из непрерывного равномерного распределения ${\textstyle U(a,b)}$ с нижней границей ${\textstyle a}$ и верхняя граница ${\textstyle b}$

$V\sim U(0,2\pi )$

и

$W=\cos \theta =1+{\frac {1}{\kappa }}(\ln \xi +\ln(1-{\frac {\xi -1}{\xi }}e^{-2\kappa }))$

где ${\textstyle \xi }$ выбирается из стандартного непрерывного равномерного распределения ${\textstyle U(0,1)}$

$\xi \sim U(0,1)$

здесь, ${\textstyle W}$должно быть установлено на ${\textstyle W=1}$ когда ${\textstyle \mathbf {\xi } =0}$ и ${\textstyle \mathbf {X} _{s}}$ повернут в соответствии с любым другим желаемым ${\textstyle \mu }$.

Распределение полярного угла

Для $p=3$, угол θ между $\mathbf {x}$ и ${\boldsymbol {\mu }}$ удовлетворяет $\cos \theta ={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x}$. Он имеет распространение

$p(\theta )=\int d^{2}xf(x;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )\,\delta \left(\theta -{\text{arc cos}}({\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} )\right)$,

который можно легко оценить как

$p(\theta )=2\pi C_{3}(\kappa )\,\sin \theta \,e^{\kappa \cos \theta }$.

Для общего случая $p\geq 2$, распределение косинуса этого угла:

$\cos \theta =t={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x}$

дается $f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)$, как объяснялось выше .

Равномерное распределение гиперсферы

Когда $\kappa =0$, распределение фон Мизеса-Фишера, ${\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )$ на $S^{p-1}$ упрощается до равномерного распределения по $S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}$. Плотность постоянна со значением $C_{p}(0)$. Псевдослучайные выборки могут быть созданы путем создания выборок в $\mathbb {R} ^{p}$ от стандартного многомерного нормального распределения с последующей нормализацией к единичной норме.

Предельное значение компонента равномерного распределения

Для $1\leq i\leq p$, позволять $x_{i}$ быть любым компонентом $\mathbf {x} \in S^{p-1}$. Предельное распределение для $x_{i}$ имеет плотность:

$f_{i}(x_{i};p)=f_{\text{radial}}(x_{i};\kappa =0,p)={\frac {(1-x_{i}^{2})^{{\frac {p-1}{2}}-1}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}}}$

где $B(\alpha ,\beta )$ это бета-функция . Это распределение можно лучше понять, выделив его связь с бета-распределением :

${\begin{aligned}x_{i}^{2}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}&&{\text{and}}&{\frac {x_{i}+1}{2}}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}$

где формула дублирования Лежандра полезна для понимания взаимосвязей между константами нормализации различных плотностей, указанных выше.

Обратите внимание, что компоненты $\mathbf {x} \in S^{p-1}$ являются не независимыми, так что однородная плотность не является произведением предельных плотностей; и $\mathbf {x}$ не могут быть собраны путем независимой выборки компонентов.

Распределение скалярных произведений

В машинном обучении , особенно в классификации изображений , классифицируемые входные данные (например, изображения) часто сравниваются с использованием косинусного сходства , которое представляет собой скалярное произведение между промежуточными представлениями в форме единичных векторов (называемых встраиваниями ). Размерность обычно высокая, т. $p$ как минимум несколько сотен. Глубокие нейронные сети , которые извлекают вложения для классификации, должны научиться распределять классы как можно дальше друг от друга, и в идеале это должно давать классы, которые равномерно распределены по $S^{p-1}$. Для лучшего статистического понимания косинусного сходства между классами может оказаться полезным распределение скалярных произведений между единичными векторами, независимо выбранными из равномерного распределения.

Позволять $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in S^{p-1}$ быть единичными векторами в $\mathbb {R} ^{p}$, независимо выбранное из равномерного распределения. Определять:

${\begin{aligned}t&=\mathbf {x} '\mathbf {y} \in [-1,1],&r&={\frac {t+1}{2}}\in [0,1],&s&={\text{logit}}(r)=\log {\frac {1+t}{1-t}}\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

где $t$ является скалярным произведением и $r,s$ являются его трансформированными версиями. Тогда распределение для $t$ такое же, как и распределение предельных компонентов , приведенное выше ; распределение для $r$ является симметричной бета-версией и распределением для $s$ является симметричной логистической бета-версией :

${\begin{aligned}r&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )},&s&\sim B_{\sigma }{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}$

Средние значения и отклонения:

${\begin{aligned}E[t]&=0,&E[r]&={\frac {1}{2}},&E[s]&=0,\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}{\text{var}}[t]&={\frac {1}{p}},&{\text{var}}[r]&={\frac {1}{4p}},&{\text{var}}[s]&=2\psi '{\bigl (}{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\approx {\frac {4}{p-1}}\end{aligned}}$

где $\psi '=\psi ^{(1)}$ — первая полигамма-функция . Дисперсии уменьшаются, распределения всех трех переменных становятся более гауссовыми, а окончательное приближение улучшается по мере размерности: $p$, увеличивается.

Обобщения

Матрица фон Мизеса-Фишера

Дополнительная информация: Случайная матрица.

Матричное распределение фон Мизеса-Фишера (также известное как матричное распределение Ланжевена) ) имеет плотность

$f_{n,p}(\mathbf {X} ;\mathbf {F} )\propto \exp(\operatorname {tr} (\mathbf {F} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ))$

поддерживается на Штифеля многообразии $n\times p$ ортонормированные p-кадры $\mathbf {X}$, где $\mathbf {F}$ является произвольным $n\times p$ настоящая матрица.

Распределения пил

Ульрих, при разработке алгоритма выборки из распределения VMF использует семейство распределений, названных в честь Джона Г. Соу и исследованных им. Дистрибутив Saw — это дистрибутив на $(p-1)$-сфера, $S^{p-1}$, с модальным вектором ${\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}$ и концентрация $\kappa \geq 0$, и функция плотности которого имеет вид:

$f_{\text{Saw}}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )={\frac {g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})}{K_{p}(\kappa )}}$

где $g$ – неотрицательная возрастающая функция; и где $K_{P}(\kappa )$ – константа нормализации. Вышеупомянутое радиально -тангенциальное разложение обобщается на семейство Пилы и радиальный компонент: $t=\mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}$ имеет плотность:

$f_{\text{Saw-radial}}(t;\kappa )={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma (p/2)}}{\frac {g(\kappa t)(1-t^{2})^{(p-3)/2}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}K_{p}(\kappa )}}.$

где $B$ это бета-функция. Также обратите внимание, что левый множитель радиальной плотности — это площадь поверхности $S^{p-1}$.

Установив $g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})=e^{\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}$, восстанавливается распределение VMF.

Взвешенное распределение Радемахера

Определение распределения фон Мизеса-Фишера можно расширить, включив в него также случай, когда $p=1$, так что опорой является 0-мерная гиперсфера, которая при вложении в 1-мерное евклидово пространство представляет собой дискретное множество, $\{-1,1\}$. Среднее направление $\mu \in \{-1,1\}$ и концентрация $\kappa \geq 0$. Функция массы вероятности, для $x\in \{-1,1\}$ является:

$f_{1}(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \mu x}}{e^{-\kappa }+e^{\kappa }}}=\sigma (2\kappa \mu x)$

где $\sigma (z)=1/(1+e^{-z})$ это логистическая сигмоида . Ожидаемое значение $\mu \,{\text{tanh}}(\kappa )$. В однородном случае при $\kappa =0$, это распределение вырождается в распределение Радемахера .

См. также

• Распределение Кента , родственное распределение на двумерной единичной сфере.
• распределение фон Мизеса , распределение фон Мизеса–Фишера, где p = 2, одномерный единичный круг
• Двумерное распределение фон Мизеса
• Направленная статистика

Дальнейшее чтение

• Диллон И., Сра С. (2003) «Моделирование данных с использованием направленного распределения». Тех. представитель Техасского университета, Остин.
• Банерджи А., Диллон И.С., Гош Дж. и Сра С. (2005). «Кластеризация на единичной гиперсфере с использованием распределений Мизеса-Фишера». Журнал исследований машинного обучения, 6 сентября, 1345–1382.
• Сра, С. (2011). «Краткое примечание об аппроксимации параметров распределений фон Мизеса-Фишера: и быстрая реализация I_s (x)». Вычислительная статистика . 27 : 177–190. CiteSeerX   10.1.1.186.1887 . дои : 10.1007/s00180-011-0232-x . S2CID   3654195 .